Física estadística

Física estadística
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La física estadística o mecánica estadística ye una caña de la física que por aciu la teoría de la probabilidá ye capaz de deducir el comportamientu de los sistemes físicos macroscópicos constituyíos por una cantidá estadísticamente significativa de componentes equivalentes a partir de ciertes hipótesis sobre los elementos o partícules que los conformen y les sos interacciones mutues.

La temperatura d'un gas monoatómico ye una midida rellacionada cola enerxía cinética permediu de les sos molécules al movese. Acordies cola física estadística clásica la enerxía por molécula ye $gkT/2$ (siendo g el númberu de graos de llibertá, k la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluto.

Los sistemes macroscópicos son aquellos que tienen un númberu de partícules cercanu a la constante de Avogadro, que'l so valor, d'aproximao $10^{23}$ , ye increíblemente grande, polo que'l tamañu de dichos sistemes suel ser inconcebible pol ser humanu, anque'l tamañu de cada partícula constituyente seya d'escala atómica. Un exemplu d'un sistema macroscópico sería, por casu, un vasu d'agua.

La importancia del usu de les téuniques estadístiques pa estudiar estos sistemes anicia en que, al tratase de sistemes tan grandes ye imposible, inclusive pa les más avanzaes ordenadores, llevar un rexistru del estáu físicu de cada partícula y predicir el comportamientu del sistema por aciu les lleis de la mecánica, amás del fechu de que resulta impracticable el conocer tanta información d'un sistema real.

La utilidá de la física estadística consiste n'amestar el comportamientu microscópicu de los sistemes col so comportamientu macroscópico o coleutivu, de cuenta que, conociendo'l comportamientu d'unu, pueden pescudase detalles del comportamientu del otru. Dexa describir numberosos campos de naturaleza estocástica como les reacciones nucleares; los sistemes biolóxicos, químicos, neurolóxicos, ente otros.

Exemplos d'aplicación

Empíricamente, la termodinámica estudió los gases y estableció el so comportamientu macroscópico con altu grau d'aciertu. Gracies a la física estadística ye posible deducir les lleis termodinámiques que rixen el comportamientu macroscópico d'un gas, como la ecuación d'estáu del gas ideal o la llei de Boyle-Mariotte, a partir del camientu de que les partícules nel gas nun tán sometíes a nengún potencial y muévense llibremente con una enerxía cinética igual a:

Y={1 \over 2}mv^{2}

topetando ente sigo y coles parés del recipiente de forma elástica (ensin fuercies disipativas). El comportamientu coleutivu del gas depende de tan solo unes poques variables macroscópicas (como la presión, el volume y la temperatura). Esti enfoque particular pa estudiar el comportamientu de los gases llámase teoría cinética.

Pa predicir el comportamientu d'un gas, la mecánica esixiría calcular la trayeutoria exacta de caúna de les partícules que la componen (lo cual ye un problema inabordable). La termodinámica fai daqué radicalmente opuestu, establez unos principios cualitativamente distintos a los mecánicos pa estudiar una serie de propiedaes macroscópicas ensin preguntar n'absolutu pola naturaleza real de la materia d'estudiu. La mecánica estadística media ente dambos aproximamientos: ignora los comportamientos individuales de les partícules, esmoleciéndose en cuenta de ello por permedios. D'esta forma podemos calcular les propiedaes termodinámiques d'un gas a partir de la nuesa conocencia xenérica de les molécules que lo componen aplicando lleis mecániques.

Historia

Nel sieglu XVIII Daniel Bernoulli aplica razonamientos estadísticos pa esplicar el comportamientu de sistemes de fluyíos.

