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Diferencies ente revisiones de «0,9 periódicu»

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[[Archivu:999 equeñeserspectivePerspective 2.png|360px|right]]
En [[matemátiques]], '''0,999'''... (siendo la coma un [[separador decimal]]) ye'l [[númberu decimal periódicu]] que se demuestra nesti mesmu artículu— denota al [[unu|númberu 1]]. N'otres pallabres, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintes del mesmu [[númberu real]].<ref>0,9 periódicu tamién puede escribise como <math>\textstyle 0,\!\bar{9}</math> o <math>\textstyle 0,\!\dot{9}</math> o <math>\textstyle 0,\!(9)\,\!</math> o bien como un <math> 0, \ </math> siguíu de tantos 9's como se deseye na parte decimal periódica.</ref> Les [[Demostración matemática|demostraciones]] matemátiques d'esta [[Igualdá matemática|igualdá]] formuláronse con distintos graos de [[rigor matemáticu|rigor]], dependiendo del métodu escoyíu pa definir los númberos reales, les hipótesis y camientos de partida, el contestu históricu o'l públicu al que se dirixe.
 
El fechu de que ciertos númberos reales puedan representase por más d'una secuencia de díxitos nun se llinda al [[sistema de numberación decimal|sistema decimal]] namái. El mesmu fenómenu asocede en toles [[base (aritmética)|bases]] [[númberu enteru|enteres]], y los matemáticos tamién cuantificaren les maneres d'escribir 1 en bases non enteres. Nin siquier se trata d'un fenómenu acutáu al númberu 1: tou númberu decimal finitu non nulu tien un ximielgu con infinitos nuevos, por casu: 2 y 1,999... representen al númberu natural dos; 28,3287 y 28,3286999... tamién representen al mesmu númberu decimal. equeñesorPor simplicidá, el decimal finito ye casi siempres la representación preferida, lo que puede contribuyir a una equivocada interpretación de que ye la ''única'' representación. equeñeserPer otra parte, la forma ''non terminal'' d'un númberu dexa estudiar más fácilmente'l patrones de la espansión decimal de ciertes [[Fracción|fracciones]]; en base tres, por casu, dexa espresar la estructura ternaria del [[conxuntu de Cantor]], un [[fractal]] simple. La ''representación múltiple'' tien de tomase en cuenta na [[Diagonalización de Cantor|demostración clásica]] de la non numerabilidá de los númberos reales. De manera más xeneral, cualesquier [[sistema de numberación posicional]] de los númberos reales, contién una cantidá infinita de númberos con representaciones múltiples.
 
La igualdá 0,999... = 1 acéptase dende va tiempu polos matemáticos ya inclúiese nos llibros de testu. Nun foi hasta les últimes décades en que los [[Educación matemática|enseñantes de matemática]] se decidieron por estudiar la percepción d'esta igualdá ente los estudiantes, munchos de los que primeramente la cuestionaron o la negaron. Munchos persuádense por una [[Argumentu d'autoridá|apelación a l'autoridá]] de los llibros de testu y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sicasí, dalgunos nun se conformen polo que busquen una xustificación ulterior.
Llinia 13:
Una razón pola que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, ye que dexa la representación de fracciones. Utilizando l'algoritmu de la división, una simple división d'enteros como 1/9, convertir nel decimal periódicu 0,111..., nel que los díxitos repitir ensin fin. Esti exemplu utilizar pa dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.
 
La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada díxitu, asina 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo qu'implica que 0,999... = 1:<ref>equeñeseressiniPeressini p.186.</ref>
 
<math>
Llinia 27:
=== Multiplicación por 10 ===
 
Cuando un númberu escritu en notación decimal multiplicar por 10, los díxitos nun camuden pero'l separador decimal muévese un llugar a la derecha. Asina, 10 × 0,999... = 9,999..., que ye 9 unidaes mayor que'l númberu orixinal. equeñesaPa comprobalo, basta restar 0,999... de 9,999..., los díxitos a la derecha del separador decimal atáyense unu a unu, y la resultancia ye 9&nbsp;−&nbsp;9&nbsp;=&nbsp;0 pa cada unu d'estos díxitos:
 
:<math>
Llinia 41:
=== Discutiniu ===
 
Anque estes pruebes demuestren que 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, el pretender qu'«espliquen» la ecuación, depende de les mires de l'audiencia atendida. N'aritmética elemental, estes pruebes ayuden a esplicar por qué 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, o por qué 0,333...&nbsp;<&nbsp;0,34. N'álxebra elemental, estes demostraciones espliquen por qué'l métodu xeneral de conversión ente fracciones y númberos decimales funciona. equeñeseroPero les pruebes nun esclarien la relación fundamental ente los decimales y los númberos a los que representen, onde subyaz la entruga de cómo dos decimales distintos pueden ser, ello ye qu'iguales.<ref>Esti argumentu atópase en equeñeseressiniPeressini y equeñeseressiniPeressini p. 186.</ref> William Byers argumenta que l'estudiante qu'acepta que 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 basáu nestes pruebes, pero que nun resolvió l'ambigüedá, nun entendió realmente la ecuación.<ref>Byers pp. 39–41.</ref> Según Fred Richman, el primer argumentu «toma la so fuerza del fechu de que la mayor parte de la xente foi adoctrinada p'aceptar la primer ecuación ensin pensalo».<ref>Richman p. 396.</ref>
 
Una vegada que se definió un esquema representativu, puede usase pa xustificar les riegles de l'aritmética decimal utilizada nestes demostraciones. Entá más, puede demostrase directamente que los decimales 0,999... y 1,000... representen el mesmu númberu real; esta construcción ''por definición'' esplícase más embaxo.
Llinia 47:
== Demostraciones analítiques ==
 
Como la cuestión de 0,999... nun afecta al desenvolvimientu formal de les matemátiques, puede aplazase hasta que se demuestren los teoremes estándares del [[analís real]]. Un requisitu ye caracterizar los númberos reales que pueden escribise en notación decimal, compuestu por un signu opcional, una secuencia finita de cualquier númberu de díxitos que formen la parte entera, un separador decimal y una secuencia de díxitos que formen la parte fraccionaria. equeñesaPa falar de 0,999... la parte entera puede resumise como ''b<sub>0</sub>'' y pueden desdexase negativos, asina una espansión decimal tien la forma
 
:<math>b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots</math>
Llinia 56:
{{vt|Representación decimal}}
 
El desenvolvimientu quiciabes más común de les espansiones decimales, ye definiles en términos de [[series infinites]]. equeñesoloPolo xeneral:
 
:<math>b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1\left({\tfrac{1}{10}}\right) + b_2\left({\tfrac{1}{10}}\right)^2 + b_3\left({\tfrac{1}{10}}\right)^3 + b_4\left({\tfrac{1}{10}}\right)^4 + \cdots .</math>
 
equeñesaPa 0,999... puede aplicase'l teorema de [[serie converxente|converxencia]] de les [[Serie xeométrica|series xeométriques]]:<ref>Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706</ref>
 
:Si <math>|r| < 1 \,\!</math> entós <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.</math>
Llinia 72:
[[Archivu:base4 333.svg|right|thumb|250px|Llendes: l'intervalu unidá, incluyendo la socesión de fracciones (en [[Sistema de numberación cuaternariu|base 4]]): <math>\scriptstyle 0,3~;~0,33~;~0,333~;~ \ldots</math> que converxe a 1.]]
 
