Diagrama conmutativu

En matemática, y especialmente en teoría de categoríes, un diagrama conmutativu ye un diagrama d'oxetos (tamién conocíos como vértices) y morfismos (tamién conocíos como fleches o arestes) tales que toles rutes direutes na diagrama colos mesmos puntos finales conducen al mesma resultancia por composición. Les diagrames conmutativos xueguen un papel fundamental en teoría de categoríes al igual que les ecuaciones facer en álxebra.

Nótese qu'una diagrama puede ser non conmutativu, por casu la composición de distintes rutes na diagrama puede nun dar el mesmu resultáu. Pa clarificar, frases como «esta diagrama conmutativu» o «la diagrama conmuta» pueden ser usaes.

Exemplos

Nel siguiente diagrama esprésase'l primer teorema de isomorfía, conmutativamente significa que $f={\tilde {f}}\circ \pi$ :

De siguío amuésase un cuadráu conmutativu xenéricu, nel cual $h\circ f=k\circ g$

Símbolos

Nos testos d'álxebra, el tipu de morfismos pue ser denotado por aciu l'usu de distintes fleches: monomorfismos con una $\hookrightarrow$ , epimorfismos con una $\twoheadrightarrow$ , y isomorfismos con una ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$ . La flecha a trazos típicamente representa l'afirmación de que'l morfismo indica qu'esiste cada vez que'l restu del esquema cumplir. Esto ye abondo común que los testos de cutiu nun espliquen el significáu de los distintos tipos de fleches.

Verificación de conmutatividad

Conmutatividad da sentíu a un polígonu de cualquier númberu finito de cares (inclusive namái 1 o 2), y una diagrama ye conmutativu si cada subdiagrama poligonal ye conmutativu.

Persecución de diagrames

La persecución o cacería de diagrames ye un métodu de demostración matemática usáu sobremanera en álxebra homológica. Dau una diagrama conmutativu, una demostración por aciu persecución de diagrames implica l'usu formal de les propiedaes de la diagrama, tales como los mapes injectivos o suprayectivos, o socesiones exactes. Constrúyese un siloxismu, pal cual úsase la representación gráfica de la diagrama namái como ayuda visual. D'equí deduzse qu'unu termina por "cazar" o "atrapar" elementos en redol a la diagrama, hasta que l'elementu o resultancia deseyada verifícase o se demuestra constructivamente.

Dellos exemplos de demostración por aciu cacería de diagrames son aquelles qu'usen el lema de los cinco, el lema de la culiebra, el lema zig-zag, y el lema de los nueve.

Diagrames como funtores

Una diagrama conmutativu nuna categoría C puede ser interpretáu como un functor d'una categoría indexada J en C; unu llama a esi functor diagrama.

Más formalmente, una diagrama conmutativu ye una visualización d'una diagrama indexado por una categoría poset:

Dibúxase un nodo pa cada oxetu na categoría indexada,
Una flecha pa la xeneración del conxuntu de morfismos, *:omitiendo la identidá de mapes

y morfismos que puede ser espresaos por aciu composiciones,

y la conmutatividad de la diagrama (la igualdá de distintes composiciones de mapes ente dos oxetos) correspuende a la unicidá d'un mapa ente dos oxetos nuna categoría poset.

Al contrariu, dau una diagrama conmutativu, ésti define una categoría poset:

los oxetos son los nodos,
hai un morfismo ente dos oxetos cualesquier si y namái si esiste un camín (direutu) ente los nodos,
cola rellación de qu'esti morfismo ye únicu (cualquier composición de mapes definir pol so dominiu y destín: este ye l'axoma de conmutatividad).

Sicasí, non cada diagrama conmuta (la noción de diagrama puramente xeneraliza a la diagrama conmutativu): más a cencielles, la diagrama d'un oxetu simple con un endomorfismo ( $f\colon X\to X$ ), o con dos fleches paraleles ( $\bullet \rightrightarrows \bullet$ ; $f,g\colon X\to Y$ ), como l'usáu na definición d'ecualizador ye necesariu que non conmute. Amás, les diagrames pueden ser un incómodos o imposibles de representar cuando'l númberu d'oxetos y morfismos ye grande (o inclusive infinitu).

Ver tamién

Diagrama matemáticu

Referencies

Enllaces esternos

Weisstein, Eric W. «Diagram Chasing» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.