Rellación d'equivalencia

En teoría de conxuntos y álxebra la noción de rellación d'equivalencia sobre un conxuntu, dexa establecer una rellación ente los elementos del conxuntu que comparten cierta carauterística o propiedá. Esto dexa reagrupar dichos elementos en clases d'equivalencia, esto ye, «paquetes» d'elementos similares. Esto fai posible la construcción de nuevos conxuntos «añadiendo» tolos elementos d'una mesma clase como un solu elementu que los representará y que define la noción de conxuntu cociente.

Definición

Sía $K$ un conxuntu dau non vacíu y ${\mathcal {R}}$ una rellación binaria definida sobre $K$ . Dizse que ${\mathcal {R}}$ ye una rellación d'equivalencia si cumple les siguientes propiedáes:

Reflexividá: Tou elementu de $K$ ta rellacionáu consigo mesmu. Esto ye,

\forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x

.

Simetría: Si un elementu de $K$ ta rellacionáu con otru, entós esi otru elementu tamién se rellaciona col primeru. Esto ye,

\forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x

.

Transitividá: Si un elementu de $K$ ta rellacionáu con otru, y esi otru de la mesma rellaciónase con un terceru, entós el primeru va tar rellacionáu tamién con esti postreru. Esto ye,

\forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z

.

Notación:

En aritmética modular la rellación d'equivalencia ente dos elementos

x

y

y

se denota

x\equiv y(modR)

que se llee «

x

ye equivalente a

y

módulu

R

».

Una rellación d'equivalencia

\sim

sobre un cuerpu

K

puede denotarse col par

(K,\sim )\,

.

Clase d'equivalencia o Rellación d'equivalencia

En lóxica de clases y analís matemáticu, la rellación d'equivalencia ${\mathcal {R}}$ define subconxuntos dixuntos en $K$ llamaos clases d'equivalencia:

Dau un elementu $a\in K$ , el conxuntu dau por tolos elementos rellacionaos con $a$ definen la clase:

[a]=\{b\in K\,|\,b{\mathcal {R}}a\}

llámase-y la clase d'equivalencia acomuñada al elementu $a$ .

Al elementu $a$ llámase-y representante de la clase.

Llámase orde al númberu de clases que xenera una rellación d'equivalencia; si ésti ye finito, dizse que la rellación ye d'orde finito.

El conceutu de clase d'equivalencia tien importancia en ciencia, dau un conxuntu d'oxetos o entidaes astractes (potencialmente infinites), pueden establecese rellaciones d'equivalencia sobre la base de dalgún criteriu, les clases resultantes son los "tipos" nos que puede clasificase tola gama d'oxetos.

Conxuntu cociente

Al conxuntu de toles clases d'equivalencia denominar conxuntu cociente y se denota como:

K/{\mathcal {R}}

o

K/\sim

Partición

Una rellación d'equivalencia sobre un conxuntu induz una partición del mesmu, esto ye, un conxuntu nel que se definió una rellación d'equivalencia puede ser estremáu en dellos subconxuntos d'elementos equivalentes ente sigo y tales que la xunta d'esos subconxuntos coincide col conxuntu enteru. El siguiente teorema espresa en términos más formales esa mesma idea:

Proposición: Una rellación d'equivalencia nel conxuntu non vacíu K determina una partición d'este, y toa partición de K determina una rellación d'equivalencia n'este.

Demostración
Dada una rellación d'equivalencia ${\mathcal {R}}$ en K: Pa ver que la intersección ye vacida, supongamos que nun lo ye, esto ye, daos [a] y [b] dos clases distintes y $c\in [a]\cap [b]$ entós tiense: Por simetría $c{\mathcal {R}}b\Rightarrow b{\mathcal {R}}c.$ Por transitividá $b{\mathcal {R}}c$ y $c{\mathcal {R}}a\Rightarrow b{\mathcal {R}}a.$ Por tanto [a]=[b] que ye una contradicción, por tanto, dos clases distintes nun tienen elementos de mancomún, según tou elementu de K pertenez a una clase, queda bien definida una partición. Dada una partición de K, $\{A_{i}\}_{i\in I}$ , podemos definir la siguiente clase d'equivalencia: Daos dos elementos a y b de K tán rellacionaos si pertenecen al mesmu conxuntu $A_{i}.$

La partición tien como elementos les clases d'equivalencia. Estes son dixuntes dos a dos y la xunión d'elles ye igual al conxuntu K.

pa cualesquier dos $a_{i},a_{j}$ non rellacionaos tenemos: $[a_{i}]\cap [a_{j}]=\emptyset$ ;
la unión de toos integra al total: $\bigcup _{s}[a_{s}]=K$

Exemplos

Sía N= {0,1,2, 3...}. Defínese una rellación d'equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y namái si a+d = b +c. Esta ye una rellación d'equivalencia en NxN y cada clase d'equivalencia ye un númberu enteru. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) llámase representante canónicu y se denota, simplificadamente, 2.

La igualdá matemática.

La rellación de congruencia módulu M nel conxuntu de los númberos enteros (i. y. $M\in \mathbb {Z}$ ), onde se define: $a\sim b$ si y namái si $a-b\,$ ye múltiplu de M.

Esta rellación ye d'equivalencia porque:

Ye reflexiva: a - a = 0, que ye múltiplu de M.
Ye simétrica: si a - b ye múltiplu de M, entós b - a = -(a - b) tamién ye múltiplu de M.
Ye transitiva: sían k y l númberos enteros tales qu'a - b = M k y b - c = M l. Entós, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplu de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los númberos enteros en pares ya impares.

Sía H un subgrupu d'un grupu G. Definiendo pa elementos del grupu $a\sim b$ si y namái si $ab^{-1}\in H$ , vamos tener la rellación d'equivalencia llamada congruencia módulo H .

Definiendo, pa elementos del grupu, $a\sim b$ si y namái si esiste g en G talque $gag^{-1}=b$ , llámase rellación de conxugación. Les sos clases: clases de conxugación. Les clases d'equivalencia reciben el nome d'órbita o clase de conxugación.

Ver tamién

Referencies

Weisstein, Eric W. «Rellación d'equivalencia» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

James R.Munkres,Topoloxía, (2002),Prentice Hall.