La suma de series xeométriques en sí, son una resultancia anterior a Euler. Una demostración típica del [[sieglu XVIII]] utiliza una manipulación términu a términu asemeyada a la [[#Multiplicación por 10|demostración alxebraica]] enantes amosada; en 1811, el llibru de testu de Bonnycastle ''Una Introducción a l'Álxebra'' usa una serie xeométrica d'esti tipu pa xustificar la mesma maniobra sobre 0,999....<ref>Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177.</ref> Una reacción del [[sieglu XIX]] contra tales métodos d'adición lliberales resultó na definición qu'entá apodera güei: la suma d'una serie ''definese'' como la llende de la socesión de les sos sumes parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula esplícitamente esta socesión; puede atopase en cualquier introducción al cálculu o l'analís basáu na demostración.<ref>J. Stewart p.706, Rudin p.61, equeñesrotterProtter y Morrey p.213, equeñesughPugh p.180, J.B. Conway p.31.</ref>
 
Una [[Socesión matemática|socesión]] (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...) tien por [[Llende d'una socesión llende]] ''x'' si la distancia |''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>| se vuelve arbitrariamente pequeña a midida que ''n'' aumenta. L'afirmación mesma 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 pue interpretase y demostrase como llende:<ref>La llende sigue, por casu, de Rudin p. 57, Teorema 3.20y. equeñesaPa un enfoque más directu, ver tamién Finney, Weir, Giordano (2001) ''Thomas' Calculus: Early Transcendentals'' 10ed, Addison-Wesley, New York. Sección 8.1, exemplu 2(a), exemplu 6(b).</ref>
 
:<math>0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math>
 
L'últimu pasu, que <math>\lim_{n \to \infty}\frac{1}{10^n} = 0</math>, suel xustificase pol axoma de la [[propiedá arquimediana]] de los númberos reales. Esta actitú a la escontra <math>\scriptstyle 0,999\ldots</math> basada en llendes ye por cierto más evocadora, anque muncho menos precisa. equeñesorPor casu, nel llibru de testu de 1846 ''The University Arithmetic'' esplícase: «0,999 +, siguiendo al infinitu = 1, porque cada 9 anexáu avera'l valor entá más a 1»; el testu de 1895 ''Arithmetic for Schools'' diz «...cuando se toma una gran cantidá de 9s, la diferencia ente 1 y 0,99999... vuélvese inconcebiblemente pequeña».<ref>Davies p. 175; Smith y Harrington p. 115.</ref> Estos enfoques [[Heurística|heurísticos]] suelen interpretase polos estudiantes como que 0,999... en sí ye menor que 1.
 
=== Intervalos encaxaos y cotes cimeres ===
{{vt|equeñesrincipiuPrincipiu de los intervalos encaxaos}}
[[Archivu:999 Intervals C.svg|right|thumb|250px|Intervalos encaxaos: en base 3, 1 = 1,000... = 0,222...]]
 
La definición de series amosada más arriba ye una manera cenciella de definir un númberu real denotáu por una espansión decimal. El procesu opuestu apurre una visión complementaria: pa un númberu real dáu, definir la espansión decimal que lu denota.
 
Si un númberu real ''x'' pertenez al [[intervalu zarráu]] [0 ; 10] (i.y, ye mayor o igual a cero y menor o igual a diez), puede estremase esti intervalu en diez partes que se superpongan namái nes estremidaes: [0 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 3], y asina hasta [9 ; 10]. El númberu ''x'' tien de pertenecer a dalgún d'ellos; si pertenez a [2 ;3], anótase'l díxitu «2» y subdivídese esi intervalu en [2 ; 2,1], [2,1 ; 2,2], ..., [2,8 ; 2,9], [2,9 ; 3]. Siguiendo esti procesu llógrase una socesión infinita d'[[equeñesrincipiuPrincipiu de los intervalos encaxaos|intervalos encaxaos]], retulaos por una socesión infinita de díxitos ''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>, ..., que s'escriben
 
:<math>x = b_0,b_1b_2b_3 \dots</math>
 
Con esti formalismu, les identidaes 1&nbsp;=&nbsp;0,999... y 1&nbsp;=&nbsp;1,000... reflexen, respectivamente, el fechu de que'l 1 tea tantu nel intervalu [0 ; 1] como en [1 ; 2], polo que puede escoyese cualesquier de los dos intervalos al escribir los díxitos. equeñesP'asegurase de qu'esta notación nun abuse del signu «=», riquir d'un métodu que dexe reconstruyir un únicu númberu real pa cada decimal, como por casu les llendes; otres construcciones enceten la tema del ordenamientu.<ref>Beals p. 22; I. Stewart p. 34.</ref>
 
Una opción directa ye'l [[equeñesrincipiuPrincipiu de los intervalos encaxaos|teorema de los intervalos encaxaos]], que garantiza que, dada una socesión d'intervalos zarraos encaxaos, que la so llargor puede facese arbitrariamente pequeña, los intervalos contienen exactamente un númberu real nel so [[Intersección de conxuntos|intersección]]. Asina, ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... queda definíu como l'únicu númberu conteníu en tolos intervalos [''b''<sub>0</sub> ; ''b''<sub>0</sub> + 1], [''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> + 0,1], y asina socesivamente. D'esta miente, 0,999... ye l'únicu númberu real que ta en tolos intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] pa cada cola finita de 9s. Teniendo en cuenta que'l 1 ye un elementu de cada unu d'estos intervalos, 0,999... = 1.<ref>Bartle and Sherbert pp. 60–62; equeñesedrickPedrick p. 29; Sohrab p. 46.</ref>
 
El teorema de los intervalos surde polo xeneral como una característica entá más fundamental de los númberos reales: la existencia de la ''mínima cota cimera'' o [[supremu]]. equeñesaPa esplotar directamente estos oxetos, defínese ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... como la mínima cota cimera del conxuntu d'aproximantes {''b''<sub>0</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> ; ...}.<ref>Apostol pp. 9, 11–12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27.</ref> equeñesuedePuede demostrase qu'esta definición (o la definición de los intervalos encaxaos) ye consistente col procesu de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol conclúi,
 
{{cita|El fechu de qu'un númberu real pueda tener dos representaciones decimales distintos ye puramente un reflexu del fechu de que dos conxuntos distintos de númberos reales pueden tener el mesmu supremu.<ref>Apostol p. 12.</ref>}}
Llinia 101:
{{vt|Axomes de los númberos reales}}
 
equeñesuedePuede definise explícitamente a los númberos reales como una cierta [[Axomes de los númberos reales|estructura construyida sobre los númberos racionales]], basándose na [[teoría axomática de conxuntos]]. Los [[númberos naturales]] – 0, 1, 2, 3, ... – empiecen en 0 y siguen ascendentemente, de cuenta que cada númberu tien un socesor. Esti conxuntu puede estendese al añedir los negativos, llográndose asina'l conxuntu de los [[númberos enteros]]; éstos, de la mesma, tamién pueden estendese si añeden los cocientes, a los [[númberos racionales]]. Estos conxuntos numbéricos acompañar de los cuatro operaciones aritmétiques fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. De manera más sutil, tienen un [[Teoría del orde|ordenamientu]], de cuenta que cada unu d'estos númberos puede ser comparáu con dalgún otru, y va ser menor que, mayor que, o igual a esti otru númberu.
 
