Integral múltiple

Una integral múltiple ye un tipu d'integral definida aplicada a funciones de más d'una variable real, por casu, $f(x,y)$ o $f(x,y,z)$.

El doble integral como'l volume so una superficie. La rexón rectangular embaxo de la figura ye'l dominiu d'integración, ente que la superficie ye la gráfica de la función de dos variables de la integral.

Introducción

De la mesma manera en que la integral d'una función positiva $f(x)$ d'una variable definida nun intervalu puede interpretase cómo l'área ente la gráfica de la función y l'exa x nesi intervalu, la doble integral d'una función positiva $f(x,y)$ de dos variables, definida nuna rexón del planu xy, puede interpretase como'l volume ente la superficie definida pola función y el planu xy nesi intervalu. Al realizar una "integral triple" d'una función $f(x,y,z)$ definida nuna rexón del espaciu xyz, la resultancia ye un hipervolumen, sicasí ye bonu notar que si $f(x,y,z)=1$ la resultancia puede interpretase como'l volume de la rexón d'integración. Pa integrales d'ordes cimeros, la resultancia xeométrica correspuende a hipervolúmenes de dimensiones cada vez cimeres.

La manera más avezada de representar una integral múltiple ye añerando signos d'integración nel orde inversu al orde d'execución (el de más a la izquierda ye'l postreru en ser calculáu), siguíu de la función y los diferenciales n'orde d'execución. El dominiu d'integración representa sobre cada signu d'integral, o de cutiu ye embrivíu por una lletra nel signu d'integral de más a la derecha:

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

Ye importante destacar que nun ye posible calcular la función primitiva o antiderivada d'una función de más d'una variable polo que les integrales múltiples indefiníes nun esisten.

Definición

Una forma relativamente senciella de definir les integrales múltiples ye por aciu la so representación xeométrica como la magnitú del espaciu ente l'oxetu definíu pola ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y una rexón $T$ nel espaciu definíu peles exes de les variables independientes de la función $f$ (si $T$ ye una rexón zarrao y acutao y $f$ ta definida nésta). Por casu, si $n=2$, el volume asitiáu ente la superficie definida por $x_{3}=f(x_{1},x_{2})$ y una rexón $T$ nel planu $x_{1}x_{2}$ ye igual a dalguna integral doble, si ye que, como se mentó, $f$ ta definida en $T$.

$T$ puede estremase nuna partición interior $\Delta$ formada por $m$ subrexones rectangulares ensin solapamiento que tean dafechu conteníes en $T$. La norma $||\Delta ||$ d'esta partición ta dada pola diagonal más llarga nes $m$ subrexones.

Si toma un puntu $(x_{1i},x_{2i},...,x_{nin})$ que tea conteníu dientro de la subrexón con dimensiones $\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}...\Delta x_{nin}$ pa caúna de les m subrexones de la partición, puede construyise un espaciu con una magnitú averada a la del espaciu ente l'oxetu definíu por $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y la subrexón i. Esti espaciu va tener una magnitú de:

:$f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta A_{i}=f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}$

Entós puede averase la magnitú del espaciu enteru asitiáu ente l'oxetu definíu pola ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ y la rexón $T$ por aciu la suma de Riemann de les magnitúes de los $m$ espacios correspondientes a caúna de les subrexones:

:$\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}$

Esta aproximamientu ameyora a midida que el númberu $m$ de subrexones faise mayor. Esto suxure que podría llograse la magnitú exacta tomando la llende. Al aumentar el númberu de subrexones va menguar la norma de la partición:

$\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}$

El significáu rigorosu d'esti postreru llende ye que la llende ye igual L si y namái si pa tou $\varepsilon >0$ esiste un $\delta >0$ tal que

:$\left|L-\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}\right\vert <\varepsilon$

pa toa partición $\Delta$ de la rexón$T$(que satisfaiga $||\Delta ||<\delta$), y pa toles eleiciones posibles de $(x_{1i},x_{2i},...,x_{nin})$ na iésima subrexón. Esto conduz a la definición formal d'una integral múltiple:

Si$f$ta definida nuna rexón zarrao y acutao$T$del definíu peles exes de les variables independientes de f, la integral de$f$sobre$T$ta dada por:

$\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{nin})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{nin}$

siempres que la llende esista. Si la llende esiste dizse que$f$ye integrable con al respective de T.

