Notación posicional

La notación posicional ye un sistema de numberación nel cual cada díxitu tien un valor que depende de la so posición relativa, que ta determinada pola base, que ye'l númberu de díxitos necesarios pa escribir cualquier númberu. Un exemplu de numberación posicional ye'l davezu usáu sistema decimal (base 10), precisándose diez díxitos distintes, que tendrán de tar constituyíos d'un símbolu (grafema), que'l so valor n'orde creciente ye: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pa los númberos escritos en sistemes de bases menores úsense namái los díxitos de menor valor; pa los escritos con bases mayores que 10 utilícense lletres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, ... ,,

Notación posicional
notación (es)

Historia

El primer sistema de numberación posicional ta documentáu a empiezos del II mileniu e. C., y foi utilizáu polos eruditos de Babilonia. Darréu, a finales del I mileniu e. C., emplegar los matemáticos chinos. Los sacerdotes astrónomos de la civilización maya utilizar ente los sieglos IV ya IX de la nuesa era: un sistema vixesimal con un díxitu de valor cero, anque con delles peculiaridaes que-y quitaron de posibilidá operatoria.

La Civilización india ye'l trubiecu de la notación posicional qu'usamos, anque fueron los árabes los qu'impulsaron la gran innovación, utilizando la notación numbérica indostánica: un sistema decimal con un díxitu de valor nulu: el cero. Leonardo de Pisa (Fibonacci), introdució n'Occidente'l sistema, nel sieglu XI.

Por cuestiones téuniques, n'informática optar por un sistema numbéricu en base dos, utilizándose namái dos díxitos: 0 y 1, pero emplegando la notación posicional, pol so gran simplicidá operativa.

Ver tamién: sistema sexaxesimal

Carauterístiques

Utilizando la notación posicional, el mesmu díxitu 5 toma distintu valor nos númberos 5, 50 y 500. Esto ye una consecuencia de la descomposición de númberos en múltiplos de factores bⁿ, onde b ye la base y n cualquier númberu enteru.

De forma más intuitiva, descomponer n'unidaes de distintos órdenes, de tala forma que b unidaes de cualesquier orde equivalen a una d'un orde darréu cimeru. L'orde que sirve de guía ye la unidá, puramente dicha (b⁰)

Por conveniu, los díxitos nesta notación escribir d'esquierda a derecha (inclusive n'idiomes que de normal escriben de derecha a esquierda), empezando polos órdenes cimeros y acabando na unidá como tal, marcando la falta d'unidaes con un 0 (cero). Asina, en sistema decimal:

$505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$

Si esisten órdenes menores que la unidá, escríbese una coma (, ') o un puntu en determinaos idiomes (.) pa dixebralos de les unidaes, y síguese escribiendo de mayor a menor, acabando coles unidaes de menor orde.

$542,1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}$

Los númberos negativos marcar con un signu menos delantre:

$-542,1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}$

Si ye necesariu especificar la base, escríbese como subíndice ente paréntesis (lóxicamente, en base decimal):

$10_{(5)}=5_{(10)}$

Los númberos periódicos (que tienen un grupu de cifres que se repite) tienen infinitos órdenes cada vez más pequeños que los sos múltiplos siguen un patrón. Esti grupu de cifres (llamáu periodu) puede escribise una vegada y marcar con un arcu na parte cimera, o indicando con puntos suspensivos que'l númberu sigue:

$5,0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum _{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}...$

de forma menos rigorosa:

$5,0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...$

Na práutica suelse usar esta última solución o direutamente arredondiar o atayar el númberu.

Tabla de conversión ente bases numbériques

Binariu	Base 3	Base 4	Base 5	Base 6	Base 7	Oct	Base 9	Dec	Base 11	Base 12	Base 13	Base 14	Base 15	Hex
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
11	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
100	11	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
101	12	11	10	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
110	20	12	11	10	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
111	21	13	12	11	10	7	7	7	7	7	7	7	7	7
1000	22	20	13	12	11	10	8	8	8	8	8	8	8	8
1001	100	21	14	13	12	11	10	9	9	9	9	9	9	9
1010	101	22	20	14	13	12	11	10	A	A	A	A	A	A
1011	102	23	21	15	14	13	12	11	10	B	B	B	B	B
1100	110	30	22	20	15	14	13	12	11	10	C	C	C	C
1101	111	31	23	21	16	15	14	13	12	11	10	D	D	D
1110	112	32	24	22	20	16	15	14	13	12	11	10	Y	Y
1111	120	33	30	23	21	17	16	15	14	13	12	11	10	F
10000	121	100	31	24	22	20	17	16	15	14	13	12	11	10

Algoritmos pa cambéu de base

Estos algoritmos basar na descomposición en factores de bⁿ enriba mentada. Por comodidá, tolos cálculos facer en base decimal, pero los cálculos funcionaríen igual en cualesquier otra base.

De base forana a base decimal

A cencielles multiplíquese cada díxitu pola potencia dependiente, y dempués evalúese la resultancia como nuna cuenta normal, en base decimal.

${\mbox{5B2,Y}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0,875]_{(10)}=1458,875_{(10)}$

(recuérdese que B₍₁₆₎ = 11₍₁₀₎; Y₍₁₆₎ = 14₍₁₀₎)

De base decimal a base forana

Estrémese'l númberu pola so base hasta que yá nun sía posible. Lleendo'l primer cociente y los restos n'orde inversu, puede lleese el númberu na base forana.

${\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}$

$5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}$

Pa decimales, son necesarios algoritmos más complexos.

Ventayes de la notación posicional

Por aciu la notación posicional decimal puede escribise cualquier valor numbéricu enteru con namái diez díxitos distintos (tantos como indica la base), por bien grande o pequeñu que sía, anque ye imprescindible un díxitu de valor nulu, el cero, pa poder operar fácilmente.

Referencies