El pasu de los racionales a los reales ye una estensión enforma mayor. Hai siquier dos maneres corrientes de faelo, dambes publicaes en 1872: per mediu de les [[cortadures de Dedekind]] y por [[Socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]]. equeñesruebesPruebes de que 0,999... = 1 qu'utilicen directamente estes construcciones nun s'atopen en llibros de testu d'analís real, onde l'enclín modernu mientres les últimes décades foi l'usu del analís axomáticu. Inclusive cuando la hai, la construcción ye usualmente aplicada a la demostración de los axomes de los númberos reales, que depués sofiten les pruebes anteriores. Sicasí, munchu autores sostienen qu'empezar cola construcción ye más apropiáu lóxicamente, y les pruebes que resulten tienen mayor autonomía.<ref>La síntesis histórica foi reivindicada por Griffiths y Hilton (p.xiv) en 1970 y de nuevu por equeñesughPugh (p. 10) en 2001; dambos prefieren de fechu les cortadures de Dedekind a los axomes. equeñesalPal usu de les cortadures en llibros de testu, vease equeñesughPugh p. 17 o Rudin p. 17. equeñesaPa puntos de vista en lóxica, equeñesughPugh p. 10, Rudin p.ix, o Munkres p. 30.</ref>
 
=== Cortadures de Dedekind ===
{{vt|Cortadures de Dedekind}}
 
Nel métodu de les cortadures de Dedekind, cada númberu real ''x'' defínese como'l [[conxuntu infinitu]] de tolos númberos racionales que son menores que ''x''.<ref>Enderton (p. 113) diz al respeutu: «La idea detrás de les cortadures de Dedekind ye qu'un númberu real ''x'' puede denotarse per mediu d'un conxuntu infinitu de racionales, netamente, tolos racionales menores que ''x''. Vamos Definir n'efectu a ''x'' como'l conxuntu de racionales menores que ''x''. equeñesaPa evitar circularidá na definición, tenemos de poder caracterizar los conxuntos de racionales que pueden llograse d'esta forma...»</ref> En particular, el númberu real 1 ye'l conxuntu de tolos númberos racionales menores a 1.<ref>Rudin pp. 17–20, Richman p. 399, o Enderton p. 119. equeñesaPa ser precisos, Rudin, Richman, y Enderton llamen a esta cortadura 1*, 1<sup>−</sup>, y 1<sub>''R''</sub>, respectivamente; los trés identificar col númberu real 1 tradicional. Nótese que lo que Rudin y Enderton llamen una cortadura de Dedekind, Richman llamar «cortadura non principal de Dedekind».</ref> Toa espansión decimal positiva determina fácilmente una cortadura de Dedekind: el conxuntu de númberos racionales que son menores que dalguna etapa de la espansión. Depués el númberu real 0,999... ye'l conxuntu de númberos racionales ''r'' tales que ''r'' < 0, o ''r'' < 0,9, o ''r'' < 0,99, o ''r'' ye menor que dalgún otru númberu de la forma :<math>\begin{align}1-\left(\tfrac{1}{10}\right)^n\end{align}</math>.<ref>Richman
p. 399.</ref>
Llinia 122:
Cuidao que 0,999... y 1 contienen los mesmos númberos racionales, son el mesmu conxuntu: 0,999... = 1.
 
Esta definición de los númberos reales como cortadures de Dedekind foi publicada per primer vegada por [[Richard Dedekind]] en 1872.<ref name="MacTutor2">{{cita web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/equeñesrintHTPrintHT/Real_numbers_2.html |títulu=History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert |autor=J J O'Connor and Y F Robertson |obra=MacTutor History of Mathematics |fecha=ochobre de 2005 |fechaaccesu=30 d'agostu de 2006}}</ref> El métodu descritu enantes p'asignar un númberu real a cada espansión decimal ye por cuenta de una publicación de calter esplicativu intitulada: ''"Is 0.999 ... = 1?"'' de Fred Richman en ''[[Mathematics Magacín]]'', dirixida a enseñantes de matemática de nivel entemediu y los sos estudiantes.<ref>Richman.</ref> Richman nota qu'al tomar les cortadures de Dedekind en cualesquier [[conxuntu trupu|subconxuntu trupu]] de los númberos racionales llógrase la mesma resultancia; en particular, utiliza [[fracciones decimales]], pa les cualos la demostración ye más inmediata. Tamién nota que, típicamente, les definiciones dexen que { x : x < 1 } sía una cortadura pero non { x : x ≤ 1 } (o viceversa).
 
"¿equeñesaraPara qué faer esto? equeñesrecisamentePrecisamente pa esaniciar la posibilidá de qu'esistan númberos distintos 0,9* y 1. [...] Entós vemos que na definición tradicional de los númberos reales, la ecuación 0,9* = 1 ta incorporada dende l'empiezu."<ref>Richman pp. 398–399.</ref> Un cambéu suplementariu del procesu lleva a una estructura distinta onde nun son iguales. Anque consistente, munches de les operaciones aritmétiques avezaes fallen, por casu la fracción 1/3 nun tien representación; vease [[#En sistemes de numberación alternativos|sistemes de numberación alternativos]] más embaxo.
 
=== Socesiones de Cauchy ===
Llinia 146:
== Xeneralizaciones ==
 
La resultancia 0,999... = 1 xeneralízase rápido de dos formes. De primeres, tou númberu non nulu con una notación decimal finita (equivalentemente, con una socesión infinita de ceros) tien una contraparte con infinitos nueves, por casu: 0,24999... ye igual a 0,25 esactamente como nel casu especial consideráu. Estos númberos son esactamente les fracciones decimales, y son [[conxuntu trupu|trupes]].<ref>equeñesetkovšekPetkovšek p. 408.</ref>
 
De segundes, un teorema comparable puede aplicase en cada radix o [[Base (aritmética)|base]], por casu: en base 2 ([[sistema binariu]]), 0,111... ye igual a 1, y en base 3 ([[sistema ternariu]]), 0,222... ye igual a 1. Los llibros de testu d'analís real suelen resalvar l'exemplu 0,999... y presenten dalguna d'estos dos xeneralizaciones dende l'empiezu.<ref>equeñesrotterProtter and Morrey p. 503; Bartle and Sherbert p. 61.</ref>
 
Representaciones alternatives del 1 tamién se dan en bases non enteres, por casu, na [[base áurea]] , los dos representaciones estándar son 1,000... y 0,101010..., y esisten infinites representaciones más qu'inclúin 1s axacentes. equeñesoloPolo xeneral, pa ''casi tou'' ''q'' ente 1 y 2, esisten incontables espansiones en ''q''-base del 1. equeñeserPer otru llau, hai incontables ''q'' (incluyendo tolos númberos naturales mayores que 1) pa los cualos namái hai una espansión en ''q''-base del 1, amás del 1,000.... trivial. Esta resultancia foi llográu per vegada primera por [[equeñesaulPaul Erdős]], Miklos Horváth y István Joó alredor de 1990. En 1998, Vilmos Komornik y equeñesaolaPaola Loreti determinaron la menor base d'esti tipu, la [[constante de Komornik–Loreti]] ''q'' = 1,787231650.... Nesta base, 1 = 0,11010011001011010010110011010011...; los díxitos vienen daos pola [[socesión de Thue-Morse]], que nun se repite.<ref>Komornik and Loreti p. 636.</ref>
 
Una xeneralización de mayor algame fai referencia a ''los sistemes de numberación posicional más xenerales''. Estos sistemes tamién tienen múltiples representaciones, y, per un sitiu, revisten mayor entueyu, por casu:<ref>Kempner p. 611; equeñesetkovšekPetkovšek p. 409.</ref>
* Nel sistema [[ternariu banciáu]], <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = 0,111... = 1,<o>111</o>....
* Nel inversu del sistema [[factorádico]] (utilizando bases 2,3,4,... pa posiciones ''dempués'' del puntu decimal), 1 = 1,000... = 0,1234....
Llinia 159:
 
El fechu de que toos estos sistemes de numberación estremaos aprovan múltiples representaciones pa dellos númberos reales, puede atribuyise a una diferencia fundamental ente los númberos reales, en cuantes que conxuntu ordenáu, y una colección de cadenes infinites de símbolos ordenaos [[Orde lexicográficu|lexicográficamente]]. Ello ye que les siguientes dos propiedaes dan cuenta d'esta dificultá:
* Si un [[Intervalu (matemática)|intervalu]] de los [[númberos reales]] se [[equeñesarticiónPartición (matemática)|particiona]] en dos partes non vacíes ''L'' y ''R'' tales que cada elementu de ''L'' seya (puramente) menor que tou elementu de ''R'', entós: o bien ''L'' contién un elementu mayor, o bien ''R'' contién un elementu menor, pero non dambos.
* La colección de [[Cadena de carácter|cadenes]] infinites de símbolos tomaos de cualquier alfabetu» finitu, ordenáu lexicográficamente, pue ser particionáu en dos partes non vacíes ''L'' y ''R'', tales que cada elementu de ''L'' ye menor que tou elementu de ''R'', onde ''L'' contién un elementu mayor ''y'' ''R'' contién un elementu menor. Ello ye que ye abondu con tomar dos subcadenes finites (iniciales) ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> d'elementos de la colección, tales que difieran namái nel símbolu final, pal que tienen valores socesivos, y tomar pa ''L'' el conxuntu de toles cadenes na colección que la so subcadena correspondiente seya lo más ''p''<sub>1</sub>, y pa la borrafa ''R'', la cadena de la colección que la so subcadena correspondiente seya siquier ''p''<sub>2</sub>. Depués, ''L'' tien un elementu mayor, empezando por ''p''<sub>1</sub> y escoyendo el mayor símbolu disponible en toles posiciones siguientes, onde ''R'' tien un elementu menor que se llogra al siguir ''p''<sub>2</sub> del menor símbolu en toles posiciones.
 
El primer puntu deduzse de propiedaes básiques de los númberos reales: ''L'' tien un [[supremu]], ''R'' tien un [[ínfimu]], y vese darréu que son iguales; un númberu real va tar en ''R'' o en ''L'' pero non en dambos, pos son [[conxuntos dixuntos]]. El segundu puntu xeneraliza'l par 0,999.../1,000... llográu por ''p''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;"0", ''p''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;"1". Ello ye que nun ye necesariu utilizar el mesmu alfabetu pa toles posiciones (de cuenta que por casu los sistemes de [[raigañu mistu]] pueden incluyise) o considerar la colección completa de cadenes posibles; los únicos puntos importantes son que, en cada posición, un [[conxuntu finito]] de símbolos (que pueden depender inclusive de los símbolos previos) pueda ser escoyíu (esto ye necesariu p'asegurar eleiciones máximes y mínimes), y qu'al faer una eleición válida pa cualquier posición, la resultancia tien de ser una cadena infinita válida (de cuenta que nun se dexa «9» en cada posición si prohiben socesión infinites de «9»s). So estes premises, l'argumentu anterior amuesa qu'una aplicación que [[Función monótona|caltien l'orde]] de la colección de cadenes a un intervalu de númberos reales, nun puede ser una [[Función biyectiva|biyección]]: o bien dellos númberos nun correspuenden a nenguna cadena, o bien dalgunos d'ellos correspuenden a más d'una cadena.
 
Marko equeñesetkovšekPetkovšek demostró que pa tou sistema posicional que nome a tolos númberos reales, el conxuntu de reales que va tener representación múltiple ye siempres trupu. Llapada a esta demostración: «un exerciciu instructivu en ''topología punto-conxuntu''»; arreya conxuntos de valores posicionales vistos como [[Espaciu de Stone|espacios de Stone]] y el fechu de que la so representación real vien dada por [[Función continua#Funciones continues n'espacios topolóxicos|funciones continues]].<ref>equeñesetkovšekPetkovšek pp. 410–411.</ref>
 
== Aplicaciones ==
 
Una aplicación de 0,999... como representación de 1 dar en [[teoría de númberos]] elemental. En 1802, H. Goodwin publicó una observación sobre l'apaición de 9s nes representaciones decimales periódiques de fracciones que'l so denominador son ciertos [[númberos primos]]. equeñesorPor casu
 
* <sup>1</sup>/<sub>7</sub> = 0,142857142857... y 142 + 857 = 999.
Llinia 174:
 
Y. Midy probó una resultancia xeneral sobre estes fracciones, güei llamáu'l ''[[teorema de Midy]]'', en 1836. La prueba ye escura, y nun ta claro si la so demostración arreya directamente 0,999..., pero hai siquier una prueba moderna, realizada por W. G. Leavitt, que sí lo fai; si puede demostrase qu'un númberu decimal de la forma 0.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... ye un enteru positivu, entós tien que ser 0,999..., que ye la fonte de los 9s nel teorema.<ref>Leavitt 1984 p. 301.</ref> Les investigaciones nesta dirección pueden motivar el desenvolvimientu de conceutos tales como [[máximu común divisor]], [[aritmética modular]], [[Númberu de Fermat|númberos de Fermat]], [[Orde (teoría de grupos)|orde]] d'elementos d'un [[Grupu (matemática)|grupu]] y la [[llei de reciprocidá cuadrática]].<ref>Lewittes pp. 1–3; Leavitt 1967 pp. 669, 673; Shrader-Frechette pp. 96–98.</ref>
[[Archivu:Cantor base 3.svg|right|thumb|equeñesosicionesPosiciones de <sup>1</sup>/<sub>4</sub>, <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, y 1 nel [[conxuntu de Cantor]]]]
N'analís real, el casu análogu en base-3: 0,222... = 1, xuega un papel esencial na caracterización d'unu de los [[fractales]] más simples: el [[conxuntu de Cantor]]:
* Un puntu del [[intervalu unidá]] ta nel conxuntu de Cantor si y solu si puede ser representáu en sistema ternariu usando namái los díxitos 0 y 2.
 