Propiedaes

Les integrales múltiples comparten munches de les propiedaes de les integrales simples. Si $f$ y $g$ son funciones continues nuna rexón zarrao y acutao $D$ nun espaciu $\mathbb {R} ^{n}$ $c$ una constante con al respective de toles variables arreyaes entós puede demostrase que:

1.

$\iint \ldots \int _{D}\;cf(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}=c\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$

2.

$\iint \ldots \int _{D}\,[f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\pm g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}=$

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\pm \iint \ldots \int _{D}\,g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

3.

Si $\quad f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\geq 0$, entós:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\geq 0$

4.

Si $\quad f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\geq g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, entós:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\geq \iint \ldots \int _{D}\,g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

5.

Sía D la unión ente dos rexones, D₁ y D₂, que nun asolapen ente sigo, entós:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}=$

$\iint \ldots \int _{D_{1}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}+\iint \ldots \int _{D_{2}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

Integrales múltiples ya Integrales iteradas

Les integrales múltiples tán estrechamente rellacionaes coles integrales iteradas, que son necesaries pa resolver les integrales múltiples. La diferencia ente integrales múltiples y iteradas consiste en qu'una se refier al conceutu matemáticu d'integral (aplicáu a delles variables) y otra al procedimientu pol cual resuélvese la integral múltiple. Si la espresión

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx$

referir a una integral iterada, la parte esterna

$\int _{a}^{b}\cdots \,dx$

ye la integral con al respective de x de la función de x:

$g(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy.$

Una integral doble, sicasí ta definida con al respective de una área nel planu xy. La integral doble esiste si y namái si los dos integrales iteradas esisten y son iguales. Esto ye, si la integral doble esiste, entós ye igual a la integral iterada, ensin importar si l'orde d'integración ye $dydx$ o $dxdy$, y polo xeneral unu calcular calculando una sola d'estes. Sicasí, dacuando los dos integrales iteradas esisten ensin ser iguales y nesti casu nun esiste la integral doble, yá que se tien:

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.$

D'una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

Esto ye, si la integral ye absolutamente converxente, entós la integral doble ye igual a la integral iterada.

$\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Esto asocede, cuando $f$ ye una función acutada y tanto A como B son rexones acutaes tamién. Esto entiéndese fácilmente pensando que si la función o la rexón del dominiu nun tán acutaes, la integral múltiple nun puede esistir.

La notación

$\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy$

puede usase si deseyar ser enfáticu al referise a una integral doble y non a una iterada.

Métodos d'integración

Funciones constantes

Nel casu de funciones constantes, la resultancia ye trivial: a cencielles multiplíquese'l valor de la función constante $c$ pola midida del dominiu d'integración. Si $c=1$, y ye integrada al traviés d'una rexón de $\mathbb {R} ^{2}$ esto da l'área de la rexón, ente que si ye una rexón de $\mathbb {R} ^{3}$ da'l volume de la rexón y asina socesivamente.

Por casu:

$D=\{(x,y)|\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ y $f(x,y)=c\,\!$

Integrando $f$ sobre $D$:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ c\ dx\,dy=c\cdot {\mbox{area}}(D)=c\cdot (3\cdot 2)=c\cdot 6.$

Usu de simetríes

Nel casu d'un dominiu nel qu'esista simetría siquier respectu d'unu de les exes, y onde la función pa integrar contenga siquier una función impar con al respective de esa variable, la integral vuélvese nula (una y bones la suma de cantidaes iguales con signu opuestu ye cero). Por casu

Dada $f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5$ y que $T=x^{2}+y^{2}\leq 1$ ye'l dominiu d'integración del discu de radiu 1 centráu nel orixe.

Usando la propiedá llinial de les integrales, la integral descomponer en trés partes:

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\,dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy$

Yá que tantu $2\sin(x)$ como $3y^{3}$ son funciones impares, y esiste simetría tantu con respectu a la exa $x$ como con respectu a la exa $y$, les primeres dos integrales se nulifican, de tala forma que la integral orixinal ye igual namái a la tercera.

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}5\ dx\,dy=5\pi$

Cambéu de variables

De cutiu, ye útil p'amenorgar la complexidá de la integral camudar una variable por otra que resulte más cómoda, sicasí esto esixe'l cambéu de la rexón d'integración, amás d'añader un factor de correición al diferencial conocíu como determinante jacobiano (en valor absolutu o módulu). El cambéu d'una variable por otra ye nun sentíu xeométricu, un tresformamientu dende un espaciu hasta otru, y ye esti tresformamientu la qu'esixe estos axustes.