Los años cincuenta del sieglu XIX marcaron un finxu nel estudiu de los sistemes térmicos. Per esos años la termodinámica, que creciera básicamente por aciu l'estudiu esperimental del comportamientu macroscópico de los sistemes físicos a partir de los trabayos de Nicolas Léonard Sadi Carnot, James Prescott Joule, Clausius y Kelvin, yera una disciplina estable de la física. Les conclusiones teóriques deducíes de les primeres dos lleis de la termodinámica coincidíen colos resultaos esperimentales. Coles mesmes, la teoría cinética de los gases, que se basara más na especulación que nos cálculos, empezó a remanecer como una teoría matemática real. Sicasí, foi hasta que Ludwig Boltzmann en 1872 desenvolvió'l so teorema H y d'esta miente estableciera l'enllaz direutu ente la entropía y la dinámica molecular. Práuticamente coles mesmes, la teoría cinética empezó a dar a lluz al so sofisticáu socesor: la teoría del ensamble.

El poder de les téuniques que finalmente remanecieron amenorgó la categoría de la termodinámica de "esencial" a ser una consecuencia de tratar estadísticamente un gran númberu de partícules qu'actuaben so les lleis de la mecánica clásica. Foi natural, por tanto, qu'esta nueva disciplina terminara per denominar se mecánica estadística o física estadística.

Aplicación n'otros campos

La mecánica estadística puede construyise sobre les lleis de la mecánica clásica o la mecánica cuántica, según seya la naturaleza del problema a estudiar. Anque, por dicir la verdá, les téuniques de la mecánica estadística pueden aplicase a campos ayenos a la mesma física, como por casu en economía. Asina, usóse la física estadística pa deducir la distribución de la renta, y la distribución de Pareto pa les rentes altes puede deducise por aciu la mecánica estadística, suponiendo un estáu d'equilibriu estacionariu pa les mesmes (ver econofísica).

Rellación estadística-termodinámica

La rellación ente estaos microscópicos y macroscópicos (esto ye, la termodinámica) vien dada pola famosa fórmula de Ludwig Boltzmann de la entropía:

S(Y,N,V)=k_{B}\log(\Omega )\,

onde $\Omega$ ye'l númberu d'estaos microscópicos compatibles con una enerxía, volume y númberu de partícules dau y $k_{B}$ ye la constante de Boltzmann.

Nel términu de la izquierda tenemos la termodinámica por aciu la entropía definida en función de los sos variables naturales, lo que da una información termodinámica completa del sistema. A la derecha tenemos les configuraciones microscópiques que definen la entropía por aciu esta fórmula. Estes configuraciones llógrense teniendo en cuenta'l modelu que faigamos del sistema real al traviés del so hamiltoniano mecánicu.

Esta rellación, propuesta por Ludwig Boltzmann, nun la aceptó primeramente la comunidá científica, en parte por cuenta de que contién implícita la esistencia d'átomos, que nun taba demostrada hasta entós. Esa respuesta del mediu científicu, dicen, fizo que Boltzmann, desanunciáu, decidiera quitar la vida.

Anguaño esta espresión nun ye la más apropiada pa realizar cálculos reales. Ésta ye la llamada ecuación ponte nel Coleutivu Micro Canónicu. Esisten otros coleutivos, como'l Coleutivu Canónicu o'l Coleutividá macrocanónica, que son de más interés práuticu.

Postuláu fundamental

El postuláu fundamental de la mecánica estadística, conocíu tamién como postuláu de equiprobabilidad a priori, ye'l siguiente:

Dau un sistema aislláu n'equilibriu, el sistema tien la mesma probabilidá de tar en cualesquier de los microestados accesibles.

Esti postuláu fundamental ye crucial pa la mecánica estadística, y afirma qu'un sistema n'equilibriu nun tien nenguna preferencia por nengún de los microestados disponibles pa esi equilibriu. Si Ω ye'l númberu de microestados disponibles pa una cierta enerxía, entós la probabilidá d'atopar el sistema n'unu cualesquier d'esos microestados ye p = 1/Ω.

