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Llinia 43:
Anque estes pruebes demuestren que 0,999... = 1, el pretender qu'«espliquen» la ecuación, depende de les mires de l'audiencia atendida. N'aritmética elemental, estes pruebes ayuden a esplicar por qué 0,999... = 1, o por qué 0,333... < 0,34. N'álxebra elemental, estes demostraciones espliquen por qué'l métodu xeneral de conversión ente fracciones y númberos decimales funciona. Pero les pruebes nun esclarien la relación fundamental ente los decimales y los númberos a los que representen, onde subyaz la entruga de cómo dos decimales distintos pueden ser, ello ye qu'iguales.<ref>Esti argumentu atópase en Peressini y Peressini p. 186.</ref> William Byers argumenta que l'estudiante qu'acepta que 0,999... = 1 basáu nestes pruebes, pero que nun resolvió l'ambigüedá, nun entendió realmente la ecuación.<ref>Byers pp. 39–41.</ref> Según Fred Richman, el primer argumentu «toma la so fuercia del fechu de que la mayor parte de la xente foi adoctrinada p'aceptar la primer ecuación ensin pensalo».<ref>Richman p. 396.</ref>
Una vegada que se definió un esquema representativu, puede usase pa xustificar les regles de l'aritmética decimal utilizada nestes demostraciones. Entá más, puede demostrase
== Demostraciones analítiques ==
Llinia 74:
La suma de series xeométriques en sí, son una resultancia anterior a Euler. Una demostración típica del [[sieglu XVIII]] utiliza una manipulación términu a términu asemeyada a la [[#Multiplicación por 10|demostración alxebraica]] enantes amosada; en 1811, el llibru de testu de Bonnycastle ''Una Introducción a l'Álxebra'' usa una serie xeométrica d'esti tipu pa xustificar la mesma maniobra sobre 0,999....<ref>Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177.</ref> Una reacción del [[sieglu XIX]] contra tales métodos d'adición lliberales resultó na definición qu'entá apodera güei: la suma d'una serie ''definese'' como la llende de la socesión de les sos sumes parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula esplícitamente esta socesión; puede atopase en cualquier introducción al cálculu o l'analís basáu na demostración.<ref>J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter y Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31.</ref>
Una [[Socesión matemática|socesión]] (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...) tien por [[Llende d'una socesión llende]] ''x'' si la distancia |''x'' − ''x''<sub>''n''</sub>| se vuelve arbitrariamente pequeña a midida que ''n'' aumenta. L'afirmación mesma 0,999... = 1 pue interpretase y demostrase como llende:<ref>La llende sigue, por casu, de Rudin p. 57, Teorema 3.20y. Pa un enfoque más
:<math>0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math>
Llinia 92:
Con esti formalismu, les identidaes 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflexen, respeutivamente, el fechu de que'l 1 tea tantu nel intervalu [0 ; 1] como en [1 ; 2], polo que puede escoyese cualesquier de los dos intervalos al escribir los díxitos. P'asegurase de qu'esta notación nun abuse del signu «=», riquir d'un métodu que dexe reconstruyir un únicu númberu real pa cada decimal, como por casu les llendes; otres construcciones enceten la tema del ordenamientu.<ref>Beals p. 22; I. Stewart p. 34.</ref>
Una opción
El teorema de los intervalos surde polo xeneral como una característica entá más fundamental de los númberos reales: la existencia de la ''mínima cota cimera'' o [[supremu]]. Pa esplotar
{{cita|El fechu de qu'un númberu real pueda tener dos representaciones decimales distintos ye puramente un reflexu del fechu de que dos conxuntos distintos de númberos reales pueden tener el mesmu supremu.<ref>Apostol p. 12.</ref>}}
Llinia 103:
Puede definise explícitamente a los númberos reales como una cierta [[Axomes de los númberos reales|estructura construyida sobre los númberos racionales]], basándose na [[teoría axomática de conxuntos]]. Los [[númberos naturales]] – 0, 1, 2, 3, ... – empiecen en 0 y siguen ascendentemente, de cuenta que cada númberu tien un socesor. Esti conxuntu puede estendese al añedir los negativos, llográndose asina'l conxuntu de los [[númberos enteros]]; éstos, de la mesma, tamién pueden estendese si añeden los cocientes, a los [[númberos racionales]]. Estos conxuntos numbéricos acompañar de los cuatro operaciones aritmétiques fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. De manera más sutil, tienen un [[Teoría del orde|ordenamientu]], de cuenta que cada unu d'estos númberos puede ser comparáu con dalgún otru, y va ser menor que, mayor que, o igual a esti otru númberu.
