Conxuntu vacíu

En matemátiques, particularmente na Teoría axomática de Conxuntos de ZF el conxuntu vacíu ye'l conxuntu qu'escarez d'elementos. Yá que lo único que define a un conxuntu son los sos elementos, el conxuntu vacíu ye únicu.

Delles propiedaes de los conxuntos son trivialmente ciertes pal conxuntu vacíu. Nuna teoría axomática de conxuntos, la esistencia d'un conxuntu vacíu postúlase.

Definición y notación

Símbolu del conxuntu vacíu

El conxuntu vacíu ye'l conxuntu que nun contién elementos.

El conxuntu vacíu ye denotado polos símbolos:

$\varnothing \,o\,\emptyset \,$

derivaos de la lletra Ø de les llingües danesa y noruega, ente otres. Esta notación foi introducida por André Weil en 1939.^[1] Otra notación común pal conxuntu vacíu ye la notación estensiva, especificando los sos elementos (nengunu) ente llaves:

\{\}\,

Propiedaes

Xustifícase falar de «el conxuntu vacíu» y non de «un conxuntu vacíu». El conxuntu vacíu tien ciertes propiedaes:

L'únicu subconxuntu del conxuntu vacíu ye él mesmu:

$A\subseteq \varnothing \;{\text{ si y solu si }}\;A=\varnothing$

El númberu d'elementos o cardinal del conxuntu vacíu ye cero:

$|\varnothing |=0$

En particular, el conxuntu vacíu ye un conxuntu finito.

Munches afirmaciones sobre'l conxuntu vacíu son trivialmente ciertes, por cuenta de la siguiente propiedá:

Sía una propiedá espresada por aciu un predicáu (como «ser mortal» o «ser un númberu primu»). Entós tolos elementos del conxuntu vacíu tienen esa propiedá.

Esti teorema ye ciertu porque'l conxuntu vacíu nun tien elementos, y dicir «tou home en ∅ ye inmortal» ye lo mesmo qu'afirmar que «nun hai nengún home mortal en ∅», y esto postreru ye trivialmente ciertu. Amás, el conxuntu vacíu actúa como'l cero nes operaciones del álxebra de conxuntos:

Pa tou conxuntu $A$ , el conxuntu vacíu ye subconxuntu de $A$ :

$\varnothing \subseteq A$

Pa tou conxuntu $A$ , la unión de $A$ col conxuntu vacíu ye $A$ :

$A\cup \varnothing =A$

Pa tou conxuntu $A$ , la interseición de $A$ col conxuntu vacíu resulta nel conxuntu vacíu:

$A\cap \varnothing =\varnothing$

Pa tou conxuntu $A$ , el productu cartesianu de $A$ y el conxuntu vacíu ye vacíu:

$A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$

Adicionalmente, el conxuntu potencia del conxuntu vacíu ye'l que contién namái al mesmu conxuntu vacíu, esto ye, ${\emptyset}$ . Poro, el númberu cardinal de ${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$ ye $|{\mathcal {P}}(\varnothing )|=1$ .

Otres propiedaes

La interseición d'un conxuntu y el so complementariu ye'l conxuntu vacíu.
La diferencia de cualquier conxuntu consigo mesmu ye'l conxuntu vacíu.
Na diferencia simétrica definida nun conxuntu potencia, el conxuntu vacíu ye l'elementu neutru, esto ye AΔ∅ = A
Nuna partición d'un conxuntu inducida por una rellación d'equivalencia, la interseición de dos clases distintes ye'l conxuntu vacíu.
El conxuntu vacíu ye elementu del conxuntu potencia de cualquier conxuntu, necesariamente.^[2]
La unión d'una familia vacida de conxuntos ye'l conxuntu vacíu
la interseición d'una familia vacida de conxuntos ye'l conxuntu vacíu.
∅ figura como elementu propiu de toa topoloxía sobre X. Y ye zarráu, al empar qu'abiertu en cualquier topoloxía.^[3]
La interseición del interior d'un conxuntu col interior del so complementariu ye ∅.
El conxuntu d'elementos que'l so valor absolutu ye menor a un númberu negativu ye un conxuntu vacíu.

Ver tamién

Referencies

↑ Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Páxina 114.
↑ Carlos Vega: Notes de Matemática, Editorial de la Universidá de San Marcos
↑ Lipschitz:Topoloxía Coleición Schaumm

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

[1] Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Páxina 114.

[2] Carlos Vega: Notes de Matemática, Editorial de la Universidá de San Marcos

[3] Lipschitz:Topoloxía Coleición Schaumm

[1]

[2]

[3]