Integración numbérica

En analís numbéricu, la integración numbérica constitúi una amplia gama d'algoritmos pa calcular el valor numbéricu d'una integral definida y, por estensión, el términu úsase dacuando pa describir algoritmos numbéricos pa resolver ecuaciones diferenciales. El términu cuadradura numbérica (de cutiu embrivíu a cuadradura) ye más o menos sinónimu de integración numbérica, especialmente si aplicar a integrales d'una dimensión a pesar de que pal casu de dos o más dimensiones (integral múltiple) tamién s'utiliza.

El problema básicu consideráu pola integración numbérica ye calcular una solución averada a la integral definida:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Esti problema tamién puede ser enunciáu como un problema de valor inicial pa una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

$y'(x)=f(x),\quad y(a)=0$

Atopar y(b) ye equivalente a calcular la integral. Los métodos desenvueltos pa ecuaciones diferenciales ordinaries, como'l métodu de Runge-Kutta, pueden ser aplicaos al problema reformuláu. Nesti artículu alderiquen métodos desenvueltos específicamente pal problema formuláu como una integral definida.

Razones pa la integración numbérica

Hai delles razones pa llevar a cabu la integración numbérica. La principal pue ser la imposibilidá de realizar la integración de forma analítica. Esto ye, integrales que riquiríen d'una gran conocencia y manexu de matemática avanzada pueden ser resueltes d'una manera más senciella por aciu métodos numbéricos. Inclusive esisten funciones integrables pero que la so primitiva nun puede ser calculada, siendo la integración numbérica de vital importancia. La solución analítica d'una integral refundiaríanos una solución exacta, ente que la solución numbérica daríanos una solución averada. L'error del aproximamientu, que depende del métodu que s'utilice y de qué tan finu sía, puede aportar a tan pequeñu que ye posible llograr un resultáu idéntica a la solución analítica nes primeres cifres decimales.

Métodos pa integrales unidimensionales

Los métodos d'integración numbérica pueden ser descritos xeneralmente como combinación d'evaluaciones del integrando pa llograr un aproximamientu a la integral. Una parte importante del analís de cualquier métodu d'integración numbérica ye estudiar el comportamientu del error d'aproximamientu como una función del númberu d'evaluaciones del integrando. Un métodu que produz un pequeñu error pa un pequeñu númberu d'evaluaciones ye de normal consideráu superior. Amenorgando'l númberu d'evaluaciones del integrando amenórgase'l númberu d'operaciones aritmétiques arreyaes, y por tanto amenórgase'l error d'arredondio total. Tamién, cada evaluación cuesta tiempu, y l'integrando pue ser arbitrariamente complicáu.

Sía comoquier, una manera d'integración por «fuercia bruta» puede faese siempres, d'una manera bien simplaya, evaluando l'integrando con medríes bien pequeñes.

Métodos basaos en funciones de interpolación

Hai una estensa familia de métodos que se basen n'averar la función a integrar $f(x)$ por otra función $g(x)$ de la cual conozse la integral exacta. La función que sustitúi la orixinal atópase de forma que nun ciertu númberu de puntos tenga'l mesmu valor que la orixinal. Como los puntos estremos formen parte siempres d'esti conxuntu de puntos, la nueva función llámase una interpolación de la función orixinal. Cuando los puntos estremos nun s'utilicen p'atopar la función que sustitúi a la orixinal entós dizse extrapolación. Típicamente estes funciones son polinomios.

Fórmules de Newton-Cotes

La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente dixebraos en $\ [a,b]$ da les fórmules de Newton-Cotes, de les que la regla del rectángulu, la del trapeciu y la de Simpson son exemplos. Si escueyen los nodos hasta $k=n+1$ va ser la fórmula de Newton-Cotes zarrada y si escuéyense $k=n-1$ va ser la fórmula de Newton-Cotes abierta.

Regla del rectángulu

El métodu más simple d'esti tipu ye faer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomiu d'orde cero) que pasa al traviés del puntu $(a,f(a))$. Esti métodu llámase la regla del rectángulu:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f(a)$

Regla del puntu mediu

Ilustración de la regla del puntu mediu.

Si nel métodu anterior la función pasa al traviés del puntu $\left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)$ esti métodu llámase la regla del puntu mediu:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)\,f\!\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

Regla de Simpson

Ilustración de la regla de Simpson.

La función interpoladora pue ser un polinomiu de grau 2 que pasa al traviés de los puntos $\ (a,f(a))$, $({\frac {a+b}{2}},f({\frac {a+b}{2}}))$ y $\ (b,f(b))$. Esti métodu llámase regla de Simpson:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$.

Regles compuestes

Pa cualquier regla interpoladora, puede faese un aproximamientu más precisu estremando'l intervalu $\ [a,b]$ en dalgún númberu $\ n$ de subintervalos, topando un aproximamientu pa cada subintervalo, y finalmente sumando toles resultaos. Les regles que surden de faer esto llámense regles compuestes, y caracterícense por perder un orde de precisión global frente a les correspondientes simples, magar globalmente dan valores más precisos de la integral, a mariña eso sí d'amontar significativamente el costu operativu del métodu. Por casu, la regla del trapeciu compuesta puede espresase como:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)$

onde los subintervalos tienen la forma $\ [kh,(k+1)h]$ con
$\ h={\frac {b-a}{n}}$
y $\ k=0,1,2,\ldots ,n-1$.

Métodos de extrapolación

La precisión d'un métodu d'integración del tipu Newton-Cotes ye xeneralmente una función del númberu de puntos d'evaluación. La resultancia ye usualmente más precisu cuando'l númberu de puntos d'evaluación aumenta, o, equivalentemente, cuando l'anchor del pasu ente puntos escai. ¿Qué pasa cuando l'anchor del pasu tiende a cero? Esto puede respondese extrapolando la resultancia de dos o más anchores de camín (extrapolación de Richardson). La función de extrapolación puede ser un polinomiu o una función racional. Los métodos de extrapolación tán descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch (Seición 3.4). En particular, al aplicar el métodu de extrapolación de Richardson a la regla del trapeciu compuesta llógrase'l métodu de Romberg.

Cuadradura de Gauss

Si déxase variar los intervalos ente los puntos de interpolación, atópase otru grupu de fórmules d'integración, llamaes fórmules de cuadradura de Gauss. Una regla de cuadradura de Gauss ye típicamente más precisa qu'una regla de Newton-Cotes que rica'l mesmu númberu d'evaluaciones del integrando, si l'integrando ye nidiu (esto ye, si puede derivase munches vegaes).

Algoritmos adaptativos

Si f nun tien munches derivaes definíes en tolos sos puntos, o si les derivaes tomen valores bien elevaos, la integración gausiana ye de cutiu insuficiente. Nesti casu, un algoritmu similar al siguiente facer meyor:

def integral(f, a, b):
 """Esti algoritmu calcula la integral definida d'una función
 nel intervalu [a,b], adaptativamente, escoyendo pasos más
 pequeños cerca de los puntos problemáticos.
 h0 ye'l pasu inicial."""
 
 x = a h
 = h0
 acumulador = 0
 while x < b:
 if x+h > b: h = b - x
 if error de la cuadradura sobre [x,x+h] para f ye demasiáu grande:
 fai h más pequeñu else:
 
 acumulador += integral(f, x, x+h)
 x += h
 if error de la cuadradura sobre [x,x+h] ye demasiáu pequeñu:
 fai h más grande return
 acumulador

Dellos detalles del algoritmu riquen miralo con cuidu. Pa munchos casos, envalorar l'error de la integral sobre un intervalu pa una función f nun ye obviu. Una solución popular ye usar dos regles d'integración distintes, y tomar la so diferencia como una estimación del error de la integral. L'otru problema consiste en decidir qué ye «demasiáu grande» o «demasiáu pequeñu». Un criteriu posible pa «demasiao grande» ye que l'error de la integral nun seya mayor que th, onde t, un númberu real, ye la tolerancia que queremos tener pal error global. Pero tamién, si h ye yá minúsculu, puede nun valir la pena faelo inda más pequeñu si l'error de la integral ye aparentemente grande. Esti tipu d'analís d'error usualmente llámase «a posteriori» yá que calculamos l'error dempués de calcular l'aproximamientu.

La heurística pa integración adaptativa ta aldericada en Forsythe et al (seición 5.4).

Estimación del error conservativa (a priori)

Supongamos que $\ f$ tien una primera derivada sobre $\ [a,b]$ acutada. El teorema del valor mediu pa $\ f$, pa $\ x<b$, da

$\ (x-a)f'(y_{x})=f(x)-f(a)$

pa dalgún $\ y_{x}$ en $\ [a,x]$ dependiendo de $\ x$. Si integramos en $\ x$ de $\ a$ a $\ b$ en dambos llaos de la igualdá y tomamos valores absolutos, tenemos

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(y_{x})dx\right|$

Puede averase más la integral nel llau derechu metiendo'l valor absolutu nel integrando, y reemplazando el términu en $\ f$ por una cota cimera:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-(b-a)f(a)\right|\leq {\frac {(b-a)^{2}}{2}}\sup _{a\leq x\leq b}\left|f'(x)\right|$

Asina, si averamos la integral $\int _{a}^{b}f(x)dx$ pola so regla d'integración $\ (b-a)f(a)$, l'error nun ye mayor que'l llau derechu de la ecuación.

Integrales múltiples

Los métodos d'integración que se comentaron hasta equí diseñáronse toos pa calcular integrales d'una dimensión.

Pa calcular integrales de diverses dimensiones, un enfoque ye espresar la integral múltiple como repetición d'integrales d'una dimensión faciendo usu del teorema de Fubini.

Esti enfoque lleva a una cantidá d'evaluaciones de la función que crez exponencialmente a midida que crez el númberu de dimensiones. Conócense dos métodos pa superar esta llamada maldición de la dimensión.

Montecarlu

Artículu principal: Integración de Montecarlu

Los métodos de Montecarlu y métodos de cuasi-Montecarlu son fáciles d'aplicar a integrales multidimensionales, y pueden producir una meyor exactitú pol mesmu númberu d'evaluaciones de la función que n'integraciones repitíes emplegando métodos unidimensionales. Una clase grande de métodos útiles de Montecarlu son los llamaos algoritmos de Cadena de Markov de Montecarlu, que inclúin el algoritmu de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs.

Programes pa integración numbérica

La integración numbérica ye unu de los problemes estudiaos más intensivamente nel analís numbéricu. Ente les munches implementaciones en programes atópense:

• QUADPACK (parte de SLATEC) (código fuente): QUADPACK ye una coleición d'algoritmos en Fortran pa integración numbérica basada en regles gausianas.
• GSL: GNU Scientific Library. La biblioteca Científica de GNU (GSL) ye una biblioteca numbérica escrita en C qu'aprove una amplia gama de rutines matemátiques, como la integración por Montecarlu.
• ALGLIB: Ye una coleición d'algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., pa la integración numbérica]].

Pueden atopase algoritmos d'integración numbérica en GAMS class H2.

Referencies

• George Y. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 5.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Chapter 4.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Chapter 3.)

• Datos: Q753445
• Multimedia: Numerical integration