Diferencies ente revisiones de «Teoremas de incompletitud de Gödel»

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A una teoría formal pueden axudicáse-y ciertes propiedaes en función de lo que sía capaz de demostrar.
* Una [[consistencia lóxica|teoría consistente]] nun contiencontién contradicciones, esto ye, nun ye posible demostrar al empar una fórmula y la so [[negación lóxica|contraria]]. Una teoría que nun sía consistente nun tien utilidá: debíu al [[principiu d'esplosión]], a partir d'una contradicción pueden demostrase toles sos fórmules, y nun sirve pa modelizar razonamientos matemáticos.
*Una [[completitud sintáctica|teoría completa]] «respuende cualquier entruga», nel sentíu de que pa caúna de les sos fórmules o bien ye demostrable, o bien esiste una demostración de la so contraria (ye refutable). Una teoría completa ye óptima, y correspuéndese cola intuición sobre la [[verdá lóxica]]: al igual que toa sentencia tien de ser verdadera o falsa, nuna teoría completa toa fórmula ye demostrable o refutable.
 
La sentencia de Gödel {{math|''G''}} nun ye demostrable pero ye cierta, pos afirma precisamente la so propia indemostrabilidad.<ref>Esto namá ye ciertu na '''interpretación natural''' en que les variables de la teoría interprétense como los [[númberos naturales]].</ref> Esto significa que nenguna teoría aritmética nes condiciones del teorema ye capaz de demostrar tolos enunciaos verdaderos de l'aritmética.<ref name="GEBintro" />
 
Amás, anque {{math|¬''G''}} sía falsa (por afirmar lo contrario que {{math|''G''}}) nun ye refutable (puestu {{math|''G''}} ye indemostrable). Esta sentencia puede tomase como axoma si deseyar y esto nun produz una contradicción. La teoría resultante contiencontién munchos de los enunciaos verdaderos sobre los númberos naturales y dellos falsos, empezando por {{math|¬''G''}}. Los oxetos descritos por una teoría asina formen un [[aritmética non estándar|modelo non estándar]] de l'aritmética.<ref>Vease {{Harvsp|Hofstadter|1989|loc=§XIV}} pa una esposición de nivel entemediu sobre l'aritmética non estándar.</ref>
 
Tomando {{math|''G''}} (o la so contraria) como axoma llógrase una nueva teoría {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} na que {{math|''G''}} (o la so contraria) ye demostrable automáticamente. Sicasí esto nun invalida'l teorema, cuidao que {{math|''G''}} afirma'l so indemostrabilidad relativa a la teoría {{math|''T''}}. La nueva teoría {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} ye tamién incompleta: puede atopase una nueva sentencia independiente {{math|''G<nowiki>'</nowiki>''}}, qu'afirma «nun soi demostrable en {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}}».
En principiu, los teoremas de Gödel inda dexen dalguna esperanza: podría ser posible producir un [[algoritmu]] xeneral que pa una afirmación dada determine si ye indecidible o non, dexando a los matemáticos evitar dafechu los problemes indecidibles. Sicasí, la respuesta negativa al [[Entscheidungsproblem]] demuestra que nun esiste tal algoritmu.
 
Ye de notar que los teoremas de Gödel namá son aplicables a sistemes axomáticos ''abondo fuertes''. Esti términu significa que la teoría contiencontién l'abonda aritmética pa llevar a cabu les instrucciones de codificación riquíes pola prueba del primera teorema de incompletud. Esencialmente, tou lo que s'esixe son dellos fechos básicos sobre la adición y la multiplicación tal que por casu formalícense na [[aritmética Q de Robinson]].
 
Hai sistemes axomáticos inclusive más débiles que son consistentes y completos, por casu la [[aritmética de Presburger]] que demuestra toles afirmaciones de primer orde ciertes aplicando namá la suma.