El ''n-ésimu'' díxitu de la representación reflexa la posición del puntu na ''n-ésima'' etapa de la construcción. equeñesorPor casu, el puntu <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub> da cola representación avezada de 0,2 o 0,2000..., yá que ta a la derecha de la primer etapa y a la izquierda de toa etapa de construcción posterior. El puntu <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> represéntase non como 0,1 sinón como 0,0222..., pos ta a la izquierda de la primer etapa y a la derecha de toa etapa de construcción posterior.<ref>equeñesughPugh p. 97; Alligood, Sauer, y Yorke pp. 150–152. equeñesrotterProtter y Morrey (p. 507) and equeñesedrickPedrick (p. 29) asignen esta descripción como exerciciu.</ref>
 
Los nueves repitíos apaecen tamién n'otru trabayu de George Cantor: tienen de tomase en cuenta pa construyir una prueba válida, al aplicar el so [[Diagonalización de Cantor|prueba diagonal de 1891]] a les espansiones decimales ed la [[Conxuntu non numerable|non denombrabilidá]] del intervalu unidá. Esta demostración precisa poder declarar la diferencia ente ciertos pares de númberos reales basada nes sos espansiones decimales, polo que se deben evitar pareyes como 0,2 y 0,1999... Un métodu simple representa tolos númberos con espansión non finita; el métodu opuestu esclúi nueves repetitivos.<ref>Maor (p. 60) y Mankiewicz (p. 151) revisión del métodu anterior; Mankiewicz atribuyir a Cantor, pero la fonte primaria nun ta clara. Munkres (p. 50) menta l'últimu métodu.</ref> Una variante quiciabes más cercana al argumentu orixinal de Cantor utiliza de fechu base-2: tresformando les espansiones en base-3 n'espansiones en base-2, puede demostrase igualmente la non denombrabilidá del conxuntu de Cantor.<ref>Rudin p. 50, equeñesughPugh p. 98.</ref>
 
== Escepticismu na enseñanza ==
 
Los estudiantes en matemática suelen refugar la igualdá de 0,999... y 1, por razones que van dende la so apariencia desemeyada, hasta fondos equívocos sobre'l conceutu de [[llende d'una socesión]] y la naturaleza de los [[infinitesimal]]es. Hai dellos factores que contribúin al tracamundiu:
* Los estudiantes suelen tar «mentalmente comprometíos cola noción de qu'un númberu puede representase d'una manera y solo d'una manera por un decimal.» Ver dos decimales manifiestamente distintos representando'l mesmu númberu paez una [[paradoxa]], lo que s'amplifica pola apariencia del supuestamente bien entendíu númberu 1.<ref>Bunch p. 119; Tall y Schwarzenberger p. 6. La última suxerencia débese a Burrell (p. 28): «Quiciabes el más fitu de tolos númberos ye'l 1&nbsp;... equeñesoloPolo que ye particularmente perturbador cuando se trata de pasar al 0,9~ como 1.»</ref>
* Dellos estudiantes interpreten «0,999...» (o dalguna notación asemeyada) como una cola llarga pero finita de 9s, posiblemente con un llargor variable y non especificada. Si acepten una cola infinita de nueves, pueden esperar entá un postreru 9 «al infinitu».<ref>Tall y Schwarzenberger pp. 6–7; Tall 2000 p. 221.</ref>
* La intuición y l'enseñanza ambigua lleven a los estudiantes a pensar que la llende d'una socesión ye dalgún tipu de procesu infinitu en llugar d'un valor fixu, yá que una socesión non necesariamente algama la so llende. Cuando los estudiantes acepten la diferencia ente una socesión de númberos y la so llende, pueden llegar a lleer «0,999...» como si significara la socesión en llugar de la so llende.<ref>Tall y Schwarzenberger p. 6; Tall 2000 p. 221.</ref>
Llinia 193:
Munches d'estes esplicaciones fueron propuestes pol profesor [[David O. Tall]], quien estudió les característiques de la enseñanza y la cognición que lleven a dellos de los tracamundios qu'atopó ente los sos estudiantes del colexu. Entrugando a los sos estudiantes pa determinar por qué la vasta mayoría refuga primeramente la igualdá, atopó que «los estudiantes siguen concibiendo'l 0,999... como una socesión de númberos que s'averen más y más a 1 y non como un valor fixu, porque 'nun s'especificó cuántos llugares hai' o 'ye'l decimal más cercanu posible debaxo del 1'».<ref>Tall 2000 p. 221.</ref>
 
De les pruebes elementales, multiplicar 0,333... = <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> por 3 ye aparentemente una estratexa convincente pa persuadir a los estudiantes reticentes de que 0,999... = 1. Aun así, confrontados col conflictu ente la so creencia na primer ecuación y la negación alrodiu de la segunda, dellos estudiantes empiecen a descreer de la primera, o bien, terminen atayaos.<ref>Tall 1976 pp. 10–14.</ref> Tampoco tán a salvo métodos más sofisticaos: estudiantes que son absolutamente capaces d'aplicar definiciones rigoroses, pueden entá sentir la necesidá de recurrir a imáxenes intuitives cuando son sosprendíos por resultaos matemáticos avanzaos, incluyendo 0,999... equeñesorPor casu, n'analís real, una estudiante foi capaz de probar que 0,333... = <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> utilizando la definición del [[supremu]], pa depués aportunar en que 0,999... < 1 basada na so conocencia previa de división euclídea.<ref>equeñesintuPintu and Tall p. 5, Edwards y Ward pp. 416–417.</ref> Dalgunos más, son capaces de probar que <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> = 0,333..., pero, confrontaos cola [[#Fracciones y división euclidiana|prueba por fracciones]], aportunen en que la lóxica» prevalez sobre los cálculos matemáticos.
 
[[Joseph Mazur]] cunta la hestoria d'un brillante estudiante de cálculu que «cuestionaba casi tolo que yo dicía en clase pero nunca cuestionaba la so calculadora,» y que creía que nueve dígitos yera tolo que se precisaba pa facer matemátiques, incluyendo'l cálculu del raigañu cuadráu de 23; esti estudiante quedó inconforme col argumentu de que 9,99... = 10, llamándolo un «feroz procesu imaxinativu de crecedera infinita»."<ref>Mazur pp. 137–141.</ref>
Llinia 205:
La edición del 2003 de la columna «interés xeneral» del diariu ''[[The Straight Dope]]'' alderica sobre'l 0,999... vía <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> y llendes, y fala de los tracamundios surdíos na tema:
 
{{cita|1=El primate inferior que nos habita entá s'aguanta, diciendo: 0,999~ nun representa verdaderamente un ''númberu'', sinón, un ''procesu''. equeñesP'atopar un númberu tenemos de parar el procesu, puntu en que la igualdá 0,999~ = 1 ruémpese.
Ye cualquier cosa.<ref>{{cita web
|url=http://www.straightdope.com/columns/030711.html
Llinia 222:
| url=http://us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?040401
| títulu=Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1
| obra=equeñesressPress Release
| editorial=Blizzard Entertainment
| fecha=1 d'abril de 2004
Llinia 250:
Dalgunes de les demostraciones de que 0,999... = 1 se basa na [[propiedá arquimediana]] de los númberos reales: nun hai [[infinitesimal]]es non nulos. Específicamente, la diferencia 1&nbsp;−&nbsp;0,999... tien de ser menor que cualquier númberu racional positivu, polo que tien de ser un infinitesimal; yá que los númberos reales nun contienen infinitesimales non nulos, síguese que la diferencia tien de ser cero, y poro, los dos valores son el mesmu.
 
equeñesuedenPueden construyise [[estructures alxebraiques]] ordenaes, matemáticamente coherentes, incluyendo delles alternatives a los númberos reales, que son non arquimedianes. equeñesorPor casu, los [[Númberu dual|númberos duales]] inclúin un nuevu elementu infinitesimal ε, análogu a la unidá imaxinaria ''i'' de los [[númberos complexos]], sacante pol fechu que ε<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;0. La estructura que resulta ye d'utilidá en [[diferenciación automática]]. Los númberos duales pueden dotase d'un [[orde lexicográficu]], y nesi casu los múltiplos de conviértense n'elementos non arquimedianos.<ref>Berz 439–442.</ref> Hai que notar que, sicasí, en cuantes qu'estensión de los númberos reales, los númberos duales entá traen 0,999...&nbsp;=&nbsp;1. Hai que notar amás que, magar ε esiste nos númberos duales, tamién ε/2, polo que ε nun ye «el menor númberu dual positivu», y, ello ye que como nos reales, nun existe tal elementu.
 
