Conxuntu vacíu
En matemátiques, particularmente na Teoría axomática de Conxuntos de ZF el conxuntu vacíu ye'l conxuntu qu'escarez d'elementos. Yá que lo único que define a un conxuntu son los sos elementos, el conxuntu vacíu ye únicu.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Nullset.png/130px-Nullset.png)
Delles propiedaes de los conxuntos son trivialmente ciertes pal conxuntu vacíu. Nuna teoría axomática de conxuntos, la esistencia d'un conxuntu vacíu postúlase.
Definición y notación
editarEl conxuntu vacíu ye'l conxuntu que nun contién elementos.
El conxuntu vacíu ye denotado polos símbolos:
derivaos de la lletra Ø de les llingües danesa y noruega, ente otres. Esta notación foi introducida por André Weil en 1939.[1] Otra notación común pal conxuntu vacíu ye la notación estensiva, especificando los sos elementos (nengunu) ente llaves:
Propiedaes
editarXustifícase falar de «el conxuntu vacíu» y non de «un conxuntu vacíu». El conxuntu vacíu tien ciertes propiedaes:
|
Munches afirmaciones sobre'l conxuntu vacíu son trivialmente ciertes, por cuenta de la siguiente propiedá:
|
Esti teorema ye ciertu porque'l conxuntu vacíu nun tien elementos, y dicir «tou home en ∅ ye inmortal» ye lo mesmo qu'afirmar que «nun hai nengún home mortal en ∅», y esto postreru ye trivialmente ciertu. Amás, el conxuntu vacíu actúa como'l cero nes operaciones del álxebra de conxuntos:
|
Adicionalmente, el conxuntu potencia del conxuntu vacíu ye'l que contién namái al mesmu conxuntu vacíu, esto ye, { ∅ }. Poro, el númberu cardinal de ye .
Otres propiedaes
editar- La interseición d'un conxuntu y el so complementariu ye'l conxuntu vacíu.
- La diferencia de cualquier conxuntu consigo mesmu ye'l conxuntu vacíu.
- Na diferencia simétrica definida nun conxuntu potencia, el conxuntu vacíu ye l'elementu neutru, esto ye AΔ∅ = A
- Nuna partición d'un conxuntu inducida por una rellación d'equivalencia, la interseición de dos clases distintes ye'l conxuntu vacíu.
- El conxuntu vacíu ye elementu del conxuntu potencia de cualquier conxuntu, necesariamente.[2]
- La unión d'una familia vacida de conxuntos ye'l conxuntu vacíu
- la interseición d'una familia vacida de conxuntos ye'l conxuntu vacíu.
- ∅ figura como elementu propiu de toa topoloxía sobre X. Y ye zarráu, al empar qu'abiertu en cualquier topoloxía.[3]
- La interseición del interior d'un conxuntu col interior del so complementariu ye ∅.
- El conxuntu d'elementos que'l so valor absolutu ye menor a un númberu negativu ye un conxuntu vacíu.
Ver tamién
editarReferencies
editar- ↑ Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Páxina 114.
- ↑ Carlos Vega: Notes de Matemática, Editorial de la Universidá de San Marcos
- ↑ Lipschitz:Topoloxía Coleición Schaumm
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.