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Llinia 1: En [[teoría de probabilidá]], la '''varianza''' o '''variancia''' (que suel representase como <math>\sigma^2</math>) d'una [[variable aleatoria]] ye una [[midida de dispersión]] definida como la [[esperanza matemática\|esperanza]] del cuadráu de la esviación de felicidá variable al respective de la so media. O en poques ~~palabres~~pallabres, ye la media de les borrafes al cuadráu. La so unidá de midida correspuende al cuadráu de la unidá de midida de la variable: por casu, si la variable mide una distancia en metros, la varianza espresar en metros al cuadráu. La varianza tien como valor mínimu 0. La [[desviación estándar]] (raigañu cuadráu de la varianza) ye una midida de dispersión alternativa, espresada nes mesmes unidaes que los datos de la variable oxetu d'estudiu. Llinia 5: Hai que tener en cuenta que la varianza puede trate bien influyida polos [[valor atípicu\|valores atípicos]] y nun s'aconseya'l so usu cuando les distribuciones de les variables aleatories tienen coles pesaes. En tales casos encamiéntase l'usu d'otres midíes de dispersión más [[estadística robusta\|robustes]]. El términu ''varianza'' foi acuñáu por [[Ronald Fisher]] nun artículu publicáu en xineru de 1919 col títulu ''The Correlation Between Relatives on the Supposition of [[Lleis de Mendel\|Mendelian Inheritance]]''.<ref>Fisher, R. A. (1919). «The Correlation Between Relatives on the Supposition of [[Lleis de Mendel\|Mendelian Inheritance]]» [http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=8358911 Transactions of the Royal Society of Edinburgh] Vol. 52, 02, pp 399-433.</ref> == Definición == Llinia 81: == Varianza muestral == En munches situaciones ye precisu envalorar la varianza d'una población a partir d'una [[amuesa estadística\|amuesa]]. Si toma una amuesa con reemplazu <math>(y_1,\dots,y_n)</math> de ''n'' valores d'ella, d'ente tolos [[estimador]]es posibles de la varianza de la [[población estadística\|población]] de partida, esisten dos d'usu corriente: :<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2</math> :que la so demostración ye: :<math>\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2 \overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2 \overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2 \end{align}</math> Llinia 95: :<math>\begin{align} s^2 &= \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} 1\\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1} \end{align} </math> Llinia 109: :que la so demostración ye: :<math>\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-2 \overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i\\&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-2 \overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2\right) - \overline{y}^2 \end{align}</math> y :<math>s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n f_i y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}</math> : :que la so demostración ye: Llinia 118: s^2 & = \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1}\\ & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i\\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\ & = \frac{\sum_{i=1}^n f_iy_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1} \end{align} Llinia 135: \operatorname{Y}[s^2] & = \operatorname{Y}\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n Y_i^2 ~ - ~ \frac{n}{n-1} \overline{Y}^2 \right] \\ & = \frac{1}{n-1}\left( \sum \operatorname{Y}[Y_i^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\ & = \frac{1}{n-1}\left( n \operatorname{Y}[Y_1^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\ & = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \operatorname{Y}[Y_1]^2 ~ - ~ \operatorname{Var}(\overline{Y}) - \operatorname{Y}[\overline{Y}]^2 \right) \\ & = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \mu^2 ~ - ~ \frac{1}{n}\operatorname{Var}(Y_1) - \mu^2 \right) \\ Llinia 160: === Interpretaciones de la varianza muestral === Dexamos tres fórmules equivalentes pal cálculu de la varianza muestral <math>s_n </math> :<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2= \frac{1}{n^2} \sum_{i<j}\left(y_i-y_j\right)^2</math> (Demostración xeométrica en <nowiki>http://www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm</nowiki>) Esta última igualdá tien interés pa interpretar los estimadores <math>s^2 </math> y <math>s_n^2 </math>, pos si quier evaluase la esviación d'unos datos o les sos diferencies, puede optase por calcular el promediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos: :<math>2s_n^2= \frac { \sum_{\left(i\leqslant n, j \leqslant n \right)} \left(y_i - y_j \right)^ 2}{n^2}</math>. Nótese que'l númberu de sumandos ye <math> n^2</math>. O puede considerase el promediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos ensin tener en cuenta cada datu consigo mesmu, agora'l númberu de sumandos ye <math> n\left(n - 1\right)</math>.

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