Diferencies ente revisiones de «0,9 periódicu»

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Llinia 43:
Anque estes pruebes demuestren que 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, el pretender qu'«espliquen» la ecuación, depende de les mires de l'audiencia atendida. N'aritmética elemental, estes pruebes ayuden a esplicar por qué 0,999...&nbsp;=&nbsp;1, o por qué 0,333...&nbsp;<&nbsp;0,34. N'álxebra elemental, estes demostraciones espliquen por qué'l métodu xeneral de conversión ente fracciones y númberos decimales funciona. Pero les pruebes nun esclarien la relación fundamental ente los decimales y los númberos a los que representen, onde subyaz la entruga de cómo dos decimales distintos pueden ser, ello ye qu'iguales.<ref>Esti argumentu atópase en Peressini y Peressini p. 186.</ref> William Byers argumenta que l'estudiante qu'acepta que 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 basáu nestes pruebes, pero que nun resolvió l'ambigüedá, nun entendió realmente la ecuación.<ref>Byers pp. 39–41.</ref> Según Fred Richman, el primer argumentu «toma la so fuercia del fechu de que la mayor parte de la xente foi adoctrinada p'aceptar la primer ecuación ensin pensalo».<ref>Richman p. 396.</ref>
 
Una vegada que se definió un esquema representativu, puede usase pa xustificar les regles de l'aritmética decimal utilizada nestes demostraciones. Entá más, puede demostrase directamentedireutamente que los decimales 0,999... y 1,000... representen el mesmu númberu real; esta construcción ''por definición'' esplícase más embaxo.
 
== Demostraciones analítiques ==
Llinia 74:
La suma de series xeométriques en sí, son una resultancia anterior a Euler. Una demostración típica del [[sieglu XVIII]] utiliza una manipulación términu a términu asemeyada a la [[#Multiplicación por 10|demostración alxebraica]] enantes amosada; en 1811, el llibru de testu de Bonnycastle ''Una Introducción a l'Álxebra'' usa una serie xeométrica d'esti tipu pa xustificar la mesma maniobra sobre 0,999....<ref>Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177.</ref> Una reacción del [[sieglu XIX]] contra tales métodos d'adición lliberales resultó na definición qu'entá apodera güei: la suma d'una serie ''definese'' como la llende de la socesión de les sos sumes parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula esplícitamente esta socesión; puede atopase en cualquier introducción al cálculu o l'analís basáu na demostración.<ref>J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter y Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31.</ref>
 
Una [[Socesión matemática|socesión]] (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...) tien por [[Llende d'una socesión llende]] ''x'' si la distancia |''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>| se vuelve arbitrariamente pequeña a midida que ''n'' aumenta. L'afirmación mesma 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 pue interpretase y demostrase como llende:<ref>La llende sigue, por casu, de Rudin p. 57, Teorema 3.20y. Pa un enfoque más directudireutu, ver tamién Finney, Weir, Giordano (2001) ''Thomas' Calculus: Early Transcendentals'' 10ed, Addison-Wesley, New York. Seición 8.1, exemplu 2(a), exemplu 6(b).</ref>
 
:<math>0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math>
Llinia 92:
Con esti formalismu, les identidaes 1&nbsp;=&nbsp;0,999... y 1&nbsp;=&nbsp;1,000... reflexen, respeutivamente, el fechu de que'l 1 tea tantu nel intervalu [0 ; 1] como en [1 ; 2], polo que puede escoyese cualesquier de los dos intervalos al escribir los díxitos. P'asegurase de qu'esta notación nun abuse del signu «=», riquir d'un métodu que dexe reconstruyir un únicu númberu real pa cada decimal, como por casu les llendes; otres construcciones enceten la tema del ordenamientu.<ref>Beals p. 22; I. Stewart p. 34.</ref>
 
Una opción directadireuta ye'l [[Principiu de los intervalos encaxaos|teorema de los intervalos encaxaos]], que garantiza que, dada una socesión d'intervalos zarraos encaxaos, que la so llargor puede facese arbitrariamente pequeña, los intervalos contienen exactamente un númberu real nel so [[Interseición de conxuntos|interseición]]. Asina, ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... queda definíu como l'únicu númberu conteníu en tolos intervalos [''b''<sub>0</sub> ; ''b''<sub>0</sub> + 1], [''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> + 0,1], y asina socesivamente. D'esta miente, 0,999... ye l'únicu númberu real que ta en tolos intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] pa cada cola finita de 9s. Teniendo en cuenta que'l 1 ye un elementu de cada unu d'estos intervalos, 0,999... = 1.<ref>Bartle and Sherbert pp. 60–62; Pedrick p. 29; Sohrab p. 46.</ref>
 
El teorema de los intervalos surde polo xeneral como una característica entá más fundamental de los númberos reales: la existencia de la ''mínima cota cimera'' o [[supremu]]. Pa esplotar directamentedireutamente estos oxetos, defínese ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... como la mínima cota cimera del conxuntu d'aproximantes {''b''<sub>0</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub> ; ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> ; ...}.<ref>Apostol pp. 9, 11–12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27.</ref> Puede demostrase qu'esta definición (o la definición de los intervalos encaxaos) ye consistente col procesu de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol conclúi,
 
{{cita|El fechu de qu'un númberu real pueda tener dos representaciones decimales distintos ye puramente un reflexu del fechu de que dos conxuntos distintos de númberos reales pueden tener el mesmu supremu.<ref>Apostol p. 12.</ref>}}
Llinia 103:
Puede definise explícitamente a los númberos reales como una cierta [[Axomes de los númberos reales|estructura construyida sobre los númberos racionales]], basándose na [[teoría axomática de conxuntos]]. Los [[númberos naturales]] – 0, 1, 2, 3, ... – empiecen en 0 y siguen ascendentemente, de cuenta que cada númberu tien un socesor. Esti conxuntu puede estendese al añedir los negativos, llográndose asina'l conxuntu de los [[númberos enteros]]; éstos, de la mesma, tamién pueden estendese si añeden los cocientes, a los [[númberos racionales]]. Estos conxuntos numbéricos acompañar de los cuatro operaciones aritmétiques fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. De manera más sutil, tienen un [[Teoría del orde|ordenamientu]], de cuenta que cada unu d'estos númberos puede ser comparáu con dalgún otru, y va ser menor que, mayor que, o igual a esti otru númberu.
 
El pasu de los racionales a los reales ye una estensión enforma mayor. Hai siquier dos maneres corrientes de faelo, dambes publicaes en 1872: per mediu de les [[cortadures de Dedekind]] y por [[Socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]]. Pruebes de que 0,999... = 1 qu'utilicen directamentedireutamente estes construcciones nun s'atopen en llibros de testu d'analís real, onde l'enclín modernu mientres les últimes décades foi l'usu del analís axomáticu. Inclusive cuando la hai, la construcción ye usualmente aplicada a la demostración de los axomes de los númberos reales, que depués sofiten les pruebes anteriores. Sicasí, munchu autores sostienen qu'empezar cola construcción ye más apropiáu lóxicamente, y les pruebes que resulten tienen mayor autonomía.<ref>La síntesis histórica foi reivindicada por Griffiths y Hilton (p.xiv) en 1970 y de nuevu por Pugh (p. 10) en 2001; dambos prefieren de fechu les cortadures de Dedekind a los axomes. Pal usu de les cortadures en llibros de testu, vease Pugh p. 17 o Rudin p. 17. Pa puntos de vista en lóxica, Pugh p. 10, Rudin p.ix, o Munkres p. 30.</ref>
 
=== Cortadures de Dedekind ===
Llinia 129:
{{vt|Socesión de Cauchy}}
 
Otru métodu de construcción de los númberos reales utiliza l'ordenamientu de los racionales de manera menos directadireuta. Defínese primero la distancia ente ''x'' y ''y'' como'l valor absolutu |''x''&nbsp;−&nbsp;''y''|, onde'l valor absolutu |''z''| defínese como'l máximu ente ''z'' y −''z'', polo que nunca ye negativu. Defínese entós a los númberos reales como la socesión de racionales que cumplen la propiedá de les [[Socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]] con esta distancia, esto ye: na socesión (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...), una aplicación de los númberos naturales nos racionales, pa tou racional positivu δ esiste ''N'' tal que |''x''<sub>''m''</sub>&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>|&nbsp;≤&nbsp;δ pa tou ''m'', ''n''&nbsp;>&nbsp;''N'' (la distancia ente los términos vuélvese menor que cualquier númberu racional positivu).<ref>Griffiths & Hilton §24.2 «Sequences» p. 386.</ref>
 
Si (''x''<sub>''n''</sub>) y (''y''<sub>''n''</sub>) son dos socesiones de Cauchy, entós defínense como númberos reales iguales si la socesión (''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;−&nbsp;''y''<sub>''n''</sub>) tien por llende 0. Truncamientos del númberu decimal ''b''<sub>0</sub>,''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... xeneren una socesión de racionales que ye de Cauchy; d'esta manera define'l valor real del númberu.<ref>Griffiths & Hilton pp. 388, 393.</ref> Depués, según esti formalismu, la xera ye amosar que la socesión de númberos racionales
Llinia 173:
* <sup>1</sup>/<sub>73</sub> = 0,0136986301369863... y 0136 + 9863 = 9999.
 
