Diferencies ente revisiones de «Teoremas de incompletitud de Gödel»

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Tomando {{math|''G''}} (o la so contraria) como axoma llógrase una nueva teoría {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} na que {{math|''G''}} (o la so contraria) ye demostrable automáticamente. Sicasí esto nun invalida'l teorema, cuidao que {{math|''G''}} afirma'l so indemostrabilidad relativa a la teoría {{math|''T''}}. La nueva teoría {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} ye tamién incompleta: puede atopase una nueva sentencia independiente {{math|''G<nowiki>'</nowiki>''}}, qu'afirma «nun soi demostrable en {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}}».
 
A última hora, nuna teoría formal que sía consistente y completa tien de fallar dalguna de les hipótesis: o bien nun ye recursiva y nun hai un [[algoritmu]] pa estremar los axomes del restu de fórmules; o bien nun son aritmétiques, y nun inclúin les propiedaes básiques necesaries de los númberos naturales. Por casu, na demostración del [[teorema de completitud semántica]] utilícense teoríes consistentes y completes que nun son recursivas.<ref>Vease {{Harvsp|Boolos|2007|loc=§17.2}}.</ref> Per otru llau, la l'[[aritmética de Presburger]] ye una colección d'axomes sobre los númberos naturales qu'omite delles de les sos propiedaes, a tal puntu qu'una teoría basada nellos pue ser consistente y completa.<ref>Vease {{Harvsp|Boolos|2007|loc=§24}}.</ref>
 
== Segundu teorema ==
Ye de notar que los teoremas de Gödel namái son aplicables a sistemes axomáticos ''abondo fuertes''. Esti términu significa que la teoría contién l'abonda aritmética pa llevar a cabu les instrucciones de codificación riquíes pola prueba del primera teorema de incompletud. Esencialmente, tou lo que s'esixe son dellos fechos básicos sobre la adición y la multiplicación tal que por casu formalícense na [[aritmética Q de Robinson]].
 
Hai sistemes axomáticos inclusive más débiles que son consistentes y completos, por casu la l'[[aritmética de Presburger]] que demuestra toles afirmaciones de primer orde ciertes aplicando namái la suma.
 
El sistema axomáticu puede consistir nun númberu infinitu d'axomes (tal que fai l'aritmética de primer orde de Peano), pero pa poder aplicase'l teorema de Gödel tien d'haber un algoritmu efectivu que sía capaz a verificar la corrección de les pruebes. Por casu, el conxuntu de toles declaraciones de primer orde que son ciertes nel modelu estándar de los [[númberos naturales]] ye completu. El teorema de Gödel non puede aplicase porque nun hai nengún procedimientu efectivu que decide si una cierta declaración ye un axoma. Ello ye que qu'esto sía asina ye una consecuencia del primera teorema de incompletud de Gödel.
:{{math|{{unicode|∃}}}} , {{math|{{unicode|⇒}}}} , {{math|¬}} , {{math|{{!}}}}, {{math|{{=}}}}, {{math|''x''}} , {{math|''y''}} , {{math|''z''}} , ... , {{math|0}} , {{math|+}} , {{math|×}} , {{math|S}}
 
nel casu del llinguaxe de la l'[[aritmética de Peano]], onde amás de los símbolos lóxicos y les variables, apaecen dellos símbolos adicionales pa la arimética (onde {{math|S}} ye'l símbolu pa denotar «el númberu siguiente a»). Tamién el conxuntu de toles cadenes (socesiones finitas de signos) ye numerable, según el conxuntu de les socesiones finitas de cadenes.
 
Una '''numberación de Gödel''' ye una asignación d'un únicu [[númberu natural]] pa cada elementu de cada unu d'estos trés conxuntos: signos, cadenes de signos y socesiones de cadenes.