Diferencies ente revisiones de «Teoremas de incompletitud de Gödel»

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La numberación de Gödel ye una ferramienta que dexa rellacionar les teoríes formales cola [[aritmética]]. El [[llinguaxe formal|llinguaxe]] d'una [[lóxica de primer orde|teoría formal de primer orde]] ta compuestu por una cantidá —a lo sumo— [[conxuntu numerable|numerable]] de signos, como por casu:
 
:{{math|{{unicode|∃}}}} , {{math|{{unicode|⇒}}}} , {{math|¬}} , {{math|{{!}}}}, {{math|{{=}}}}, {{math|''x''}} , {{math|''y''}} , {{math|''z''}} , ... , {{math|0}} , {{math|+}} , {{math|×}} , {{math|S}}
 
nel casu del llinguaxe de la [[aritmética de Peano]], onde amás de los símbolos lóxicos y les variables, apaecen dellos símbolos adicionales pa la arimética (onde {{math|S}} ye'l símbolu pa denotar «el númberu siguiente a»). Tamién el conxuntu de toles cadenes (sucesiones finitas de signos) ye numerable, según el conxuntu de les sucesiones finitas de cadenes.
 
Una '''numberación de Gödel''' ye una asignación d'un únicu [[númberu natural]] pa cada elementu de cada unu d'estos trés conxuntos: signos, cadenes de signos y sucesiones de cadenes.
: «{{math|1=''x'' + [5] = 0}}» tornar en: 77-20-17-16-16-16-16-16-15-14-15, esto ye, en 7720171616161616151415
 
Pa una sucesiónsocesión de cadenes de signos, puede adoptase un conveniu similar, con un 88 inicial, pa indicar que se trata d'una sucesiónsocesión:
 
: La sucesiónsocesión «{{math|1=0 = 1}}, {{math|1=''y'' + 1 = 0}}» convertir en: 88-77-15-14-16-15-77-2000-17-16-15-14-15, ye dicir en: 8877151416157720001716151415
}}
 
:{{math|Sig ''x''}} : {{math|''x''}} ye (el númberu de Gödel de) un signu :{{math|Cad''x''}} : {{math|''x''}} ye (el númberu de Gödel de) una cadena (de signos)
:(Omítese «el númberu de Gödel de» d'equí p'arriba)
:{{math|Suc ''x''}} : {{math|''x''}} ye una sucesiónsocesión (de cadenes)
:{{math|Form ''x''}} : la cadena {{math|''x''}} ye una fórmula :{{math|Ax''x''}} : la fórmula {{math|''x''}} ye un axoma :{{math|Cons(''x'',''y'', ''z'')}}: «{{math|''x''}} ye una fórmula consecuencia inmediata de les fórmules {{math|''y''}} y {{math|''z''}}»
:{{math|Dem(''x'', ''y'')}}: «la sucesiónsocesión {{math|''x''}} ye una demostración de la fórmula {{math|''y''}}»
 
La forma precisa d'estes funciones y relaciones ye aballadora y depende del criteriu que s'escoyera pa efectuar la numberación de Gödel. En particular la relación {{math|Ax ''x''}} hai de construyise teniendo en cuenta un ciertu conxuntu d'axomes concretu, depués la relación {{math|Dem}} fai referencia a una teoría concreta que nun s'especificó.
:La función «multiplicar por 2» ta representada pola fórmula: {{math|1=''y'' = [2] × ''x''}}
:La relación d'orde {{math|''x'' ≤ ''y''}}, puede espresase por aciu: {{math|1={{unicode|∃}}''z'', ''z'' + ''x'' = ''y''}}
:La relación «{{math|''x''}} y {{math|''y''}} son [[coprimos|primos ente sigo]]» puede espresase como: {{math|1={{unicode|∀}}''z'', ''z'' ≠ [1] {{unicode|∧}} {{unicode|∃}}''w'', ''x'' = ''z'' × ''w'' {{unicode|⇒}} ¬{{unicode|∃}}''o'', ''y'' = ''z'' × ''o''}}.
 
Caúna d'estes relaciones ye ''espresada'' pola so fórmula correspondiente, nel sentíu de que si dos númberos tán rellacionaos, puede demostrase la espresión formal correspondiente; y cuando nun lo tán, puede refutarse.<ref>De manera rigorosa, dizse qu'una relación {{math|''R''(''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>k</sub>)}} ye '''expresable''' nuna teoría formal aritmética si esiste una fórmula {{math|''φ''(''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>k</sub>)}} de forma que si la relación {{math|''R''(''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>k</sub>)}} cumplir pa unos ciertos númberos {{math|''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>k</sub>}} entós puede demostrase la fórmula {{math|''φ''([''n''<sub>1</sub>],..., [''n''<sub>k</sub>])}}; y si la relación nun se cumple, entós dicha fórmula puede refutarse. Vease {{Harvsp|Ivorra||loc=§6.3}} o {{Harvsp|Boolos|Burgess|Jeffrey|2007|loc=§16}} (onde se denomina ''definability'').</ref> Por casu: