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Llinia 47: El '''factorial''' d'un [[enteru positivu]] ''n'', el '''factorial de ''n''''' o '''''n'' factorial''' definir en principiu como'l [[multiplicación\|producto]] de tolos númberos enteros positivos dende 1 (esto ye, los [[númberos naturales]]) hasta ''n''. Por casu: :<math>5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5= 120. \ </math> La operación de factorial apaez en munches árees de les matemátiques, particularmente en [[combinatoria]] y [[analís matemáticu]]. Llinia 59: La función factorial ye formalmente definida por aciu el [[Multiplicación\|producto]] :<math> n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n </math>. La multiplicación anterior puede simbolizase tamién utilizando l'operador [[productu]]: : <math> n! = \prod_{k=1}^n k </math>. Tamién ye posible definilo por aciu la [[relación de recurrencia]] : <math> n! = \begin{cases} 1 & \text{si, } n = 0 \\ (n-1)!\times n & \text{si, } n > 0 \end{cases} </math> Nesta segunda definición el dominiu de la función ye'l conxuntu de los enteros non negativos ℤ<sub>≥0</sub> y el codominio ye'l conxuntu de los enteros positivos ℤ<sub>+</sub>.<ref>«Sucesiones recurrentes» d'A. I. Markushévich, Editorial Progresu, 1998</ref> Nesti casu hai una ''~~sucesión~~socesión recurrente'', el cálculu socesivu de los sos elementos llámase ''procesu recurrente'' y l'igualdá ''n''! = (''n'' - 1)!''n'' nómase ''ecuación recurrente''.<ref>Fonte ut supra </ref> La segunda definición incorpora la premisa de que : <math> 0! = 1 </math> === Cero factorial === La definición indicada de factorial ye válida pa númberos positivos. Ye posible estender la definición a otros contestos introduciendo conceutos más sofisticaos, cuantimás ye posible definila pa cualquier númberu real sacante para los númberos enteros negativos y pa cualquier númberu complexu quitando de nuevu los númberos enteros negativos. Una estensión común, sicasí, ye la definición de factorial de cero. Acordies con la convención matemática de [[productu vacíu]], el valor de 0! tien de definise como: : <math> 0! = 1 </math> Llinia 96: * Pa cada númberu enteru positivu ''n'' mayor o igual que 1, ye posible determinar el valor del factorial anterior por aciu l'usu de la siguiente identidá: : <math> (n-1)! = \frac{n!}{n} </math> Llinia 104: Asina, si conozse que 5! ye 120, entós 4! ye 24 porque : <math> \frac{5!}{5} = \frac{120}{5} = 24 </math> y por tanto 3! tien de ser necesariamente 6 yá que : <math> \frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6 </math> El mesmu procesu xustifica'l valor de 2! = 2 y 1!=1 yá que: : <math> 2! = \frac{3!}{3} = \frac{6}{3} = 2 ,\qquad 1! = \frac{2!}{2} = \frac{2}{2} = 1 </math> Si aplicamos la mesma regla pal casu estremu en que ''n!=1 tendríamos que 0! correspuende a: : <math> 0! = \frac{1!}{1} = \frac{1}{1} = 1 </math> Llinia 141: Los factoriales úsense enforma na caña de la [[matemática]] llamada [[combinatoria]], al traviés del [[binomiu de Newton]], que da los [[coeficiente (matemátiques)\|coeficientes]] de la forma desenvuelta de (''a'' + ''b'')<sup>''n''</sup>: : <math> (a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 + \cdots + {n\choose n-1} ab^{n-1} + {n\choose n}b^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k} </math> onde <math>{n \choose k}</math> representa un [[coeficiente binomial]]: : <math> {n\choose k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} </math> D'igual forma puede atopase na derivación pola riegla del productu pa derivaes d'orde cimeru de manera similar que'l binomiu de newton: : <math> \frac{d^n x}{dx^n}(f(x) g(x)) = (f g)^{(n)} = {n\choose 0}f g^{(n)} + {n\choose 1} f^{'} g^{(n-1)} + {n \choose 2} f^{''} g^{(n-2)} + \cdots + {n\choose n-1} f^{(n-1)} g^{'} + {n\choose n} f^{(n)} g = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)} </math> Onde ''f''<sup>(''n'')</sup> ye la derivada enésima de la función f. Llinia 176: Pa valores grandes de ''n'', esiste una espresión averada pal factorial de ''n'', dáu pola [[fórmula de Stirling]]: : <math> n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{y} \right )^{n} \left ( 1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\cdots \right ) </math> Llinia 191: que : <math> \Gamma(n) = (n-1)! = \int^\infty_0 \; t^{n-1} y^{-t} \; dt \, </math>. Llinia 209: Defínese'l doble factorial de ''n'' por aciu la [[relación de recurrencia]]: : <math> n!! = \left \{ \begin{array}{lcl} 1 & \mbox{si} & n \leq 0 \\ (n-2)!! \cdot n & \mbox{si} & n > 0 \\ \end{array} \right . </math> Por casu: : <math> 8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384 </math> : <math> 9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945 </math> La ~~sucesión~~socesión de dobles factoriales {{OEIS\|id=A006882}} para: : <math> n = 0, 1, 2, \dots </math> Empieza asina: : <math> 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, \dots </math> La definición anterior puede estendese pa definir el doble factorial de númberos negativos: : <math> (n-2)!! = \frac{n!!}{n} </math> Y esta ye la ~~sucesión~~socesión de dobles factoriales para: : <math> n = -1, -3, -5, -7, \dots </math> : <math> 1, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{15}, \dots </math>

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