Diferencies ente revisiones de «Péndulu»

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Iguo enllaces frañíos a imaxes (1)
m iguo fórmula
Llinia 22:
Aplicando la [[Segunda llei de Newton]] na dirección del movimientu, tenemos
{{ecuación|
<math>F_\text{t} = - mg\ensinsin\theta = ma_\text{t} \,</math>
||left}}
onde'l signu negativu tien en cuenta que la <math>F_\text{t}</math> tien dirección opuesta a la del desplazamientu angular positivu (escontra la derecha, na figura). Considerando la relación esistente ente l'aceleración tanxencial y l'aceleración angular
Llinia 30:
llogramos finalmente la [[ecuación diferencial]] del movimientu planu del [[pendilexu simple]]
{{ecuación|
<math> \ell \ddot\theta\ + g\ensinsin\theta = 0\,</math>
||left}}
 
Llinia 43:
Pa oscilaciones mayores la relación esacta pal períodu nun ye constante cola amplitú y arreya [[Integral elíptica de primera especie|integrales elíptiques de primera especie]]:
 
:<math>T = 4\sqrt{\ell\over g}K\left(\ensinsin \frac{\varphi_0}{2}\right)
= 4\sqrt{\ell\over g} \int_0^{\frac{\pi}{2}}
\frac{d\theta}{\sqrt{1-\ensinsin^2 \frac{\varphi_0}{2}\ensinsin^2 \theta}}
</math>
 
Llinia 51:
 
:<math>T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g}
\left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\ensinsin^2 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\ensinsin^4 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\ensinsin^6 \frac{\varphi_0}{2}+ \dots \right]</math>
 
=== Solución de la ecuación de movimientu ===
Llinia 62:
<math>t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{\phi(t)} \frac{ld\theta}{\sqrt{Y-O(\theta)}} =</math>
<math>= \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta -\cos\phi_0}} =
\sqrt{\frac{l}{4g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\ensinsin^2\frac{\phi_0}{2}-\ensinsin^2\frac{\theta}{2}}}</math>||left}}
Onde, na última espresión usóse la fórmula del ángulu doble y onde amás:
:<math>Y = -mgl \cos \phi_0\;</math>, ye la enerxía, que ta rellacionada cola máxima amplitú <math>\phi_0\;</math>.
:<math>O(\phi) = -mgl \cos \phi\;</math>, ye la [[enerxía potencial]].
 
Realizando en variable <math>\ensinsin\xi = \frac{\ensinsin\frac{\theta}{2}}{\ensinsin\frac{\phi_0}{2}}\;</math>, la solución de les ecuaciones del movimientu puede espresase como:
 
{{ecuación|<math>t =
\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\Phi} \frac{d\xi}{\sqrt{1-\ensinsin^2\frac{\phi_0}{2}\ensinsin^2\xi}}
\Rightarrow \qquad \phi(t) = 2\arcsin \left(\mbox{sn}\ \sqrt{\frac{g}{l}}t \cdot \ensinsin{\frac{\phi_0}{2}}\right)</math>||left}}
 
Onde:
:<math>\mbox{sn}(t)\;</math>, ye la [[función elíptica de Jacobi]] tipu senu.
:<math>\ensinsin\Phi = \frac{\ensinsin\frac{\phi(t)}{2}}{\ensinsin\frac{\phi_0}{2}}</math>
 
El lagrangiano del sistema ye <math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 - mgl\cos{\theta}</math>, onde <math>\theta</math> ye l'ángulu que forma la cuerda del pendilexu a lo llargo de les sos oscilaciones (ye la variable), y <math>l</math> ye'l llargor de la cuerda (ye la lligadura).
Si aplíquense les ecuaciones de Lagrange llegar a la ecuación final del movimientu: <math>l^2\ddot{\theta} + gl\ensinsin{\theta} = 0</math>. Esto ye, la masa nun inflúi nel movimientu d'un pendilexu.
 
== Pendilexu esféricu ==
Llinia 85:
 
Un pendilexu esféricu ye un sistema con dos graos de llibertá. El movimientu ta confináu a la una porción de superficie esférica (de radiu ''l'') entendida ente dos paralelos. Esisten dos [[integral de movimientu integrales de movimientu]], la enerxía ''Y'' y la componente del [[momentu angular]] paralela a la exa vertical ''M<sub>z</sub>''. La [[lagrangiano|función lagrangiana]] vien dada por:
{{ecuación|<math>L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\ensinsin^2\theta)+mgl\cos\theta</math>||left}}
Onde <math>\phi</math> ye l'ángulu polar y <math>\theta</math> ye l'ángulu que forma'l filo o barra del pendilexu cola vertical. Les ecuaciones de movimientu, llograes introduciendo'l lagrangiano anterior nes [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] son:
 
{{ecuación|<math>\begin{matrix}
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\theta} - \cfrac{\part L}{\part\theta}=0 & \Rightarrow &
l\ddot\theta - l\dot{\phi}^2\ensinsin\theta\cos\theta + g \ensinsin\theta = 0\\ \\
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\phi} - \cfrac{\part L}{\part\phi}=0 & \Rightarrow
& \cfrac{d}{dt}(ml^2\dot{\phi}\ensinsin^2\theta) = 0 \end{matrix}</math>||left}}
 
La segunda ecuación espresa la constancia de la componente Z del momentu angular y por tantu lleva a la relación ente la velocidá de xiru polar y el momentu angular y por tantu a reescribir la lagrangiana como:
 
{{ecuación|<math>\dot\phi = \frac{M_z}{ml^2\ensinsin^2\theta} \Rightarrow \qquad
L = K(\dot\theta)+ O_{ef}(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 +
\frac{M_z^2}{2ml^2\ensinsin^2\theta}-mgl\cos\theta</math>||left}}
 
Y el problema queda amenorgáu a un problema unidimensional.
Llinia 109:
Les ecuaciones de movimientu pueden espresase en términos d'integrales elíptiques de [[integral elíptica de primera especie|primer especie]] y [[integral elíptica de tercer especie|tercer especie]]:
{{ecuación|<math>t = \sqrt\frac{ml^2}{2} \int \frac{d\theta}{\sqrt{Y-O_{ef}(\theta)}} \qquad
\phi = \frac{M_z}{l\sqrt{2m}} \int \frac{d\theta}{\ensinsin^2\theta\sqrt{Y-O_{ef}(\theta)}}</math>||left}}
 
== Ver tamién ==