Si utiliza una tresformamientu que siga la rellación:

$f(y_{1},\ldots ,y_{n})\rightarrow f(x_{1}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),\ldots ,x_{n}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))$

Entós puede utilizase el jacobiano del tresformamientu pa simplificar la integral

$J={\frac {D(y_{1},\ldots ,y_{n})}{D(x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}$

Integrando la función tresformada nel dominiu d'integración correspondiente a les variables x, y multiplicando pol valor absolutu del determinante jacobiano y pola serie de diferenciales, llógrase una integral múltiple que ye igual a la integral orixinal, si ye qu'esta esiste.

$\iint \ldots \int _{D}\,f(y_{1},\ldots ,y_{n})dy_{1}\ldots \,dy_{n}=\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})|J|dx_{1}\ldots \,dx_{n}$

De siguío danse dellos exemplos d'estos tresformamientos.

Coordenaes Polares

El tresformamientu de coordenaes rectangulares a polares. Puede notase que l'área de la rexón polar ye distinta que la de la rexón rectangular, lo que xustifica la necesidá del jacobiano. Tamién puede demostrase que si se considera $\rho =(\rho _{1}+\rho _{2})/2$ (el radiu mediu), l'área de la rexón polar ye efeutivamente $\rho \Delta \rho \Delta \theta$.

Nun espaciu $\mathbb {R} ^{2}$, un dominiu d'integración que tenga una simetría circular ye munches vegaes susceptible de ser tresformáu de coordenaes rectangulares a polares, lo que significa que cada puntu $P(x,y)$ del dominiu d'una integral doble va tomar el so valor correspondiente en coordenaes polares por aciu el siguiente tresformamientu:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta )$

Por casu:

Si la función ye $f(x,y)=x+y\,\!$

aplicando la tresformamientu llógrase la función fácilmente integrable con al respective de $\phi$ y a $\rho$.

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).$

Pueden llograse funciones inclusive más simples:

Si la función ye $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$

Unu tien:

$f(\rho ,\theta )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho ^{2}\,\!$

Si aplica la identidá trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano del tresformamientu ye:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}=\rho$

El cual llógrase inxertando les derivaes parciales de $x=\rho \cos(\theta )$, $y=\rho \sin(\theta )$ na primer columna con al respective de $\rho$ y na segunda con al respective de $\theta$.

Poro, una vegada tresformada la función, y multiplicada pol so determinante jacobiano, ésta ye igual a la integral orixinal:

$\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \,d\rho \,d\theta .$

Coordenaes Esfériques

Gráfica de les coordenaes esfériques.

Cuando esiste simetría esférica nun dominiu en $\mathbb {R} ^{3}$, ye posible utilizar un tresformamientu escontra coordenaes esfériques pa simplificar una integral triple. La función ye tresformada pola rellación:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!$

El determinante jacobiano del tresformamientu ye'l siguiente:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (y)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (z)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\phi )}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \phi$

Tomando'l valor absolutu del determinante llógrase'l factor que se debe añader a la integral.

Polo tanto los diferenciales $dx\ dy\ dz$ tresformar en $\rho ^{2}\sin(\varphi )\ d\rho \ d\theta \ d\varphi$

Finalmente llógrase la fórmula d'integración:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Coordenaes Cilíndriques

Gráfica de les Coordenaes Cilíndriques (Amuésase l'ángulu θ como φ).

L'usu de coordenaes cilíndriques pa tresformar una integral triple, ye conveniente especialmente cuando'l dominiu d'integración presenta simetría alredor de la exa z. La función tresformar por aciu la siguiente rellación.

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta ,z)$

El determinate jacobiano del tresformamientu ye'l siguiente:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\\\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho$

Poro, puede derivase la siguiente fórmula d'integración:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \,d\rho \,d\theta \,dz.$

Ver tamién

• Integral
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes
• Teorema de la diverxencia
• Teorema de Fubini
• Integral de Riemann

Referencies

• Roland Y. Larson, Robert P. Hosteler, Bruce H. Edwards (1999). Cálculu Volume 2. Méxicu D.F.: McGrawHill. ISBN 970-10-2756-6.