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Un '''espacioespaciu euclídeoeuclídeu''' esye un [[espacioespaciu vectorial]] normadonormáu de [[dimensión]] finita en que la [[operador norma|norma]] esye heredada de undun [[productoproductu escalar]].
El L'''espacio'espaciu euclídeoeuclídeu''' es elye'l espacioespaciu matemáticomatemáticu ''n''-dimensional usual , una generalizaciónxeneralización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiadosestudiaos por [[Euclides]]. Formalmente, parapa cada [[Númerosnúmberu enteros|número enteroenteru]] nonon negativonegativu ''n'', el espaciol'espaciu euclídeoeuclídeu ''n''-dimensional es elye'l conjuntoconxuntu ℝ<sup>''n''</sup> (dondeu con ℝ queremos decirdicir el conjuntoconxuntu de los [[númerosnúmberos reales]]) juntoxunto con lacola [[función distancia]] obtenida mediante la siguiente definición de distancia entreente dos puntos (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) e (''y''<sub>1</sub>, ...,''y''<sub>''n''</sub>): la raíz cuadrada de <font size="+2">Σ</font> (''x''<sub>''i''</sub>-''y''<sub>''i''</sub>)², dondeu la suma esye sobre ''i'' = 1, ..., ''n''.
Esta función distancia estáta basada en elnel [[teorema de Pitágoras]] y esye llamadanomada '''métrica euclídea'''.
El términotérminu "espacioespaciu euclídeoeuclídeu ''n''-dimensional" esye usualmente abreviadoabreviáu a "''n''-espacioespaciu euclídeoeuclídeu", o sólo "''n''-espacioespaciu". El ''n''-espacioespaciu euclídeoeuclídeu se denotadenotase por ''E''<sup> ''n''</sup>, aunqueanque ℝ<sup>''n''</sup> esye bastante usadousáu (sobreentendiendo la métrica). ''E''<sup> 2</sup> se dicedizse '''el planoplanu euclídeoeuclídeu'''.
Por definición, ''E''<sup> ''n''</sup> esye un [[espacioespaciu métricométricu]], y esye por tanto tambiéntamién un [[topologíatopoloxía|espacioespaciu topológicotopolóxicu]]; esye'l elexemplu ejemploprototípicu prototípico de unaduna ''n''-[[variedadvariedá]], y es de hechoye una ''n''-variedadvariedá diferenciable. ParaPa ''n'' ≠ 4, cualquiercualesquier ''n''-variedad diferenciable que seaseya [[homeomorfismohomeomorfismu|homeomorfa]] a ''E''<sup> ''n''</sup> esye tambiéntamién [[difeomorfismodifeomorfismu|difeomorfa]] a ella. El hechofechu sorprendente es queye qu'esto nonun esye cierto tambiéntamién parapa ''n'' = 4, lo que fuefoi probadoprobao por Simon Donaldson ennel el año 1982añu1982; los contraejemploscontraexemplos se llamannómense [[4-variedadvariedá|4-espacios]] exóticos (o falsos).
SePuede puededecise decir muchomuncho sobre la [[topologíatopoloxía]] de d'''E''<sup> ''n''</sup>, Pero esperaremos a una próxima edición de este artículo. Un resultadoresultáu importante, ella [[invariancia del dominiodominiu]] de [[L. E. J. Brouwer|Brouwer]], es elye'l de que cualquiercualesquier subconjunto desubconxuntu d'''E''<sup> ''n''</sup> que sea homeomorfohomeomorfu a un subconjuntosubconxuntu abierto deabiertu d'''E''<sup> ''n''</sup> esye en sí mismomesmu abiertoabiertu. Como consecuencia inmediata de estodesto se tienetien que '''E''<sup> ''m''</sup> nonun esye homeomorfohomeomorfu a ''E''<sup> ''n''</sup> si ''m'' ≠ ''n'' -- un resultadoresultáu intuitivamente "obvioobviu" que sinqu'ensin embargoembargu nonun esye fácil de demostrar.
El ''n''-espaciu euclídeu pue considerase tamién como un [[Espaciu vectorial]] ''n''-dimensional real , de fechu un [[Espaciu de Hilbert]], de mena ñatural. El [[productu interior]], tamién nomáu '''[[productu escalar|productu puntu]]''', de '''x''' = (''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>) e '''y''' = (''y''<sub>1</sub>,...,''y''<sub>''n''</sub>) ta dau por
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