Difference between revisions of "Teoremas de incompletitud de Gödel"

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Preferencies llingüístiques: técnica => téunica
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{{teorema|títulu=Segundu teorema de incompletitud de Gödel|1=En toa teoría aritmética recursiva consistente {{math|''T''}}, la fórmula {{math|Consistente ''T''}} nun ye un teorema.}}
 
La demostración del segundu teorema rique traducir el primeru a una fórmula. El primera teorema afirma, ente otres coses, que si {{math|''T''}} ye consistente, entós {{math|''G''}} nun ye demostrable. La fórmula qu'afirma la consistencia de {{math|''T''}} ye {{math|Consis ''T''}}, ente que la fórmula qu'afirma la indemostrabilidad de {{math|''G''}} ye la mesma {{math|''G''}}. La fórmula que traduz el primera teorema (una parte d'él) ye {{math|Consis ''T'' {{unicode|⇒}} ''G''}}, onde «{{math|{{unicode|⇒}}}}» significa [[implicación lóxica|implicación]]. Gödel demostró qu'esta fórmula ye un teorema,<ref>En realidá, la prueba orixinal de Gödel omite ciertos detalles técnicostéunicos.{{cr}}</ref> y que polo tanto {{math|Consis ''T''}} nun ye un teorema: si dir, de les regles básiques de {{math|''T''}} como teoría formal deduciríase que {{math|''G''}} ye demostrable, en contradicción col enunciáu del primera teorema de incompletitud.
 
=== Consecuencies ===
Esto crea un sistema que ye completu, consistente y abondo potente, pero non [[conxuntu recursivamente enumerable|recursivamente enumerable]].
 
El mesmu Gödel namái demostró una versión de los teoremas enriba espuestos que ye técnicamentetéunicamente un pocu más débil; la primer demostración de les versiones descrites enriba foi dada por [[J. Barkley Rosser]] en [[1936]].
 
N'esencia, la prueba del primera teorema consiste en construyir una declaración <math>p</math> dientro d'un sistema formal axomáticu al que se-y puede dar la siguiente interpretación meta matemática:
Como tal, puede trate como una versión moderna de la [[paradoxa del mentirosu]]. Al contrariu de la declaración del mentirosu, <math>p</math> nun se refier direutamente a sigo mesmu; la interpretación de riba namái se puede "ver" dende fora del sistema formal.
 
Nun trabayu publicáu en 1957 en ''Journal of Symbolic Logic'', [[Raymond Smullyan]] amosó que los resultaos de incompletitud de Gödel pueden llograse pa sistemes muncho más elementales que los consideraos por Gödel. Smullyan tamién reivindicó les pruebes más simples col mesmu algame, basaes nos trabayos d'[[Alfred Tarski]] sobre'l conceutu de verdá nos sistemes formales. Más simples, pero non menos perturbadoras filosóficamente. Smullyan nun afiguró les sos reflexones sobre incompletitud namái n'obres técniquestéuniques; tamién inspiraron célebres llibros de divulgación como ''¿Cómo se llama esti llibru?''
 
Si'l sistema axomáticu ye consistente, la prueba de Gödel amuesa que <math>p</math> (y la so negación) non pueden demostrase nel sistema.
 
=== Demostración del segundu teorema ===
La demostración del segundu teorema de incompletitud rique d'un fechu técnicutéunicu que Gödel orixinalmente nun probó. Sía una teoría {{math|''T''}} nes condiciones anteriores y sía la fórmula {{math|Consis ''T'' ≡ ¬{{unicode|∃}}''z'', DEM(''z'', [''k''])}}, onde {{math|''k''}} ye'l númberu de Gödel de la sentencia {{math|1=0 = 1}}. {{math|Consis ''T''}} afirma que la teoría {{math|''T''}} ye consistente (pos dexa daqué ensin demostrar). La versión formal (de la primer parte) del primera teorema de incompletitud puede espresase como {{math|Consis ''T'' {{unicode|⇒}} ¬{{unicode|∃}}''y'', DEM(''y'', [''g''])}} y esto ye equivalente precisamente a {{math|Consis ''T'' {{unicode|⇒}} ''G''}}. De cuenta que, de poder probar formalmente esta sentencia, {{math|Consis ''T''}} sería indemostrable cuidao que se tendría entós una demostración de {{math|''G''}}, en contradicción col primera teorema.
 
El fechu técnicutéunicu que se precisa ye precisamente una prueba de que la demostración del primera teorema de incompletitud puede «traducise» nuna demostración formal de la sentencia {{math|Consis ''T'' {{unicode|⇒}} ¬{{unicode|∃}}''y'', DEM(''y'', [''g''])}}. Esto ye posible en toa teoría aritmética recursiva, yá que verifiquen unes ciertes ''condiciones de demostrabilidad''.
 
== Ver tamién ==