Teoría de fexes

En matemática, un fai F sobre un espaciu topolóxicu dau, X, apurre, pa cada conxuntu abiertu O de X, un conxuntu F(O), d'estructura más rica. De la mesma diches estructures, F(O), son compatibles cola operación de restricción dende un conxuntu abiertu escontra subconxuntos más pequeños y cola operación de pegáu de conxuntos abiertos pa llograr un abiertu mayor. Un prehaz ye similar a un fexe, pero con él puede nun ser posible la operación de pegáu. Los fexes déxennos aldericar de manera refinada sobre lo que significa ser una propiedá local, tal que falamos d'ello cuando lo aplicamos a una función.

Introducción

Los fexes son usaos en topoloxía, xeometría alxebraica y xeometría diferencial siempres que queremos guardar rastru de los datos alxebraicos que varien con cada conxuntu abiertu del oxetu xeométricu dadu. Son una ferramienta global pa estudiar oxetos que varien llocalmente (i.e., dependiendo del conxuntu abiertu). Funcionen como preseos naturales pal estudiu del comportamientu global d'entidaes que son de naturaleza local, como los conxuntos abiertos, o les funciones: continues, analítiques, diferenciables...

Por considerar un exemplu típicu, sía un espaciu topolóxicu X y sía, pa cada conxuntu abiertu O en X, el conxuntu F(O), que consta de toles funciones continues O $\rightarrow$ R. Si V ye un subconxuntu abiertu de O, entós les funciones sobre O pueden acutase a V, y tenemos una aplicación F(O) $\rightarrow$ F(V). El "pegáu" tratar del siguiente procesu: supón que los O_i son conxuntos abiertos que la so unión ye O, y pa cada i coyemos un elementu f_i $\in$ F(O_i), i.e. una función continua f_i : O_i $\rightarrow$ R. Si estes funciones coinciden allá onde s'asolapen, entós podemos pegales xuntes de manera que nos dean una única forma de consiguir una función continua f : O $\rightarrow$ R conincidente con toles fi. La coleición de conxuntos F(O) xunto coles aplicaciones restricción F(O) $\rightarrow$ F(V) formen un fexe de conxuntos sobre X. Realmente, los F(O) son aniellos conmutativos y les aplicaciones de restricción son homomorfismos d'aniellos, y F ye amás un fexe d'aniellos sobre X.

Un exemplu bien paecíu llógrase considerando una variedá diferenciable X, y pa cada conxuntu abiertu O de X, tomando'l conxuntu F(O) como'l de les funciones diferenciables O $\rightarrow$ R. Nesti exemplu va funcionar tamién el pegáu y vamos tener un fexe d'aniellos sobre X. Otru fai sobre X asigna a cada conxuntu abiertu O de X l'espaciu vectorial de toes los campos vectoriales diferenciables definíos sobre O. La restricción y el pegáu va funcionar como nel casu de les funciones, y vamos llograr un fexe d'espacios vectoriales sobre la variedá X.

Daqué sobre la hestoria de la teoría de fexes en feches

Los oríxenes más primixenios de la teoría de fexes son difíciles de discernir - de xuru son coextensivos cola idea de la continuación analítica. Tomó alredor de 15 años pa estrayer una teoría de fexes autosuficiente del trabayu fundacional en cohomología.

• 1936 Eduard Čech introduz la construcción de Nerviu d'un recubrimientu abiertu, qu'acomuña un complexu simplicial a un recubrimientu abiertu.
• 1938 Hassler Whitney suministra una definición 'moderna' de la cohomología, resumiendo tol trabayu realizáu desque Alexander y Kolmogórov definieren les cocadenas.
• 1943 Steenrod publica sobre la homoloxía con coeficientes locales.
• 1945 Jean Leray publica trabayu realizáu nun campu de prisioneros de guerra, motiváu poles demostración sobre teoremas del puntu fixu na so aplicación a la teoría d'EDP (ecuaciones en derivaes parciales). Esto ye l'empiezu de la teoría de fexes y de les secuencies espectrales.
• 1947 Henri Cartan demuestra de nuevu'l Teorema de de Rham por aciu métodos de teoría de fexes, na so correspondencia con André Weil. Leray da una definición de fexe al traviés de los conxuntos zarraos (los antiguos carapaces).
• 1948 El seminariu de Cartan pon per primer vegada la teoría de fexes per escritu.
• 1950 La 'segunda edición' del seminariu de Cartan sobre teoría de fexes: onde s'usa la definición del espaciu de fexes (éspace étalé), con estructura de tarmos (stalkwise).

Son introducíos los Soportes, y la cohomología con soportes. Les aplicaciones continues faen surdir les socesiones espectrales. Coles mesmes Kiyoshi Oka introduz la idea (paecida a aquella) d'un fexe d'ideales, en delles variables complexes.

• 1951 El seminariu de Cartan demuestra los teoremas A y B basaos na obra de Oka.
• 1953 El teorema de finitud pa fexes coherentes na teoría analítica ye demostráu por Cartan y Ferruche, según La dualidá de Ferruche.
• 1954 L'artículu de Ferruche Faisceaux algébriques cohérents (publicáu en 1955) introduz los fexes dientro de la xeometría alxebraica. Estes idees son esplotaes darréu por Hirzebruch, quien escribe un llibru fundamental sobre métodos topolóxicos.
• 1955 Alexander Grothendieck en llectures daes en Kansas define la categoría abeliana y los prehaces, y por aciu l'usu de la resolución inyectiva dexa usar direutamente la cohomología de fexes sobre tolos espacios topolóxicos, como funtores derivaos.
• 1957 L'artículu de Grothendieck llamáu Tohoku reescribe'l álxebra homológica; prueba la dualidá de Grothendieck (i.e., dualidá de Ferruche pa variedaes singulares).
• 1958 El llibru de Godement sobre teoría de fexes ye publicáu. Aproximao coles mesmes Mikio Satō propón les hiperfunciones, que terminen per trate "fai-teoréticamente".
• 1957 progresivamente: Grothendieck estiende la teoría de fexes afaciéndola a les necesidaes de la xeometría alxebraica, introduciendo los: esquemass y fexes xenerales sobre ellos, cohomología local, la categoría derivada (esto con Verdier), y la Topoloxía de Grothendieck. Ellí surden tamién el so influyente y sintética idea de les 'seis operaciones' n'álxebra homológica.

Nesti puntu los fexes convirtiéronse yá nuna parte fundamental nel desenvolvimientu de la matemática, y el so usu nun s'acuta de nenguna manera a la topoloxía alxebraica. Más tarde afayóse que la lóxica nes categoríes de fexes ye intuicionista (suelse de cutiu nomar esta observación como semántica Kripke-Joyal, pero probablemente tuviera de ser atribuyida a un mayor númberu d'autores). Esto demuestra cómo dalgunes de les facetes de la teoría de fexes puede ser remontada tan lloñe como a Leibniz.

La definición formal

Vamos Definir los fexes en dos pasos. El primeru ye introducir el conceutu de prehaz, que prinda la idea d'acomuñar información local a un espaciu topolóxicu. El segundu pasu ye introducir un axoma adicional, llamáu'l axoma de pegáu o'l axoma de fexe, que prinda la idea de pegar información llocal pa llograr información global.

Definición de prehaz

Sía X un espaciu topolóxicu, y C una categoría (de cutiu la categoría de conxuntos, de grupos abelianos, d'aniellos conmutativos, o la de módulos sobre un aniellu fixu). Un prehaz F d'oxetos en C sobre l'espaciu X (un C-prehaz sobre X) vien dau polos datos siguientes:

• pa cada conxuntu abiertu O en X, un oxetu F(O) en C
• pa cada inclusión de conxuntos abiertos V $\subset$ O, un morfismo F(O) $\rightarrow$ F(V) na categoría C, que se llama la "restricción

de O a V". vamos escribir como res_O,V. Ríquense dos propiedad:

• pa cada conxuntu abiertu O en X, tenemos res_O,O =id_F(O), i.e., la restricción de O a O ye la identidá.
• daos cualesquier trés conxuntos abiertos W $\subset$ V $\subset$ O, tenemos res_V,W o res_O,V =res_O,W, i.e. la restricción de F(O) a F(V) y entós a F(W) ye lo mesmo que la restricción de F(O) direutamente a F(W).

Esta definición puede dase fácilmente en términos de la teoría de les categoríes. Primero definimos la categoría de los conxuntos abiertos sobre X como la categoría Top_X que los sos oxetos son los conxuntos abiertos de X y que los sos morfismos son les inclusiones. Top_X ye entós la categoría correspondiente al orde parcial $\subset$ sobre los conxuntos abiertos de X. Un C-prehaz sobre X ye entós un funtor contravariante dende Top_X a C.

Si F ye un prehaz C-valuáu sobre X, y O ye un conxuntu abiertu de X, entós F(O) dizse les seiciones de F sobre O. (Esto ye por analoxía coles seiciones de los "fiber bundles"; ver embaxo) Si C ye una categoría concreta, entós cada elementu de F(O) ye llamáu una seición. F(O) de cutiu ye tamién denotado Γ(O,F).

L'axoma de pegáu

Los fexes son prehaces sobre los cualos les seiciones sobre conxuntos abiertos pueden ser pegaes pa dar seiciones sobre abiertos más grandes. Vamos Establecer primero l'axoma d'una manera que rique que C sía una categoría concreta.

Sía O la unión de la coleición de conxuntos abiertos {O_i}. Pa cada O_i, escueye una seición f_i sobre O_i. Vamos Dicir que los f_i son compatibles si pa tou i j,

res_{Oi,Oi$\cap$Oj}(f_i) =res_{Oj,Oi$\cap$Oj}(f_j).

Intuitivamente falando, si les f_i representen funciones, tamos diciendo que cualesquier d'elles va coincidir con otra allá onde s'asolapen. L'axoma de fexe diz que podemos llograr colos f_i una seición única f sobre O que la so restricción a cada O_i ye f_i, i.e., res_O,Oi(f)=f_i. Delles vegaes esto dizse con dos axomes, unu garantizando la esistencia y l'otru la unicidá.

Parafrasiando esta definición de manera que funcione en cualquier categoría, notamos que podemos escribir los oxetos y los morfismos envueltos nella nuna diagrama paecíu a este:

${\mathcal {F}}(O)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(O_{i}){\rightarrow \atop \rightarrow }\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(O_{i}\cap O_{j})$

La primer aplicación equí ye'l productu de les aplicaciones restricción res_O,Oi,:F(O)$\rightarrow$F(O_i) y cada par de fleches representa los dos restricciones res_{Oi,Oi$\cap$Oj}:O_i$\rightarrow$O_i$\cap$O_j y res_{Oj,Oi$\cap$Oj}:O_j$\rightarrow$O_i$\cap$O_j.

Vale la pena faer notar qu'eses aplicaciones escosen toles posibilidaes tocantes a les aplicaciones restricción ente O, los O_i, y los O_i$\cap$O_j.

La condición de que F sía un fexe ye esautamente la de que F(O) ye la llende del restu de la diagrama. Esto suxure que tenemos de parafrasiar la noción de recubrimientu nun contestu categorial. Cuando faemos esto, llogramos una diagrama qu'asemeya al de riba:

$\prod _{i,j}O_{i}\cap O_{j}{\rightarrow \atop \rightarrow }\prod _{i}U_{i}\rightarrow O$

(Ye importante notar equí que pa formar los productos na diagrama, tenemos d'enfiñir la categoría Top_X nuna categoría completa) La condición de que O ye la unión de los O_i ye la de que O ye un colímite del restu de la diagrama.

L'axoma de pegáu ye agora'l que F torna tolos colímites en llendes.

Exemplos

Amás de los que yá punximos, los fexes de seiciones son exemplos importantes. Supón que Y y X son espacios topolóxicos y π : Y $\rightarrow$ X una aplicación continua. Pa cada conxuntu abiertu O en X, sía F(O) el conxuntu de toles aplicaciones f : O $\rightarrow$ Y tales que π(f(x)) = x pa tou x en O. Tal función f ye llamada seición de π. Nun ye difícil comprobar que F ye un fexe de conxuntos sobre X. Ello ye que cada fexe de conxuntos sobre X ye esencialmente d'esti tipu, p'aplicaciones bien especiales π; ver embaxo.

Dau un fexe F sobre X, los elementos de F(X) son llamaos tamién les seiciones globales, terminoloxía motivada pol exemplu previu.

Otros exemplos:

• Cualesquier fibrado vectorial apurre un fexe de conxuntos, coyendo les seiciones.
• Mira cómo los fexes son usaos nel artículu sobre Superficie de Riemann.
• Espacios anillados son fexes d'aniellos conmutativos; son especialmente importantes los espacios llocalmente anillados, onde tolos tarmos (mirar más embaxo) son aniellos locales.
• Los esquemes son espacios llocalmente anillados especiales, importantes en xeometría alxebraica; los fexes de módulos son importantes na teoría acomuñada.
• Fexes de rectes nel artículu : Simulación.

---

Traducción de la edición inglesa (sheaf), falta parte.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Teoría de fexes.

• Datos: Q77827144