El pasu de los racionales a los reales ye una estensión enforma mayor. Hai siquier dos maneres corrientes de faelo, dambes publicaes en 1872: per mediu de les [[cortadures de Dedekind]] y por [[Socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]]. Pruebes de que 0,999... = 1 qu'utilicen
=== Cortadures de Dedekind ===
Llinia 129:
{{vt|Socesión de Cauchy}}
Otru métodu de construcción de los númberos reales utiliza l'ordenamientu de los racionales de manera menos
Si (''x''<sub>''n''</sub>) y (''y''<sub>''n''</sub>) son dos socesiones de Cauchy, entós defínense como númberos reales iguales si la socesión (''x''<sub>''n''</sub> − ''y''<sub>''n''</sub>) tien por llende 0. Truncamientos del númberu decimal ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... xeneren una socesión de racionales que ye de Cauchy; d'esta manera define'l valor real del númberu.<ref>Griffiths & Hilton pp. 388, 393.</ref> Depués, según esti formalismu, la xera ye amosar que la socesión de númberos racionales
Llinia 173:
* <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0,0136986301369863... y 0136 + 9863 = 9999.
Y. Midy probó una resultancia xeneral sobre estes fracciones, güei llamáu'l ''[[teorema de Midy]]'', en 1836. La prueba ye escura, y nun ta claro si la so demostración arreya
[[Archivu:Cantor base 3.svg|right|thumb|Posiciones de <sup>1</sup>/<sub>4</sub>, <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, y 1 nel [[conxuntu de Cantor]]]]
N'analís real, el casu análogu en base-3: 0,222... = 1, xuega un papel esencial na caracterización d'unu de los [[fractales]] más simples: el [[conxuntu de Cantor]]:
Llinia 257:
</math>
indexaos polos númberos [[Hiperenteru|hipernaturales]]. Anque nun alderica
Coles mesmes, el númberu hiperrreal <math>\scriptstyle o_H\,=\,0,999\ldots;\ldots 999000\ldots</math> col últimu díxitu 9 a un rangu infinitu hipernatural ''H'', satisfai la desigualdá estricta <math>\scriptstyle o_H <1</math>. Subsecuentemente, Karin Katz y [[Mikhail Katz]] proponen una evaluación alternativa de «0,999...»:
Llinia 269:
=== Hackenbush ===
La [[teoría de xuegos combinatorios]] apurre númberos alternativos a los reales; un exemplu vultable ye'l [[Hackenbush]]<ref>Vease {{ill|en| Hackenbush| Hackenbush}}.</ref> azul-negro infinitu. En 1974, [[Elwyn Berlekamp]] describió la correspondencia ente les cadenes Hackenbush y l'espansión binaria de los númberos reales, motiváu pola idea de la [[compresión de datos]]. Nesti exemplu, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... ye 0.010101<sub>2</sub>... = <sup>1</sup>/<sub>3</sub>, sicasí, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...<sub>2</sub>) ye infinitesimalmente menor que 1. La diferencia ente los dos ye'l [[númberu surreal]] <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>, onde ω ye'l primera [[Númberu ordinal (teoría de conxuntos)|númberu ordinal]] infinitu; la representación correspondiente ye LRRRR... o 0.000...<sub>2</sub>.<ref>Berlekamp, Conway, y Guy (pp. 79–80, 307–311) alderica 1 y <sup>1</sup>/<sub>3</sub> y enceten <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>. El xuegu pa 0.111...<sub>2</sub> sigue
Esto dase de fechu na espansión binaria de munchos númberos racionales, onde'l valor de los númberos ye'l mesmu pero l'árbol de los caminos binarios correspondientes son distintos. Por casu, 0.10111...<sub>2</sub> = 0.11000...<sub>2</sub>, son dambes iguales a 3/4, pero la primer representación correspuende al árbol del camín binariu LRLRRR... ente que la segunda correspuende al otru camín LRRLLL....
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