Diferencies ente revisiones de «Númberu natural»

Contenido eliminado Contenido añadido
m Iguo testu: -"sucesivamente" +"socesivamente" -"sucesion" + "socesión" -"sucesor/a" +"socesor/a"
m Iguo testu: -"contien" +"contién"
Llinia 46:
* El 1 nun ye'l socesor de nengún númberu natural.
* Si hai dos númberos naturales ''n'' y ''m'' col mesmu socesor, entós ''n'' y ''m'' son el mesmu númberu natural.
* Si'l 1 pertenez a un conxuntu de númberos ''A'', y amás siempres se verifica que: dáu un númberu natural cualesquier que tea en ''A'', el so socesor tamién pertenez a ''A''; entós ''A'' contiencontién al conxuntu de tolos númberos naturales. Este ye l'axoma d'inducción, que prinda la idea de [[inducción matemática]].
 
== Versión de Bush-Obreanu ==
Llinia 54:
=== Definición en teoría de conxuntos ===
 
En [[teoría de conxuntos]] definir al conxuntu de los númberos naturales como'l mínimu conxuntu que ye inductivu. La idea ye que pueda cuntase faciendo una [[Función biyectiva|biyección]] dende un númberu natural hasta'l conxuntu d'oxetos que quier cuntase. Esto ye, pa dar la definición de ''númberu 2'', ríquese dar un exemplu d'un conxuntu que contenga precisamente dos elementos. Esta definición foi apurrida por [[Bertrand Russell]], y más tarde simplificada por [[Von Neumann]] quien propunxo que'l candidatu pa 2 fuera'l conxuntu que contiencontién solo a 1 y a 0.
 
Formalmente, un conxuntu {{math|''x''}} dizse que ye un ''númberu natural'' si cumple #
Llinia 61:
# Tou subconxuntu non vacíu de {{math|''x''}} tien elementos mínimu y máximu nel orde {{math|∈<sub>''x''</sub>}}
 
Inténtase pos, definir un conxuntu de númberos naturales onde cada elementu respete les convenciones anteriores. Primero búscase un conxuntu que sía'l representante del {{math|0}}, lo cual ye fácil yá que sabemos que {{math|∅}} nun contiencontién elementos. Depués defínense los siguientes elementos d'una manera atélite col usu del conceutu de ''socesor''.
 
Definir según [[Paul Halmos|Halmos]]- entós que'l conxuntu vacíu ye un númberu natural que se denota por {{math|0}} y que cada númberu natural {{math|''n''}} tien un ''socesor'' denotado como {{math|''n''<sup>+</sup>}}. Estes idees queden formalizaes por aciu les siguientes espresiones:
Llinia 80:
:{{math|''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a'' ⊆ ''b''}}
 
ye dicir qu'un númberu {{math|''a''}} ''ye menor o igual que'' {{math|''b''}} [[Bicondicional|si y solu si]] {{math|''b''}} contiencontién a tolos elementos de {{math|''a''}}.
 
Tamién puede usase otra definición más inmediata a partir del fechu de que cada númberu natural consta de los sos antecesores. Asina {{math|''a'' < ''b''}} si y solu si {{math|''a'' ∈ ''b''}}.
Llinia 86:
Esa ye la construcción [[Sistema formal|formal]] de los naturales que garantiza la so esistencia como conxuntu a la lluz del desenvolvimientu [[axoma|axomáticu]] [[Axomes de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]]. El [[postuláu]] de los conxuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como [[inducción matemática]].
 
Un teorema demuestra que cualquier conxuntu que sía inductivu contiencontién a tolos númberos naturales, ye dicir que si {{math|''A''}} ye un conxuntu inductivu, entós {{math|{{unicode|ℕ}} ⊆ ''A''}}. Esto significa que, n'efectu, {{math|{{unicode|ℕ}}}} ye'l mínimu conxuntu inductivu.
 
Defínese la [[suma]] por [[Inducción matemática|inducción]] por aciu:
Llinia 92:
:{{math|''a'' + ''b''<sup>+</sup> {{=}} (''a'' + ''b'') <sup>+</sup>}}
 
Lo que convierte a los númberos naturales {{math|({{unicode|ℕ}}, +)}} nun [[monoide]] conmutativu con [[elementu neutru]] 0, el llamáu ''Monoide Llibre con un xenerador''. Esti monoide satisfai la propiedá [[Cancelativo|cancelativa]] y polo tanto puede incluyise nun [[Grupu (matemática)|grupu matemáticu]]. El menor grupu que contiencontién a los naturales ye'l de los [[númberu enteru|númberos enteros]].
 
De manera análoga, la [[multiplicación]] × definir por aciu les espresiones: