Mecánica de sólidos deformables

La mecánica de sólidos deformables estudia'l comportamientu de los cuerpos sólidos deformables ante distintu tipos de situaciones como l'aplicación de cargues o efeutos térmicos. Estos comportamientos, más complexos que'l de los sólidos ríxidos, estudiar en mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceutos de deformación y de tensión por aciu les sos aplicaciones de deformación.

Mecánica de sólidos deformables
rama de la física, branch of materials science (en) , rama de la ingeniería (es) y disciplina académica
mecánica

Espluma viscoelástica, ye un sólidu deformable yá que tiende a recuperar la so forma pa esfuercios llixeros, anque la manera de recuperación ye retardáu a diferencia d'un sólidu elásticu en que la respuesta ye práuticamente instantánea.

Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables ye determinar a partir d'una cierta xeometría orixinal de sólidu y unes fuercies aplicaes sobre'l mesmu, si'l cuerpu cumple ciertos requisitos de resistencia y rixidez. Pa resolver esi problema, polo xeneral ye necesariu determinar el campu de tensiones y el campu de deformaciones del sólidu. Les ecuaciones necesaries pa ello son:

• ecuaciones d'equilibriu, que rellacionen tensiones internes del sólidu coles cargues aplicaes. Les ecuaciones de la estática son deducibles de les ecuaciones d'equilibriu.
• ecuaciones constitutives, que rellacionen tensión y deformación, y nes que pueden intervenir tamién otres magnitúes como temperatura, velocidá de deformación, deformaciones plástiques acumulaes, variables d'endurecimientu, etc.
• ecuaciones de compatibilidá, a partir de la cual pueden calculase los desplazamientos en función de les deformaciones y les condiciones de contorna o enllaz col esterior.

Tipos de sólidos deformables

Los sólidos deformables difieren unos d'otros nel so ecuación constitutiva. Según sía la ecuación constitutiva que rellaciona les magnitúes mecániques y termodinámiques relevantes del sólidu, tiense la siguiente clasificación pal comportamientu de sólidos deformables:

• Comportamientu elásticu, dase cuando un sólidu se deforma adquiriendo mayor enerxía potencial elástica y, poro, aumentando la so enerxía interna ensin que se produzan tresformamientos termodinámicos irreversibles. La carauterística más importante del comportamientu elásticu ye que ye reversible: si suprímense les fuercies que provoquen la deformación el sólidu vuelve al estáu inicial d'antes d'aplicación de les cargues. Dientro del comportamientu elásticu hai dellos subtipos:
  • Elásticu llinial isótropo, como'l de la mayoría de metales non deformados en fríu baxo pequeñes deformaciones.
  • Elásticu llinial non isótropo, la madera ye material ortotrópico que ye un casu particular de non-isotropía.
  • Elásticu non llinial, exemplos d'estos materiales elásticos non lliniales son la goma, el cauchu y l'hule, tamién el formigón pa esfuercios de compresión pequeños portar de manera non llinial y aproximao elástica.
• Comportamientu plásticu: equí esiste irreversibilidad; anque se retiren les fuercies so les cualos produciéronse deformaciones elástiques, el sólidu nun vuelve esautamente al estáu termodinámicu y de deformación que tenía antes de l'aplicación de les mesmes. De la mesma los subtipos son:
  • Plásticu puro, cuando'l material "flúi" llibremente a partir d'un ciertu valor de tensión.
  • Plásticu con endurecimientu, cuando por que'l material atrope deformación plástica ye necesariu dir aumentando la tensión.
  • Plásticu con allandiadura.
• Comportamientu mafosu que se produz cuando la velocidá de deformación entra na ecuación constitutiva, típicamente pa deformar con mayor velocidá de deformación ye necesariu aplicar más tensión que pa llograr la mesma deformación con menor velocidá de deformación pero aplicada más tiempu. Equí pueden estremase los siguientes modelos:
  • Visco-elásticu, en que les deformaciones elástiques son reversibles. Pa velocidaes de deformaciones arbitrariamente pequeñes esti modelu tiende a un modelu de comportamientu elásticu.
  • Visco-plásticu, qu'inclúi tanto'l desfasaje ente tensión y deformación per efeutu de la mafa como la posible apaición de deformaciones plástiques irreversibles.

En principiu, un sólidu d'un material dau ye susceptible de presentar dellos d'estos comportamientos según sía'l rangu de tensión y deformación que predomine. Unu o otru comportamientu va depender de la forma concreta de la ecuación constitutiva que rellaciona parámetros mecánicos importantes como la tensión, la deformación, la velocidá de deformación y la deformación plástica, xunto con parámetros como les constantes elástiques, la mafa y parámetros termodinámicos como la temperatura o la entropía.

Ecuaciones constitutives

Los sólidos elásticos son el tipu de sólidu deformable de más senciellu tratamientu, yá que son materiales "ensin memoria" en que'l valor de les tensiones ${\boldsymbol {\sigma }}$ nun puntu $\mathbf {x}$ nun intre dau dependen namái de les deformaciones ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ nel mesmu puntu y non de les deformaciones anteriores (nin el valor d'otres magnitúes nun intre anterior). Pa un sólidu elásticu la ecuación constitutiva funcionalmente ye de la forma:

(1)

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad T:{\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})$

Si'l sólidu elásticu amás ye homoxéneu, la función $T(\cdot ,\cdot )$ namái va depender del primer argumentu. Na especificación anterior ${\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})$ denota el conxuntu de tensores simétricos nel espaciu euclídeo tridimensional. Si'l material nun respuende a una ecuación como l'anterior entós el material ye anelástico. Los materiales anelásticos carauterizar por ser materiales "con memoria" nos que la tensión actual en puntu depende de la deformación nel mesmu puntu en dalgún intre anterior. La viscoelasticidad ye'l tipu de fenómenu de memoria más simple, anque otros fenómenos como la esistencia de plasticidad son formes de anelasticidad que riquen un tratamientu más complexu. Un material con memoria totalmente xeneral respuende a una ecuación más complexa:

(2)

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}(\mathbf {x} ,\cdot );\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}(\mathbf {x} ,\tau ):={\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,\tau -t),\quad T:{\mathcal {F}}({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})$

Reparar qu'agora'l segundu argumentu de $T(\cdot ,\cdot )$ nun ta sobre un espaciu vectorial finito (tensores simétricos d'orde dos), sinón sobre un espaciu funcional ${\mathcal {F}}({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))$ (funciones que tomen valores sobre los tensores d'orde dos). Agora nun basta con especificar el valor actual de la deformación ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ sinón que ye necesariu especificar el valor pa cualquier intre de tiempu ${\boldsymbol {\tilde {\varepsilon }}}^{t}$ lo cual rique especificar una función del tiempu colo cual el primer argumentu pertenez a un espaciu infinitodimensional.

Afortunadamente'l tratamientu de los materiales viscoelásticos y elastoplásticos convencionales puede faese con ecuaciones constitutives menos xenerales que (2). Los sólidos viscoelásticos y elastoplásticos son casos particulares de (2) pueden definise sobre espacios de dimensión finita. Por casu un sólidu viscoelástico de tipu diferencial con complexidá 1, el tipu más simple de viscoelasticidad, pudi ser descritu a cencielles por aciu una ecuación constitutiva del tipu:

(3)

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,\tau ):={\frac {d{\boldsymbol {\varepsilon }}}{dt}},\quad T:({\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})\times {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3}))\times \mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {T}}_{2}(\mathbb {R} ^{3})$

Si la complexidá ye más alta, bastaría añader derivaes segundes o terceres hasta l'orde fayadizu. Pa un sólidu viscoelástico llinial, puede trate que (3) ye un casu particular de (2) yá que nun sólidu viscoelástico llinial que la so función de relaxación sía $\scriptstyle F(\cdot )$ la tensión rellacionar cola deformación por aciu:

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=[\mathbf {C} +\mathbf {F} (0)]:{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {F} (t):{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,0)+\int _{0}^{t}{\dot {\mathbf {F} }}(\tau ):{\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t-\tau )d\tau$

que ye una ecuación del tipu (3) que ye llinial en tolos sos argumentos.

Pa un material elastoplástico los efeutos "de memoria" del material representar por aciu una variable interna, acomuñada a la deformación plástica, que'l so valor numbéricu va depender de la hestoria pasada del material: Pero como namái importa'l valor actual de la variable interna les variables van siguir definíes sobre un espaciu de dimensión finita. Un material elastoplástico non dependiente de la velocidá de deformación puede representase por una sistema d'ecuaciones del tipu:

(4)

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\dot {\boldsymbol {\xi }}}=\Phi ({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}){\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}$

Onde les variables internes $\scriptstyle \xi$ inclúin la deformación plástica y posiblemente otres magnitúes. Si'l material ye viscoelastoplástico entós hai que complicar un pocu más la primer ecuación anterior:

(5)

${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)=T({\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\dot {\varepsilon }}}(\mathbf {x} ,t),{\boldsymbol {\xi }}(\mathbf {x} ,t);\mathbf {x} )$

Termodinámica

Pa sólidos elásticos y viscoelásticos la ecuación constitutiva, acordies con el procedimientu de Coleman-Noll, puede derivase de la esistencia d'una función de densidá enerxía almacenada. Nel casu que sólidos que puedan sufrir cambeos de temperatura o entropía al deformase debe substituirse la función de densidá d'enerxía pola enerxía llibre de Helmholtz $\Psi (C_{AB},\Gamma _{\alpha },T)$ por unidá de volume. Usualmente la forma de la potencial d'enerxía llibre tomar de la forma:

(6)

$\Psi (\mathbf {C} ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{m},T)=\Psi _{\mathrm {vol} }^{\infty }(J,T)+\Psi _{\mathrm {iso} }^{\infty }(\mathbf {\bar {C}} ,T)+\sum _{\alpha =1}^{m}\Upsilon _{\alpha }(\mathbf {\bar {C}} ,\Gamma _{\alpha },T)$

onde:

$\mathbf {C} ,\mathbf {\bar {C}}$, ye'l tensor de Cauchy diestru y el so parte desviadora.

$J\,$, jacobiano del gradiente de deformación.

$\Gamma _{\alpha }$ son variables que caractericen el comportamientu de fluyencia lenta y de relaxación.

$T\,$ ye la temperatura.

Nesa formulación el segundu tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff puede llograse como:

(7)

$S_{AB}=2{\frac {\partial \Psi }{\partial C_{AB}}}$

onde:

$C_{AB}$ son les componentes del tensor Cauchy diestru a partir del cual defínese'l tensor de deformación material de Green-Lagrange.

Materiales elásticos

Los materiales elásticos son el tipu más simple de sólidu deformable onde les tensiones nun puntu depende namái de les deformaciones coocurrentes nel mesmu puntu. Esa restricción fai que los materiales elásticos sían sistemes termodinámicamente reversibles onde nun hai disipación. Dientro de los materiales elásticos amás ye frecuente la diferencia ente materiales elásticos lliniales, onde la ecuación constitutiva (1) ye una función llinial nel so primer argumentu y amás les deformaciones sían pequeñes($\scriptstyle |\varepsilon _{ij}|<10^{-2})$. Matemáticamente los materiales elásticos lliniales son fácilmente tratables y gran parte de les aplicaciones práutiques y el análsiis estructural basar nesti tipu de materiales. Sicasí, la linealidad ente deformaciones y desplazamientos namái se da aproximao pa pequeñes deformaciones y polo xeneral los problemes con grandes deformaciones, riquen el so tratamientu por aciu elasticidá non llinial. Esti tratamientu ye sustancialmente más complexu dende'l puntu de vista matemáticu.

Teoría de la elasticidá llinial

Artículu principal: Elasticidá (mecánica de sólidos)

Pa materiales que tienen un comportamientu elásticu llinial, o aproximao llinial, pa pequeñes o moderaes deformaciones. El cálculu de tensiones y deformaciones puede faese usando la teoría llinial de la elasticidá. Esta teoría resuelve los problemes de mecánica de sólidos plantegando un sistema d'ecuaciones diferenciales en derivaes parciales. Dende'l puntu de vista físicu los diversos subsistemas d'ecuaciones qu'inclúi esta teoría son:

• Ecuaciones d'equilibriu internu. Que rellacionen les fuercies volumétricas (b_i) coles derivaes de les tensiones (σ_ij) nel interior del sólidu:

${\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+b_{x}=0\qquad {\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+b_{y}=0\qquad {\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+b_{z}=0$

• Ecuaciones d'equilibriu esternu. Que rellacionen les fuercies superficiales o fuercies de contautu (f_i) aplicaes na superficie del sólidu col valor de les tensiones nel controno del sólidu:

$\sigma _{xx}\ n_{x}+\sigma _{xy}\ n_{y}+\sigma _{xz}\ n_{z}=f_{x}\qquad \sigma _{yx}\ n_{x}+\sigma _{yy}\ n_{y}+\sigma _{yz}\ n_{z}=f_{y}\qquad \sigma _{zx}\ n_{x}+\sigma _{zy}\ n_{y}+\sigma _{zz}\ n_{z}=f_{z}$

