Diferencies ente revisiones de «Lóxica proposicional»

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Llinia 59:
|y |
align="left" | Ta lloviendo '''y''' ta borrinosu.
|<math>\andland</math>
|<math>\And \,</math> <math>.</math>
|- align="center"
Llinia 65:
|o |
align="left" | Ta lloviendo '''o''' ta soleyeru.
|<math>\orlor</math>
|
|- align="center"
Llinia 114:
|
<math>\begin{array}{c|c||c}
\phi & \psi & \phi \andland \psi \\
\hline
V & V & V \\
Llinia 123:
|
<math>\begin{array}{c|c||c}
\phi & \psi & \phi \orlor \psi \\
\hline
V & V & V \\
Llinia 194:
L'alfabetu d'un sistema formal ye'l conxuntu de símbolos que pertenecen al llinguaxe del sistema. Si L ye'l nome d'esti sistema axomáticu de lóxica proposicional, entós l'alfabetu de L consiste en:
* Una cantidá finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. Polo xeneral tomar del alfabetu llatinu, empezando pola lletra ''p'', depués ''q'', ''r'', etc., y utilizando subíndices cuando ye necesariu o conveniente. Les variables proposicionales representen [[proposición|proposiciones]] como "ta lloviendo" o "los metales espandir col calor".
* Un conxuntu de [[operador]]es lóxicos: <math>\neg, \andland, \orlor, \to, \leftrightarrow</math>
* Dos signos de puntuación: los [[paréntesis]] esquierdu y derechu. La so única función ye desambiguar ciertes espresiones ambigues, n'esactamente'l mesmu sentíu en que desambiguan la espresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tantu (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
 
Llinia 203:
# Les variables proposicionales del alfabetu de L son fórmules bien formaes.
# Si <math>\phi \,</math> ye una fórmula bien formada de L, entós <math>\neg \phi \,</math> tamién lo ye.
# Si <math>\phi \,</math> y <math>\psi \,</math> son fórmules bien formaes de L, entós <math>(\phi \andland \psi)</math>, <math>(\phi \orlor \psi)</math>, <math>(\phi \to \psi) \,</math> y <math>(\phi \leftrightarrow \psi)</math> tamién lo son.
# Namái les espresiones que pueden ser xeneraes por aciu les clauses 1 a 3 nun númberu finito de pasos son fórmules bien formaes de L.
 
Llinia 210:
:<math>p \,</math>
:<math>\neg \neg \neg q \,</math>
:<math>(p \andland q)</math>
:<math>\neg (p \andland q)</math>
:<math>(p \leftrightarrow \neg p)</math>
:<math>((p \to q) \andland p)</math>
:<math>(\neg (p \andland (q \orlor r)) \orlor s)</math>
 
Y los siguientes son ejempos de fórmules mal formaes{{Cr}}:
Llinia 239:
|<math>(p \to q) \,</math>
|-
|<math>(p \andland q \to r)</math>
|Falten paréntesis
|<math>((p \andland q) \to r) \,</math>
|}
 
Per otra parte, cuidao que la única función de los paréntesis ye desambiguar les fórmules, polo xeneral acostúmase omitir los paréntesis ''esternos'' de cada fórmula, una y bones estos nun cumplen nenguna función. Asina por casu, les siguientes fórmules xeneralmente considérense bien formaes:
 
:<math>p \andland q</math>
:<math>\neg p \to q \,</math>
:<math>(p \andland q) \orlor \neg q</math>
:<math>(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (q \leftrightarrow p)</math>
 
Llinia 258:
 
 
|<math>p \andland q \to r \,</math>
|<math>(p \andland q) \to r \,</math>
|<math>p \andland (q \to r) \,</math>
|-
|<math>\neg p \leftrightarrow q \orlor r \,</math>
|<math>\neg p \leftrightarrow (q \orlor r) \,</math>
|<math>(\neg p \leftrightarrow q) \orlor r \,</math>
|-
|<math>p \andland q \leftrightarrow r \orlor s \,</math>
|<math>(p \andland q) \leftrightarrow (r \orlor s) \,</math>
|<math>(p \andland (q \leftrightarrow r)) \orlor s \,</math>
|}
 