El postuláu ye necesariu pa poder afirmar que, dau un sistema n'equilibriu, l'estáu termodinámicu (macroestado) que ta acomuñáu a un mayor númberu de microestados ye'l macroestado más probable del sistema. Puede amestase a la función de teoría de la información, dada por:

I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle

Cuando toles rho son iguales, la función d'información I algama un mínimu. Asina, nel macroestado más probable amás ye siempres unu pal qu'esiste una mínima información sobre'l microestado del sistema. D'eso esprender que nun sistema aislláu n'equilibriu la entropía seya máxima (la entropía puede considerase como una midida de desorde: a mayor desorde, mayor desinformación y, poro, un menor valor de I).

La entropía como desorde

En tolos llibros de termodinámica interpreta la entropía como una midida del desorde del sistema. Ello ye que dacuando enúnciase'l segundu principiu de la termodinámica diciendo: El desorde d'un sistema aislláu namái aumenta.

Ye importante saber qu'esta rellación vien, como acabamos de saber, de la mecánica estadística. La termodinámica nun ye capaz d'establecer esta rellación por sigo mesma, pos nun s'esmolez n'absolutu polos estaos microscópicos. Nesti sentíu, la mecánica estadística ye capaz de demostrar la termodinámica, yá que, partiendo d'unos principios más elementales (esto ye, los mecánicos), llogra por deducción estadística'l segundu principiu. Foi ésa la gran contribución matemática de Ludwig Boltzmann a la termodinámica.^[1]

Procedimientos de cálculu

La formulación moderna d'esta teoría basar na descripción del sistema físicu por un repartu de conxuntos o coleutividá que representa la totalidá de configuraciones posibles y les probabilidaes de realización de caúna de les configuraciones.

A cada coleutividá acomúñase-y una función de partición que, por manipulaciones matemátiques, dexa estrayer los valores termodinámicos del sistema. Según la rellación del sistema col restu del Universu, estrémense xeneralmente tres tipos de coleutividaes, n'orde creciente de complexidá:

la coleutividá microcanónica describe un sistema dafechu aislláu, por tanto con enerxía constante, que nun intercambia enerxía, nin partícules col restu del Universu;
la coleutividá canónica describe un sistema n'equilibriu térmicu con un focu térmicu esterior; namái puede intercambiar enerxía en forma de tresferencia de calor col esterior;
la coleutividá gran canónica reemplaza a la coleutividá canónica pa sistemes abiertos que dexen l'intercambiu de partícules col esterior.

Tabla resumen de coleutividaes en física estadística	Coleutividaes :
Tabla resumen de coleutividaes en física estadística	Microcanónica	Canónica	Gran canónica
Variables fixes	Y, N, V o B	T, N, V o B	T, μ, V o B
Función microscópica	Númberu de microestados $\Omega$	Función de partición canónica $Z=\sum _{k}y^{-\beta Y_{k}}$	Función de partición gran canónica $\Xi \ =\ \sum _{k}\sum _{s}y^{-\beta (Y_{k}-\mu N_{s})}$
Función macroscópica	$S\ =\ k_{B}\ \ln \Omega$	$F\ =\ -\ k_{B}T\ \ln Z$	$F-G=-pV=-\ k_{B}T\ln \Xi$

Ver tamién

Referencies

↑ Vease'l capítulu 10, "Un mundu dientro del mundu", de L'ascensu del home, de Jacob Bronowski (versión n'español d'Alejandro Ludlow Wiechers/BBC, Bogotá, 1979, Fondu Educativu Interamericano, non. 0853). Y, n'inglés, el videu de los últimos minutos del capítulu correspondiente d'esa serie de divulgación científica: [1].

Bibliografía

Landau, L.D.; Lifshitz, Y. M. (1980). Statistical Physics. Pergamon Press Ltd. 0-08-023039-3.

Pathria R. K. (2001). Statistical Mechanics. Butterworth Heinemann. 0 7506 2469 8.

[1] Vease'l capítulu 10, "Un mundu dientro del mundu", de L'ascensu del home, de Jacob Bronowski (versión n'español d'Alejandro Ludlow Wiechers/BBC, Bogotá, 1979, Fondu Educativu Interamericano, non. 0853). Y, n'inglés, el videu de los últimos minutos del capítulu correspondiente d'esa serie de divulgación científica: [1].

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