Diferencies ente revisiones de «Teoremas de incompletitud de Gödel»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Bot: Troquéu automáticu de testu (-Vease tamién +Ver tamién) |
m Bot: Troquéu automáticu de testu (-\b(N|n)amá\b +\1amái) |
||
Llinia 27:
=== Consecuencies ===
La sentencia de Gödel {{math|''G''}} nun ye demostrable pero ye cierta, pos afirma precisamente la so propia indemostrabilidad.<ref>Esto
Amás, anque {{math|¬''G''}} sía falsa (por afirmar lo contrario que {{math|''G''}}) nun ye refutable (puestu {{math|''G''}} ye indemostrable). Esta sentencia puede tomase como axoma si deseyar y esto nun produz una contradicción. La teoría resultante contién munchos de los enunciaos verdaderos sobre los númberos naturales y dellos falsos, empezando por {{math|¬''G''}}. Los oxetos descritos por una teoría asina formen un [[aritmética non estándar|modelo non estándar]] de l'aritmética.<ref>Vease {{Harvsp|Hofstadter|1989|loc=§XIV}} pa una esposición de nivel entemediu sobre l'aritmética non estándar.</ref>
Llinia 43:
=== Consecuencies ===
El segundu teorema de incompletitud llinda les posibilidaes de demostrar la consistencia d'una teoría formal {{math|''T''}}, cuidao que nun puede faese utilizando
== Enunciaos indecidibles ==
Llinia 66:
En principiu, los teoremas de Gödel inda dexen dalguna esperanza: podría ser posible producir un [[algoritmu]] xeneral que pa una afirmación dada determine si ye indecidible o non, dexando a los matemáticos evitar dafechu los problemes indecidibles. Sicasí, la respuesta negativa al [[Entscheidungsproblem]] demuestra que nun esiste tal algoritmu.
Ye de notar que los teoremas de Gödel
Hai sistemes axomáticos inclusive más débiles que son consistentes y completos, por casu la [[aritmética de Presburger]] que demuestra toles afirmaciones de primer orde ciertes aplicando
El sistema axomáticu puede consistir nun númberu infinitu d'axomes (tal que fai l'aritmética de primer orde de Peano), pero pa poder aplicase'l teorema de Gödel tien d'haber un algoritmu efectivu que sía capaz a verificar la corrección de les pruebes. Por casu, el conxuntu de toles declaraciones de primer orde que son ciertes nel modelu estándar de los [[númberos naturales]] ye completu. El teorema de Gödel non puede aplicase porque nun hai nengún procedimientu efectivu que decide si una cierta declaración ye un axoma. Ello ye que qu'esto sía asina ye una consecuencia del primera teorema de incompletud de Gödel.
Llinia 75:
Esto crea un sistema que ye completu, consistente y abondo potente, pero non [[conxuntu recursivamente enumerable|recursivamente enumerable]].
El mesmu Gödel
N'esencia, la prueba del primera teorema consiste en construyir una declaración <math>p</math> dientro d'un sistema formal axomáticu al que se-y puede dar la siguiente interpretación meta matemática:
Llinia 81:
:<math>p =</math> «Esta declaración non puede probase.»
Como tal, puede trate como una versión moderna de la [[paradoxa del mentirosu]]. Al contrariu de la declaración del mentirosu, <math>p</math> nun se refier directamente a sigo mesmu; la interpretación de riba
Nun trabayu publicáu en 1957 en ''Journal of Symbolic Logic'', [[Raymond Smullyan]] amosó que les resultancies de incompletitud de Gödel pueden llograse pa sistemes muncho más elementales que los consideraos por Gödel. Smullyan tamién reivindicó les pruebes más simples col mesmu algame, basaes nos trabayos de [[Alfred Tarski]] sobre'l conceutu de verdá nos sistemes formales. Más simples, pero non menos perturbadoras filosóficamente. Smullyan nun afiguró les sos reflexones sobre incompletitud
Si'l sistema axomáticu ye consistente, la prueba de Gödel amuesa que <math>p</math> (y la so negación) non pueden demostrase nel sistema.
Llinia 114:
}}
(Los '''numberales''' {{math|[''n'']}} son los símbolos qu'utilice'l llinguaxe de la teoría pa especificar los númberos naturales concretos. Nel exemplu de l'aritmética de Peano na sección siguiente, los numberales son los símbolos daos por: {{math|[0] ≡ 0}}, {{math|[1] ≡ S0}}, {{math|[2] ≡ SS0}}, etc.)
La consistencia implica la consistencia (pero non al aviesu). L'enunciáu fuerte», nel que
=== Numberación de Gödel ===
|