Teorema de Cantor

El teorema de Cantor ye un resultáu formalizable na teoría de conxuntos de Zermelo-Fränkel, qu'afirma lo siguiente:

El conxuntu potencia de cualquier conxuntu A tien una cardinalidad puramente mayor que la cardinalidad del propiu A.

Discutiniu

El teorema de Cantor ye obviu pa conxuntos finitos: si un conxuntu finito tien n elementos entós el conxuntu de partes d'esi conxuntu tien 2ⁿ elementos. El fechu de que sía válidu pa tou conxuntu infinitu nun ye del tou intuitivu, pero dexa establecer delles resultancies interesantes:

• Esiste una infinidá de cardinales transfinitos, lo cual significa qu'en realidá esisten munchos tipos d'infinitu (de fechu una infinidá) cada unu mayor que l'anterior. Esta resultancia a priori ye bien pocu intuitivu, pero tremendamente importante na fundamentación de les matemátiques.
• Nun esiste nenguna manera de numberar tolos subconxuntos de $\mathbb {N}$.

Pa ilustrar la validez d'esti teorema pa conxuntos infinitos reproduzse de siguío una demostración.

Demostración

Consideremos una función cualesquier $f:A\to {\mathcal {P}}(A)$, entós demostrar el teorema de Cantor rique probar que f nun ye sobreyectiva (refecha). Y pa probar que f nun ye sobreyectiva basta atopar un subconxuntu de A que nun sía la imaxe de nengún elementu de A al traviés de f. Cantor consideró un subconxuntu particular B definíu como:

$B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\}.$

Y probó qu'esi subconxuntu nun puede ser la imaxe de nengún elementu de A. L'argumentu que construyó Cantor ye por amenorgamientu al absurdu presuponiendo qu'esiste $a\in A:B=f(a)$, yá que B ye un subconxuntu de A. Agora podemos estremar dos casos:

1. Si $a\in B$, entós pola definición de B tiense que $a\notin B$, lo cual ye contradictoriu.
2. Si $a\notin B$, entós pola definición de B tiense que $a\in B$, lo cual ye contradictoriu.

En dambos casos llegamos a una contradicción, por tantu nun esiste felicidá a y entós f (que ye una función cualesquier) nun ye sobreyectiva, como queríamos demostrar.

Referencies

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

• Datos: Q474881
• Multimedia: Cantor's theorem