Diferencies ente revisiones de «Integración»

fai referencia a una suma ponderada de valores en que s'estrema la función, onde μ mide'l pesu que se tien qu'asignar a cada valor. (Equí ''A'' indica la rexón d'integración.) La [[xeometría diferencial]], cola so "cálculu de [[variedá (matemática)|variedaes]]", apurre otra interpretación a esta notación familiar. Agora ''f''(''x'') y ''dx'' pasen a ser una [[forma diferencial]], ω = ''f''(''x'')''dx'', apaez un nuevu [[operador diferencial]] '''d''', conocíu como la [[derivada esterior]], y el teorema fundamental pasa a ser el (más xeneral) [[teorema de Stokes]], {{ecuación|

 

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a partir del cual derívase'l [[teorema de Green]], el [[teorema de la diverxencia]], y el [[teorema fundamental del cálculu]].

Amás del productu esterior, tamién esiste l'operador [[derivada esterior]] '''d'''. Esti operador fai corresponder a les ''k''-formes (''k''+1)-formes. Pa una ''k''-forma ω = ''f'' ''dx^a'' sobre '''R'''^''n'', defínese l'acción de '''d''' por:

 

 

con estensión a les ''k''-formes xenerales que se dan linealmente.

Esti planteamientu más xeneral dexa un enfoque de la integración sobre [[variedá diferenciable|variedaes]] llibre de coordenaes. Tamién dexa una xeneralización natural del [[teorema fundamental del cálculu]], denomada [[teorema de Stokes]], que puede establecese como

 

 

onde ω ye una ''k''-forma xeneral, y ∂Ω indica la [[frontera (topoloxía)|frontera]] de la rexón Ω. Asina nel supuestu de que ω sía una 0-forma y Ω sía un intervalu zarráu de la recta real, el teorema de Stokes amenorgar al [[teorema fundamental del cálculu]]. Nel casu de que ω sía una 1-forma y Ω sía una rexón de dimensión 2 nel planu, el teorema amenorgar al [[teorema de Green]]. De manera similar, emplegando 2-formes, 3-formes y la [[dualidá de Hodge]], puede llegase al [[teorema de Stokes]] y al [[teorema de la diverxencia]]. D'esta forma puede trate que les formes diferenciales suministren una potente visión unificadora de la integración.