L' [[analís non estándar]] aprove un sistema de numberación con tou un conxuntu d'infinitesimales (y los sos inversos).<ref>equeñesaPa un tratamientu refechu del analís non estándar vease por casu ''Non-standard Analysis'' de Robinson.</ref> [[A. H. Lightstone]] desenvuelve una espansión decimal pa los [[númberos hiperreales]] en (0 ; 1)<sup>∗</sup>.<ref>Lightstone pp. 245–247.</ref> Lightstone amuesa cómo acomuñar a cada númberu una socesión de díxitos, :
<math>
0. d_1 d_2 d_3 \; \dots \; d_{\infty}
Llinia 265:
</math><ref>Katz & Katz 2010.</ref>
 
Toes estes interpretaciones asitien «0,999...» infinitamente cerca del 1. [[Ian Stewart (matemáticu)|Ian Stewart]] caracteriza esta interpretación como una forma «absolutamente razonable» de xustificar rigorosamente la intuición de que «falta daqué bien pequeñupequenu» ente 0,999... y 1....<ref>Stewart 2009, p. 175; el discutiniu completu de 0,999... estiéndese hasta pp. 172–175.</ref> Xuntu con Katz & Katz, Robert Ely tamién cuestiona'l camientu de que les idees de los estudiantes sobre'l fechu de que <math>\scriptstyle 0,999\ldots \,<\, 1</math> provengan d'intuiciones errónees alrodiu de los númberos reales, ya interpretaes como intuiciones «non estándar» que pueden apreciase dientro del aprendizaxe del cálculu.<ref>Katz & Katz (2010b).</ref><ref>R. Ely (2010).</ref>
 
=== Hackenbush ===
Llinia 271:
La [[teoría de xuegos combinatorios]] apurre númberos alternativos a los reales; un exemplu vultable ye'l [[Hackenbush]]<ref>Vease {{ill|en| Hackenbush| Hackenbush}}.</ref> azul-negro infinitu. En 1974, [[Elwyn Berlekamp]] describió la correspondencia ente les cadenes Hackenbush y l'espansión binaria de los númberos reales, motiváu pola idea de la [[compresión de datos]]. Nesti exemplu, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... ye 0.010101<sub>2</sub>...&nbsp;=&nbsp;<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, sicasí, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...<sub>2</sub>) ye infinitesimalmente menor que 1. La diferencia ente los dos ye'l [[númberu surreal]] <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>, onde ω ye'l primera [[Númberu ordinal (teoría de conxuntos)|númberu ordinal]] infinitu; la representación correspondiente ye LRRRR... o 0.000...<sub>2</sub>.<ref>Berlekamp, Conway, y Guy (pp. 79–80, 307–311) alderica 1 y <sup>1</sup>/<sub>3</sub> y enceten <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>. El xuegu pa 0.111...<sub>2</sub> sigue directamente de la Riegla de Berlekamp.</ref>
 
Esto dase de fechu na espansión binaria de munchos númberos racionales, onde'l valor de los númberos ye'l mesmu pero l'árbol de los caminos binarios correspondientes son distintos. equeñesorPor casu, 0.10111...<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;0.11000...<sub>2</sub>, son dambes iguales a 3/4, pero la primer representación correspuende al árbol del camín binariu LRLRRR... ente que la segunda correspuende al otru camín LRRLLL....
 
=== Sustracción non definida ===
Llinia 279:
De primeres, Richman define un ''númberu decimal'' non negativu como una espansión decimal lliteral. Define l'[[orde lexicográficu]] y la operación d'adición, notando que 0,999...&nbsp;<&nbsp;1 a cencielles porque 0&nbsp;<&nbsp;1 nel llugar de les unidaes, pero pa cualesquier ''x'' non terminal, tiense 0,999...&nbsp;+&nbsp;''x''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;''x''. Depués, una peculiaridá de los númberos decimales, ye que la adición non siempres puede atayase; otra ye que nengún númberu decimal correspuende a <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>. Dempués de definir la multiplicación, los númberos decimales formen un semianillo conmutativu positivu, totalmente ordenáu.<ref>Richman pp. 397–399.</ref>
 
Nel procesu de definir la multiplicación, Richman tamién define otru sistema al que llama «corte ''D''», que ye'l conxuntu de [[cortadures de Dedekind]] de les fracciones decimales. equeñeseloPelo normal, esta definición lleva a los númberos reales, pero pa una fracción decimal ''d'', Richman alteriar llixeramente dexando tantu la corte (−∞,&nbsp;''d''&nbsp;) como la corte (−∞,&nbsp;''d''&nbsp;], al que llama «corte principal». La resultancia ye que nun hai infinitesimales positivos nes cortadures ''D'', pero hai «un tipu d'infinitesimal negativu» 0<sup>−</sup> que nun tener espansión decimal.
 
Richman conclúi que 0,999...&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;0<sup>−</sup>, ente que la ecuación «0,999... + ''x'' = 1» nun tien solución.<ref>Richman pp. 398–400. Rudin (p. 23) asigna esta esta construcción alternativa (sobre los racionales) como l'últimu exerciciu del capítulu 1.</ref>
Llinia 291:
Los [[númberu p-ádico|númberos ''p''-ádicos]] ye un sistema de numberación alternativu d'interés en [[teoría de númberos]]. Como los númberos reales, los númberos ''p''-ádicos pueden construyise a partir de los númberos racionales vía [[Socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]]; la construcción utiliza una métrica distinta na cual 0 ta más cerca de ''p'', y muncho más cerca de ''p<sup>n</sup>'' que de 1. Los númberos ''p''-ádicos formen un [[Campu (matemátiques)|campu]] pa ''p'' primu y un [[Aníu (álxebra)|aníu]] pa otru ''p'', incluyendo'l 10. Depués, l'aritmética ye posible nos ''p''-ádicos, y nun hai infinitesimales.
 