Llinia 486:
| 1 || <math>A</math> || Premisa.
|-
| 2 || <math>A \orlor A</math> || Dende (1) por introducción de la dixunción.
|-
| 3 || <math>(A \orlor A) \andland A</math> || Dende (1) y (2) por introducción de la conxunción.
|-
| 4 || <math>A </math> || Dende (3) por eliminación de la conxunción.
Llinia 523:
La gramática anterior define la precedencia de [[operador]]es de la siguiente manera:
# Negación (<math>\neg \,</math>)
# Conxunción (<math>\andland \,</math>)
# Dixunción (<math>\orlor \,</math>)
# Condicional material (<math>\to \,</math>)
# Bicondicional (<math>\leftrightarrow</math>)
Llinia 545:
{{AP|Tables de verdá}}
 
La tabla de verdá d'una fórmula ye una tabla na que se presenten toles posibles interpretaciones de les variables proposicionales que constitúi la fórmula y el valor de verdá de la fórmula completa pa cada interpretación. Por casu, la tabla de verdá pa la fórmula <math>\neg (p \orlor q) \to (p \to r)</math> ye:
 
:<math>
\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c}
p & q & r & (p \orlor q) & \neg (p \orlor q) & (p \to r) & \neg (p \orlor q) \to (p \to r) \\
\hline
V & V & V & V & F & V & V \\
Llinia 566:
==Formes normales==
 
De cutiu ye necesariu tresformar una fórmula n'otra, sobremanera tresformar una fórmula a la so forma normal. Esto consíguese tresformando la fórmula n'otra equivalente y repitiendo el procesu hasta consiguir una fórmula que namái use los conectivos básicos (<math>\andland, \orlor, \neg</math>). Pa llograr esto utilicen les equivalencies lóxiques:
:<math>(p \to q) \leftrightarrow (\neg p \orlor q)</math>
:<math>(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow [(\neg p \orlor q) \andland (\neg q \orlor p)]</math>
Por casu, considérese la siguiente fórmula:
:<math>(p \to q) \andland (\neg q \leftrightarrow p)</math>
La mesma puede desenvolvese asina:
:<math>(\neg p \orlor q) \andland (q \orlor p) \andland (\neg p \orlor \neg q)</math>
Dizse qu'una fórmula ta en ''forma normal disyuntiva'' (FND) si y namái si tien la siguiente forma:
:<math>A_1 \orlor A_2 \orlor ... \orlor A_n</math>
onde cada A ye una conxunción de fórmules. Por casu, la siguiente fórmula ta en forma normal disyuntiva:
:<math>p \orlor (q \andland s) \orlor (\neg q \andland p)</math>
Dizse qu'una fórmula ta en ''forma normal conxuntiva'' (FNC) si y namái si tien la siguiente forma:
:<math>A_1 \andland A_2 \andland ... \andland A_n</math>
onde cada A ye una dixunción de fórmules. Por casu, la siguiente fórmula ta en forma normal conxuntiva:
:<math>p \andland (q \orlor s) \andland (\neg q \orlor p)</math>
Poles [[lleis de De Morgan]], ye posible pasar d'una forma normal disyuntiva a una forma normal conxuntiva y viceversa:
:<math>\neg (A \orlor B) \leftrightarrow (\neg A \andland \neg B)</math>
:<math>\neg (A \andland B) \leftrightarrow (\neg A \orlor \neg B)</math>
Les FNC y FND son mutuamente duales. La demostración fai usu de les lleis de De Morgan y de la [[propiedá distributiva]] de la conxunción y la dixunción. Tien de cumplise que:
:<math>\neg [(A_1 \andland B_1) \orlor (A_2 \andland B_2) \orlor ... \orlor (A_n \andland B_n)] \leftrightarrow [(\neg A_1 \orlor \neg B_1) \andland (\neg A_2 \orlor \neg B_2) \andland ... \andland (\neg A_n \orlor \neg B_n)]</math>
Y viceversa:
:<math>\neg [(A_1 \orlor B_1) \andland (A_2 \orlor B_2) \andland ... \andland (A_n \orlor B_n)] \leftrightarrow [(\neg A_1 \andland \neg B_1) \orlor (\neg A_2 \andland \neg B_2) \orlor ... \orlor (\neg A_n \andland \neg B_n)]</math>
 
==La lóxica proposicional y la computación==