Teoría de cuerpos de clases

En matemátiques, la teoría de cuerpos de clases ye una caña esencial de la teoría de númberos alxebraicos que tien por oxetu la clasificación de les estensiones abelianas, o yá sía, les galoisianas y grupos de Galois comutativos, d'un cuerpu dau. Más precisamente, trata la manera de describir y construyir estes estensiones en términos de propiedaes aritmétiques del propiu cuerpu básicu.

Descripción xeneral

Tradicionalmente entendía l'estudiu de les estensiones abelianas, esto ye, de les estensiones de Galois que'l so grupu de Galois ye abeliano, pa esti casu la teoría desenvolver mientres 1850-1930. Nel casu de les estensiones non abelianas, les primeres resultancies importantes empezaron a llograse hai 25 años y formen parte del programa de Langlands.

Gran parte de la investigación nel casu abeliano centrar nel famosu Jugendtraum de Kronecker, esto ye, el deséu d'atopar funciones capaces de xenerar la estensión abeliana maximal pa cada cuerpu numbéricu. (Si'l campu ye Q, les funciones xeneradores son les funciones ciclotómicas exp(iσ).)

Sía K un cuerpu numbéricu. El grupu de Galois de la estensión abeliana maximal ye un grupu topolóxicu compactu abeliano de grau infinitu sobre K. Kronecker demostró que, cuando K ye'l cuerpu de los númberos racionales, esti grupu ye un productu infinitu del grupu aditivu de los enteros p-ádicos tomáu sobremanera númberu primu p, y de un productu infinitu de grupos cíclicos finitos. La xeneralización d'esti teorema foi resultáu d'un gran proyeutu históricu qu'incluyó a les formes cuadráticas y la so teoría de xéneru, les lleis de reciprocidá, la teoría d'ideales, estensiones ciclotómicas y de Kummer.

Empecipiando cola tesis de Tate nos años cincuenta, tolos resultaos fueron reescritos en téminos de la cohomología de grupos. Dempués hubo un periodu de quiescencia que foi sópito atayáu nos sesentas poles conxetures de Langlands.

Referencies

• Georges Gras, Class Field Theory: From Theory to Practice
• Jürgen Neukirch, Algebraic number theory

Enllaces esternos

• Teoría de cuerpos de clases. Carlos Ivorra Castillo - Universidá de Valencia.
• Teoría de cuerpos de clases. Tesis de Llicenciatura de Lucio Guerberoff.

• Datos: Q1744580