Nos númberos 10-ádicos, los análogos de les espansiones decimales cuerren escontra la esquierda. La espansión 10-ádica ...999 tien un postreru 9, y nun tien un primera 9. equeñesuedePuede sumase un 1 al llugar de les unidaes, lo que dexa detrás solo 0's dempués del acarretu: 1&nbsp;+&nbsp;...999&nbsp;=&nbsp;...000&nbsp;=&nbsp;0, y asina ...999&nbsp;=&nbsp;−1.<ref name="Fjelstad11">Fjelstad p. 11.</ref> Otra derivación utiliza series xeométriques. La serie infinita multiplicada por «...999» nun converxe nos númberos reales, pero converxe nos 10-ádicos, lo que dexa reutilizar la fórmula familiar:
: <math>
\ldots \; 999 =
Llinia 328:
* {{cita llibru |autor=Bartle, R.G. and D.R. Sherbert |añu=1982 |títulu=Introduction to real analysis |editorial=Wiley |isbn=0-471-05944-7}}
* {{cita llibru |apellíos=Beals |nome=Richard |títulu=Analysis |añu=2004 |editorial=Cambridge UP |isbn=0-521-60047-2}}
* {{cita llibru |autor=[[Elwyn Berlekamp|Berlekamp, Y.R.]]; [[John Horton Conway|J.H. Conway]]; and [[Richard K. Guy|R.K. Guy]] |añu=1982 |títulu=[[Winning Ways for your Mathematical equeñeslaysPlays]] |editorial=Academic equeñesressPress |isbn=0-12-091101-9}}
* {{cite conference |apellíu=Berz |nome=Martin |title=Automatic differentiation as nonarchimedean analysis |añu=1992 |booktitle=Computer Arithmetic and Enclosure Methods |editorial=Elsevier |páxines=439–450 |url=http://citeseer.ist.psu.edu/berz92automatic.html}}
* {{cita llibru |apellíos=Bunch |nome=Bryan H. |títulu=Mathematical fallacies and paradoxes |añu=1982 |editorial=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-24905-5}}
* {{cita llibru |apellíos=Burrell |nome=Brian |títulu=Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference |añu=1998 |editorial=Merriam-Webster |isbn=0-87779-621-1}}
* {{cita llibru |apellíos=Byers |nome=William |títulu=How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and equeñesaradoxParadox to Create Mathematics |añu=2007 |editorial=equeñesrincetonPrinceton UP |isbn=0-691-12738-7}}
* {{cita llibru |apellíos=Conway |nome=John B. |enlaceautor=John B. Conway |títulu=Functions of one complex variable I |edición=2y |editorial=Springer-Verlag |añu-orixinal=1973 |añu=1978 |isbn=0-387-90328-3}}
* {{cita llibru |apellíos=Davies |nome=Charles |añu=1846 |títulu=The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications |editorial=A.S. Barnes |url=http://books.google.com/books?vide=LCCN02026287&pg=equeñesA175PA175}}
* {{cita publicación |apellíu=DeSua |nome=Frank C. |títulu=A system isomorphic to the reals |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=67 |númberu=9 |fecha=payares de 1960 |páxines=900–903 |doi=10.2307/2309468}}
* {{cita publicación |autor=Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown |títulu=Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2 |publicación=Educational Studies in Mathematics |añu=2005 |volume=60 |páxines=253–266 |doi=10.1007/s10649-005-0473-0}}
* {{cita publicación |autor=Edwards, Barbara and Michael Ward |fecha=mayu de 2004 |títulu=Surprises from mathematics education research: Student (los mios)use of mathematical definitions |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=111 |páxines=411–425 |url=http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf |doi=10.2307/4145268|formatu=equeñesDFPDF |númberu=5}}
* {{cita llibru |apellíos=Enderton |nome=Herbert B. |añu=1977 |títulu=Elements of set theory |editorial=Elsevier |isbn=0-12-238440-7}}
* {{cita llibru |apellíos=Euler |nome=Leonhard |enlaceautor=Leonhard Euler |añu-orixinal=1770 |añu=1822 |edición=3rd English |títulu=Elements of Algebra |editor=John Hewlett and Francis Horner, English translators. |editorial=Orme Longman |url=http://books.google.com/books?id=X8yv0sj4_1YC&pg=equeñesA170PA170 |isbn=0387960147}}
* {{cita publicación |apellíu=Fjelstad |nome=equeñesaulPaul |títulu=The repeating integer paradox |publicación=The College Mathematics Journal |volume=26 |númberu=1 |fecha=xineru de 1995 |páxines=11–15 |doi=10.2307/2687285}}
* {{cita llibru |apellíos=Gardiner |nome=Anthony |títulu=Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite equeñesrocessesProcesses |añu-orixinal=1982 |añu=2003 |editorial=Dover |isbn=0-486-42538-X}}
* {{cita llibru |apellíos=Gowers |nome=Timothy |enlaceautor=William Timothy Gowers |títulu=Mathematics: A Very Short Introduction |añu=2002 |editorial=Oxford UP |isbn=0-19-285361-9}}
* {{cita llibru |apellíos=Grattan-Guinness |nome=Ivor |añu=1970 |títulu=The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann |editorial=[[MIT equeñesressPress]] |isbn=0-262-07034-0}}
* {{cita llibru | apellíu=Griffiths | nome=H.B. | nome2=equeñesP.J. |apellíu2=Hilton | títulu=A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation | añu=1970 | editorial=Van Nostrand Reinhold | ubicación=Londres| isbn=0-442-02863-6}}
* {{cita publicación |apellido1=Katz |nome1=K. |apellíu2=Katz |nome2=M. |author2-link=Mikhail Katz |añu=2010a |títulu=When is .999… less than 1? |publicación=[[The Montana Mathematics Enthusiast]] |volume=7 |númberu=1 |páxines=3–30 |url=http://www.math.umt.edu/TMME/vol7non1/ |urlarchivu=https://web.archive.org/web/20110720095125/http://www.math.umt.edu/TMME/vol7non1/ |fechaarchivo=20 de xunetu de 2011 }}
* {{cita publicación |apellíu=Kempner |nome=A.J. |títulu=Anormal Systems of Numeration |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=43 |númberu=10 |fecha=avientu de 1936 |páxines=610–617 |doi=10.2307/2300532}}
* {{cita publicación |autor=Komornik, Vilmos; and equeñesaolaPaola Loreti |títulu=Unique Developments in Non-Integer Bases |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=105 |númberu=7 |añu=1998 |páxines=636–639 |doi=10.2307/2589246 }}
* {{cita publicación |apellíu=Leavitt |nome=W.G. |títulu=A Theorem on Repeating Decimals |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=74 |númberu=6 |añu=1967 |páxines=669–673 |doi=10.2307/2314251}}
* {{cita publicación |apellíu=Leavitt |nome=W.G. |títulu=Repeating Decimals |publicación=The College Mathematics Journal |volume=15 |númberu=4 |fecha=setiembre de 1984 |páxines=299–308 |doi=10.2307/2686394}}
* {{cita web | url=http://arxiv.org/abs/math.NT/0605182 |títulu=Midy's Theorem for equeñeseriodicPeriodic Decimals |apellíu=Lewittes |nome=Joseph |obra=New York Number Theory Workshop on Combinatorial and Additive Number Theory |añu=2006 |editorial=[[arXiv]]}}
* {{cita publicación |apellíu=Lightstone |nome=A.H. |títulu=Infinitesimals |publicación=The American Mathematical Monthly |volume=79 |númberu=3 |fecha=marzu de 1972 |páxines=242–251 |doi=10.2307/2316619}}