Y. Midy probó una resultancia xeneral sobre estes fracciones, güei llamáu'l ''[[teorema de Midy]]'', en 1836. La prueba ye escura, y nun ta claro si la so demostración arreya directamentedireutamente 0,999..., pero hai siquier una prueba moderna, realizada por W. G. Leavitt, que sí lo fai; si puede demostrase qu'un númberu decimal de la forma 0.''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub>... ye un enteru positivu, entós tien que ser 0,999..., que ye la fonte de los 9s nel teorema.<ref>Leavitt 1984 p. 301.</ref> Les investigaciones nesta direición pueden motivar el desenvolvimientu de conceutos tales como [[máximu común divisor]], [[aritmética modular]], [[Númberu de Fermat|númberos de Fermat]], [[Orde (teoría de grupos)|orde]] d'elementos d'un [[Grupu (matemática)|grupu]] y la [[llei de reciprocidá cuadrática]].<ref>Lewittes pp. 1–3; Leavitt 1967 pp. 669, 673; Shrader-Frechette pp. 96–98.</ref>
[[Archivu:Cantor base 3.svg|right|thumb|Posiciones de <sup>1</sup>/<sub>4</sub>, <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, y 1 nel [[conxuntu de Cantor]]]]
N'analís real, el casu análogu en base-3: 0,222... = 1, xuega un papel esencial na caracterización d'unu de los [[fractales]] más simples: el [[conxuntu de Cantor]]:
Llinia 257:
</math>
 
indexaos polos númberos [[Hiperenteru|hipernaturales]]. Anque nun alderica directamentedireutamente 0,999..., amuesa que'l númberu real 1/3 representáu por 0,333...;...333... de resultes del [[principiu de tresferencia]]. En particular, «0,333...;...000...» y «0,999...;...000...» nun correspuenden a nengún númberu.
 
Coles mesmes, el númberu hiperrreal <math>\scriptstyle o_H\,=\,0,999\ldots;\ldots 999000\ldots</math> col últimu díxitu 9 a un rangu infinitu hipernatural ''H'', satisfai la desigualdá estricta <math>\scriptstyle o_H <1</math>. Subsecuentemente, Karin Katz y [[Mikhail Katz]] proponen una evaluación alternativa de «0,999...»:
Llinia 269:
=== Hackenbush ===
 
La [[teoría de xuegos combinatorios]] apurre númberos alternativos a los reales; un exemplu vultable ye'l [[Hackenbush]]<ref>Vease {{ill|en| Hackenbush| Hackenbush}}.</ref> azul-negro infinitu. En 1974, [[Elwyn Berlekamp]] describió la correspondencia ente les cadenes Hackenbush y l'espansión binaria de los númberos reales, motiváu pola idea de la [[compresión de datos]]. Nesti exemplu, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... ye 0.010101<sub>2</sub>...&nbsp;=&nbsp;<sup>1</sup>/<sub>3</sub>, sicasí, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...<sub>2</sub>) ye infinitesimalmente menor que 1. La diferencia ente los dos ye'l [[númberu surreal]] <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>, onde ω ye'l primera [[Númberu ordinal (teoría de conxuntos)|númberu ordinal]] infinitu; la representación correspondiente ye LRRRR... o 0.000...<sub>2</sub>.<ref>Berlekamp, Conway, y Guy (pp. 79–80, 307–311) alderica 1 y <sup>1</sup>/<sub>3</sub> y enceten <sup>1</sup>/<sub>ω</sub>. El xuegu pa 0.111...<sub>2</sub> sigue directamentedireutamente de la Regla de Berlekamp.</ref>
 
Esto dase de fechu na espansión binaria de munchos númberos racionales, onde'l valor de los númberos ye'l mesmu pero l'árbol de los caminos binarios correspondientes son distintos. Por casu, 0.10111...<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;0.11000...<sub>2</sub>, son dambes iguales a 3/4, pero la primer representación correspuende al árbol del camín binariu LRLRRR... ente que la segunda correspuende al otru camín LRRLLL....