Diferencies ente revisiones de «Identidá d'Euler»

m
Iguo testu: -"erru" +"error"
m (Iguo testu: -"erru" +"error")
y yá que
 
:<math>\cos \pi = -1 \,\! </math>
 
y que
:<math>\arg(a+bi) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac b a\right) & \qquad a > 0\\
\arctan\left(\frac b a\right) + \pi& \qquad a < 0, b \ge 0 \\
\arctan\left(\frac b a\right) - \pi& \qquad a < 0 , b < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad a = 0 , b > 0 \\
\end{cases}</math>
 
Notar que con esta definición, arg(z) ta nel intervalu <math> (-\pi,\pi] </math> (l'argumentu nesti intervalu ye conocíu como'l "valor principal del argumentu" o a cencielles "argumentu principal"). Esta definición nun ye la única posible, yá que pudo habese definíu en [0, 2π), etc.
 
Pa llogaritmos d'otres bases, tiense la siguiente relación por aciu "cambéu de base" :
Por casu :
 
:<math> \ln(-1) = \ln|-1|+ i\arg(-1) = \ln(1) + i\pi = i\pi </math>.
 
Y tamién se cumple:
:<math> y^{i\pi(2k+1)}=-1 ,k \in \mathbb Z </math>
 
L'erruerror que puede cometese equí, ye que si <math> y^{a}=y^{b}</math>, entós a = b. Lo anterior ye válidu si a y b son númberos reales, pero en complexos esto non se siempres se cumple. Per ende magar <math> y^{i\pi}=y^{-i\pi}=-1 </math>, nun ye ciertu que <math> i\pi=-i\pi </math>. D'esta forma, puede vese que:
 
:<math> \ln(-1) = i\pi \ne -i\pi = -\ln(-1) </math>.
 
Antes mentóse que si se puede llograr <math> i\pi=\ln(-1) </math> cola identidá de Euler, pero nun ye recomendable faelo, porque puede cometese erroserrores como lu describir más arriba, yá que non siempres se cumple'l fechu de que si <math> y^{a}=b </math> entós a = ln(b).
 
 
Otru erruerror ye lo siguiente:
 
:<math> \ln(-1) = \ln(-1/1) = \ln(1/-1) = \ln(1)-\ln(-1) = -i\pi </math>.
 
L'erruerror equí asocede en <math> \ln(1/-1) = \ln(1)-\ln(-1) </math>. Esto postreru nun ye correctu y el motivu ye que
 
:<math> \ln(1/-1) = \ln(1 * (-1)^{-1}) = \ln(1) + \ln((-1)^{-1}) \ne \ln(1) + (-1)\ln(-1) = -i\pi </math>.
 
Porque <math> \ln(a^{b}) = b\ln(a) </math> solo cumplir de manera xeneral si a ye positivu. Per un sitiu <math> \ln((-y)^{2}) = \ln((y)^2) = 2 </math>, pero <math> 2\ln(-y) </math> nun ye real, cuidao que ln(-y) nun ye un númberu real.
 
== Identidá Aumentada ==
<math>\varphi-1=1/\varphi</math>
 
Por tantu: <math>\varphi-1/\varphi = 1</math>
 
Reemplazando '1' na identidá de Euler, <math>y^{i \pi} + 1 = 0</math>, tiense:
Ordenando los términos de la ecuación queda:
 
<big><math>\varphi ^2 + \varphi \cdot y^{i \pi} - 1 =0 </math></big>
 
D'esta manera rellacionen siete númberos bien utilizaos, cinco operaciones de les matemátiques y l'ecuación cuadrática.