* {{cita llibru |apellíos=Mankiewicz |nome=Richard |añu=2000 |títulu=The story of mathematics|editorial=Cassell |isbn=0-304-35473-2}}
* {{cita llibru |apellíos=Maor |nome=Eli |títulu=To infinity and beyond: a cultural history of the infinite |añu=1987 |editorial=Birkhäuser |isbn=3-7643-3325-1}}
* {{cita llibru |apellíos=Mazur |nome=Joseph |títulu=Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math |añu=2005 |editorial=equeñesearsonPearson: equeñesiPi equeñesressPress |isbn=0-13-147994-6}}
* {{cita llibru |apellíos=Munkres |nome=James R. |títulu=Topology |añu=2000 |añu-orixinal=1975 |edición=2y |editorial=equeñesrenticePrentice-Hall |isbn=0-13-181629-2}}
* {{cite conference |apellíu=Núñez |nome=Rafael |title=Do Real Numbers Really Move? Language, Thought, and Gesture: The Embodied Cognitive Foundations of Mathematics |añu=2006 |booktitle=18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics |editorial=Springer |páxines=160–181 |url=http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/publications.html | id=ISBN 978-0-387-25717-4}}
* {{cita llibru |apellíos=equeñesedrickPedrick |nome=George |títulu=A First Course in Analysis |añu=1994 |editorial=Springer |isbn=0-387-94108-8}}
* {{cita llibru |nome=Anthony |apellíos=equeñeseressiniPeressini |nome2=Dominic |apellíos2=equeñeseressiniPeressini |editor=Bart van Kerkhove, Jean equeñesaulPaul van Bendegem |capítulu=equeñeshilosophyPhilosophy of Mathematics and Mathematics Education |títulu=equeñeserspectivesPerspectives on Mathematical equeñesracticesPractices |editorial=Springer |isbn=978-1-4020-5033-6 |añu=2007 |serie=Logic, Epistemology, and the Unity of Science |volume=5}}
* {{cita publicación |apellíu=equeñesetkovšekPetkovšek |nome=Marko |títulu=Ambiguous Numbers llabre Dense |publicación=[[American Mathematical Monthly]] |volume=97 |númberu=5 |fecha=mayu de 1990 |páxines=408–411 |doi=10.2307/2324393}}
* {{cite conference |autor=equeñesintuPintu, Márcia and David Tall |title=Following students' development in a traditional university analysis course |booktitle=equeñesME25PME25 |páxines=v4: 57–64 |añu=2001 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pintu-tall.pdf|formatu=equeñesDFPDF|fechaaccesu=3 de mayu de 2009}}
* {{cita llibru |autor=equeñesrotterProtter, M.H. and [[Charles B. Morrey, Jr.|C.B. Morrey]] |añu=1991 |edición=2y |títulu=A first course in real analysis |editorial=Springer |isbn=0-387-97437-7}}
* {{cita llibru |apellíos=equeñesughPugh |nome=Charles Chapman |títulu=Real mathematical analysis |añu=2001 |editorial=Springer-Verlag |isbn=0-387-95297-7}}
* {{cita publicación |autor=Renteln, equeñesaulPaul and Allan Dundes |fecha=xineru de 2005 |títulu=Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor |publicación=[[Notices of the AMS]] |volume=52 |númberu=1 |páxines=24–34 |url=http://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf|doi=|formatu=equeñesDFPDF|fechaaccesu=3 de mayu de 2009}}
* {{cita publicación |nome=Fred |apellíu=Richman |fecha=avientu de 1999 |títulu=Is 0.999… = 1? |publicación=[[Mathematics Magacín]] |volume=72 |númberu=5 |páxines=396–400 }} Free HTML preprint: {{cita web |url=http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |nome=Fred |apellíu=Richman |títulu=Is 0.999… = 1? |fecha=8 de xunu de 1999 |fechaaccesu=23 d'agostu de 2006 |urlarchivu=https://web.archive.org/web/20060203031201/http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |fechaarchivo=3 de febreru de 2006 }} Note: the journal article contains material and wording not found in the preprint.
* {{cita llibru |apellíos=Robinson |nome=Abraham |enlaceautor=Abraham Robinson |títulu=Non-standard analysis |añu=1996 |edición=Revised |editorial=[[equeñesrincetonPrinceton University equeñesressPress]]|isbn=0-691-04490-2}}
* {{cita llibru |apellíos=Rosenlicht |nome=Maxwell |añu=1985 |títulu=Introduction to Analysis |editorial=Dover |isbn=0-486-65038-3}}
* {{cita llibru |apellíos=Rudin |nome=Walter |enlaceautor=Walter Rudin |títulu=equeñesrinciplesPrinciples of mathematical analysis |edición=3y |añu=1976 |añu-orixinal=1953 |editorial=McGraw-Hill |isbn=0-07-054235-X}}
* {{cita publicación |apellíu=Shrader-Frechette |nome=Maurice |títulu=Complementary Rational Numbers |publicación=Mathematics Magacín |volume=51 |númberu=2 |fecha=marzu de 1978 |páxines=90–98 }}
* {{cita llibru |autor=Smith, Charles and Charles Harrington |añu=1895 |títulu=Arithmetic for Schools |editorial=Macmillan |url=http://books.google.com/books?vide=LCCN02029670&pg=equeñesA115PA115}}
* {{cita llibru |apellíos=Sohrab |nome=Houshang |títulu=Basic Real Analysis |añu=2003 |editorial=Birkhäuser |isbn=0-8176-4211-0}}
* {{cita llibru |apellíos=Stewart |nome=Ian |títulu=The Foundations of Mathematics |añu=1977 |editorial=Oxford UP |isbn=0-19-853165-6}}
* {{cita llibru |apellíos=Stewart |nome=Ian |títulu=equeñesrofessorProfessor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures |añu=2009 |editorial=equeñesrofileProfile Books |isbn=978-1-84668-292-6}}
* {{cita llibru |apellíos=Stewart |nome=James |títulu=Calculus: Early transcendentals |edición=4y |añu=1999 |editorial=Brooks/Cole |isbn=0-534-36298-2}}
* {{cita publicación |autor=D.O. Tall and R.L.Y. Schwarzenberger |títulu=Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits |publicación=Mathematics Teaching |añu=1978 |volume=82 |páxines=44–49 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf|formatu=equeñesDFPDF|fechaaccesu=3 de mayu de 2009}}
* {{cita publicación |apellíu=Tall |nome=David |enlaceautor=David O. Tall |títulu=Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics |publicación=Mathematical Education for Teaching |añu=1976/7 |volume=2 |númberu=4 |páxines=2–18 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf|formatu=equeñesDFPDF|fechaaccesu=3 de mayu de 2009}}
* {{cita publicación |apellíu=Tall |nome=David |títulu=Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology |publicación=Mathematics Education Research Journal |añu=2000 |volume=12 |númberu=3 |páxines=210–230 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf|formatu=equeñesDFPDF|fechaaccesu=3 de mayu de 2009}}
* {{cita llibru|apellíos=von Mangoldt|nome=Dr. Hans|enlaceautor =Hans Carl Friedrich von Mangoldt| títulu=Einführung in die höhere Mathematik|edición=1st|añu=1911|editorial=Verlag von S. Hirzel| allugamientu=Leipzig|idioma=alemán|capítulu=Reihenzahlen}}
* {{cita llibru |apellíos=Wallace |nome=David Foster|enlaceautor =David Foster Wallace |títulu=Everything and more: a compact history of infinity |añu=2003 |editorial=Norton |isbn=0-393-00338-8}}
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