• Ecuaciones constitutives o ecuaciones de Lamé-Hooke. Son ecuaciones alxebraiques y lliniales que rellacionen el valor de les componentes del tensor tensión col valor del tensor deformación:

$\varepsilon _{xx}={\frac {1}{Y}}\left(\sigma _{xx}-\nu (\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\right)\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {(1+\nu )}{Y}}\sigma _{xy}$

$\varepsilon _{yy}={\frac {1}{Y}}\left(\sigma _{yy}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{zz})\right)\qquad \varepsilon _{yz}={\frac {(1+\nu )}{Y}}\sigma _{yz}$

$\varepsilon _{zz}={\frac {1}{Y}}\left(\sigma _{zz}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)\qquad \varepsilon _{xz}={\frac {(1+\nu )}{Y}}\sigma _{xz}$

• Rellación ente desplazamientos y deformaciones. Que rellacionen les componentes del tensor de deformaciones (ε_ij) coles componentes del vector de desplazamientu o = (o_x, o_y, o_z):

$\varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\partial o_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial o_{j} \over \partial x_{i}}\right)$

• Condiciones de contorna, qu'afiten el valor del desplazamientu pa dellos puntos de la contorna esterior, de normal los puntos que sían puntos d'unión del sólidu deformable a dalguna otra estructura o elementu resistente sobre'l que se sofite o fondie.

Resistencia de materiales

Artículu principal: Resistencia de materiales

Ciertos problemes senciellos de la mecánica de sólidos deformables con xeometríes simples pueden tratase por aciu la resistencia de materiales clásica. N'especial pal cálculu de vigues y cuando la concentración de tensiones nun ye particularmente pueden plantegase ecuaciones diferenciales ordinaries nuna variable pal cálculu de tensiones y deformaciones, lo cual fai bien fácil l'atopar soluciones analítiques qu'averen les tensiones del problema real tridimensional.

Amás, munchos problemes que son indeterminaos según el modelu de la mecánica del sólidu ríxidu (problemes hiperestáticos), son resolubles nel modelu de sólidos deformables gracies a que s'usen ecuaciones adicionales (ecuación constitutiva y ecuaciones de compatibilidá). De normal estes ecuaciones adicionales escribir en términos d'esfuercios, deformaciones o desplazamientos (Ver tamién: teoremas de Castigliano, ecuaciones de Navier-Bresse, teoremas de Mohr).

Una de les principales aplicaciones de la mecánica de sólidos deformables ye'l cálculu d'estructures n'inxeniería y arquiteutura. Como campu d'estudiu, la mecánica de sólidos deformables forma parte de la mecánica de medios continuos. Cabo señalar que los métodos simplifcados usaos en resistencia de materiales tamién pueden estendese a materiales con ciertu tipu de plasticidad o materiales viscoelásticos, polo que la resistencia de materiales nun ta llindada puramente a materiales elásticos, anque na práutica la resistencia de materiales non elásticos ye pocu usada na práutica, siendo más común l'usu de códigos basaos en elementos finitos o otros métodos computacionales y el tratamientu ensin simplificar de la xeometría.

Materiales viscoelásticos

Pa un sólidu viscoelástico el tensor de tensiones puede descomponese nuna combinación llinial de tensiones nel equilibriu (al que converxeríen les tensiones si la deformación caltién constante) y tensiones transitories asociaes al comportamientu puramente viscoelástico. Usando la forma (6) pa la enerxía llibre de Helmholtz, el tensor de tensiones va tener la forma:

$\mathbf {S} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {S} _{\mathrm {vol} }^{\infty }(\mathbf {x} )+\mathbf {S} _{\mathrm {iso} }^{\infty }(\mathbf {x} )+\sum _{\alpha }\mathbf {Q} _{\alpha }(\mathbf {x} ,t)$

onde l'últimu términu contién les tensiones de non equilibriu acomuñaes al comportamientu de fluyencia y relaxación.

Ver tamién

• Mecánica de medios continuos y Mecánica del sólidu ríxidu
• Material simple
• Elasticidá y Resistencia de materiales
• Tensión y Deformación
• Problema elásticu y Problema elastoplástico
• Dislocación (metalotecnia)

Bibliografía

• Holzapfel, G.A. (2000). Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 9780471823193.
• Antman, Stuart (2006). Nonlinear Problems of Elasticity. Springer. ISBN 9780387276491.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Mecánica de sólidos deformables .

• Datos: Q1080293
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