Difference between revisions of "Teoremas de incompletitud de Gödel"

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== Contestu ==
Los teoremas de incompletitud de Gödel establecen ciertes llimitaciones sobre lo que ye posible demostrar por aciu un razonamientu matemáticu. Pa falar con precisión sobre qué «puede demostrase» o non, estúdiase un modelu matemáticu denomináu [[teoría (lóxica matemática)|teoría formal]]. Una teoría formal consta d'una serie de signos y un conxuntu de rieglesregles pa manipolialos y combinalos. Por aciu estes rieglesregles pueden estremase ciertes colecciones de signos como [[fórmula bien formada|fórmules]], y ciertes socesiones de fórmules como demostraciones. Los teoremas d'una cierta teoría son entós toles fórmules que puedan demostrase a partir d'una cierta colección inicial de fórmules que s'asuman como [[axomes]].
 
A una teoría formal pueden axudicáse-y ciertes propiedaes en función de lo que sía capaz de demostrar.
*Una [[completitud sintáctica|teoría completa]] «respuende cualquier entruga», nel sentíu de que pa caúna de les sos fórmules o bien ye demostrable, o bien esiste una demostración de la so contraria (ye refutable). Una teoría completa ye óptima, y correspuéndese cola intuición sobre la [[verdá lóxica]]: al igual que toa sentencia tien de ser verdadera o falsa, nuna teoría completa toa fórmula ye demostrable o refutable.
 
Sicasí, el primera teorema de incompletitud establez que, so ciertes hipótesis, una teoría formal nun puede tener dambes propiedaes al empar. La primera d'elles ye que sía una [[teoría aritmética]], esto ye, que los sos símbolos sirvan pa describir los [[númberos naturales]] y les sos operaciones y relaciones; y que sía capaz de demostrar delles propiedaes básiques sobre ellos. La segunda hipótesis ye que sía una teoría recursiva, lo cual significa que les rieglesregles pa manipoliar los sos signos y fórmules nes demostraciones han de poder executase por aciu un [[algoritmu]]: una serie precisa de pasos ensin ambigüedá que pueda llevase a cabu nun tiempu finito, ya inclusive implementase por aciu un [[programa informáticu]].
 
== Primer teorema ==
{{teorema|títulu=Segundu teorema de incompletitud de Gödel|1=En toa teoría aritmética recursiva consistente {{math|''T''}}, la fórmula {{math|Consistente ''T''}} nun ye un teorema.}}
 
La demostración del segundu teorema rique traducir el primeru a una fórmula. El primera teorema afirma, ente otres coses, que si {{math|''T''}} ye consistente, entós {{math|''G''}} nun ye demostrable. La fórmula qu'afirma la consistencia de {{math|''T''}} ye {{math|Consis ''T''}}, ente que la fórmula qu'afirma la indemostrabilidad de {{math|''G''}} ye la mesma {{math|''G''}}. La fórmula que traduz el primera teorema (una parte d'él) ye {{math|Consis ''T'' {{unicode|⇒}} ''G''}}, onde «{{math|{{unicode|⇒}}}}» significa [[implicación lóxica|implicación]]. Gödel demostró qu'esta fórmula ye un teorema,<ref>En realidá, la prueba orixinal de Gödel omite ciertos detalles técnicos.{{cr}}</ref> y que polo tanto {{math|Consis ''T''}} nun ye un teorema: si dir, de les rieglesregles básiques de {{math|''T''}} como teoría formal deduciríase que {{math|''G''}} ye demostrable, en contradicción col enunciáu del primera teorema de incompletitud.
 
=== Consecuencies ===
El segundu teorema de incompletitud llinda les posibilidaes de demostrar la consistencia d'una teoría formal {{math|''T''}}, cuidao que nun puede faese utilizando namái la mesma {{math|''T''}}. Amás, si atopa una teoría más fuerte {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} na que {{math|Consis ''T''}} pueda demostrase, la mesma consistencia de {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} nun va poder demostrase en {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} nin tampoco en {{math|''T''}}. Por ello, el segundu teorema considérase una respuesta negativa al llamáu [[programa de Hilbert]], que proponía demostrar la corrección de los razonamientos matemáticos basaos n'oxetos [[infinitu|infinitu]] usando tan solu razonamientos basaos n'oxetos [[finito|finitos]], menos potentes que los primeres.
 
== Enunciaos indecidibles ==
}}
 
Cuidao que la manipulación d'estos signos, cadenes y socesiones puede traducise en manipulación d'unos ciertos númberos, tantu la sintaxis qu'estrema les cadenes de signos «con sentíu» —les fórmules− como'l cálculu deductivu qu'estrema les socesiones de cadenes «que demuestren daqué» —les demostraciones— vense traducíes a operaciones ''aritmétiques''. Esto ye, esisten una serie de [[relación matemática|relaciones]] y [[función matemática|funciones]] aritmétiques que se correspuenden coles rieglesregles sintáctiques y del cálculu deductivu, como por casu:
 
:{{math|Sig ''x''}} : {{math|''x''}} ye (el númberu de Gödel de) un signu :{{math|Cad''x''}} : {{math|''x''}} ye (el númberu de Gödel de) una cadena (de signos)
=== Expresabilidad. Recursividad ===
{{AP|Función recursiva}}
Por aciu la numberación de Gödel, ye posible «traducir» los signos y rieglesregles d'una teoría formal {{math|''T''}} en númberos y operaciones aritmétiques. Ye posible dir más allá, yá que {{math|''T''}} ye una teoría ''aritmética'' y puédense «recodificar» les mentaes operaciones por aciu el llinguaxe formal de {{math|''T''}}, al igual que puede faese con otres funciones y relaciones aritmétiques como por casu:
 
:La función «multiplicar por 2» ta representada pola fórmula: {{math|1=''y'' = [2] × ''x''}}