Cálculu multivariable

El cálculu multivariable (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables.

Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales

Funciones de Rⁿ en R^m. Campos angulares y vectoriales

Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía : $\mathbf {f} :V\longrightarrow W$ un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu P definíu biunívocamente pol so vector posición un vector $\mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}$ onde'l puntu O ye'l nuesu orixe de coordenaes.

V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},

con

n>1

y

m\geqslant 1

. Cuando

m=1

tenemos un campu angular. Pa

m>1

tenemos un campu vectorial. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.

Llendes y continuidá

Sean $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ y $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.$ Escribimos:

\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b}

, :

o bien, :

\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b}

cuando

\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a}

pa espresar lo siguiente:

\lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0

onde ${\big \|}\mathbf {x} {\big \|}$ ye la norma euclídea de $\mathbf {x}$ . Espresándolo en función de les componentes de $\mathbf {x} ={\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},$

\lim _{{\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b}

o, de forma equivalente, : $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b}$

Dicimos qu'una función $\mathbf {f}$ ye continua en $\mathbf {a} \Leftrightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {a} {\big )}$

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {c} \Rightarrow$

a) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big [}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c}$

b) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lambda \mathbf {b} \quad \forall \lambda \in \mathbb {R}$

c) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}$

(productu angular de $\mathbf {b}$ con $\mathbf {c}$ ).

d) $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}$

Demostración
Sabemos qu'a) y b) nel teorema verifíquense si $f$ y $g$ son funciones angulares. Por tanto, si : $\mathbf {b} ={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )},\mathbf {c} ={\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}$ tenemos ${\begin{array}{rl}a)&\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} )={\big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\big ]},\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} )={\Big [}g_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{1}(\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\big (}b_{1}+c_{1},\ldots ,b_{m}+c_{m}{\big )}={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}+{\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} \end{array}}$ ${\begin{array}{rl}b)&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda {\Big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}={\Big [}\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&\lambda {\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lambda {\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}=\lambda \mathbf {b} \end{array}}$ $c)\quad {\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ={\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}\cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {b} \cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {c} \cdot {\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}$ Aplicando la desigualdá triangular y la desigualdá de Cauchy-Schwarz tenemos ${\begin{array}{l}{\Big \|}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big \|}\leqslant {\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \\|}\cdot {\Big \\|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \\|}+{\big \\|}\mathbf {b} {\big \\|}\cdot {\Big \\|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \\|}+{\big \\|}\mathbf {c} {\big \\|}\cdot {\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \\|}\Rightarrow \\0\leqslant \lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \|}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big \|}\leqslant \lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \\|}\cdot \lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \\|}+\\{\big \\|}\mathbf {b} {\big \\|}\cdot \lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \\|}+{\big \\|}\mathbf {c} {\big \\|}\lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \\|}=0\cdot 0+{\big \\|}\mathbf {b} {\big \\|}\cdot 0+{\big \\|}\mathbf {c} {\big \\|}\cdot 0=\\0\end{array}}$ , como queríamos demostrar. $d)\quad \mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )},\mathbf {c} =\mathbf {b} \Rightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \\|}^{2}={\big \\|}\mathbf {b} {\big \\|}^{2}$ , como queríamos demostrar.

Sean $\mathbf {f}$ y $\mathbf {g}$ dos funciones tales que la función compuesta $\mathbf {f} \circ \mathbf {g}$ ta definida en $\mathbf {a}$ , siendo : ${\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}$

$\mathbf {g}$ ye continua en $\mathbf {a}$ y $\mathbf {f}$ ye continua en $\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}\Rightarrow {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}$ ye continua en $\mathbf {a}$ .

Demostración
Sean $\mathbf {y} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}$ y $\mathbf {b} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}$ . Entós, : ${\begin{array}{l}\lim _{{\big \\|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}-\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}{\Big \\|}=\lim _{{\big \\|}\mathbf {y} -\mathbf {b} {\big \\|}\to 0}{\Big \\|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {b} {\big )}{\Big \\|}=0\Rightarrow \\\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}\end{array}}$ como queríamos demostrar.

Derivaes direccionales

Derivada d'un campu angular al respective de un vector

Sía $f:S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ . Sía $\mathbf {x}$ un vector que'l so orixe ye l'orixe de coordenaes y que'l so estremu $\in S,$ y $\mathbf {y}$ un vector arbitrariu de $\mathbb {R} ^{n}$ . Definimos la derivada de f en $\mathbf {x}$ al respective de $\mathbf {y}$ como : $f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}$

Derivaes parciales

${\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k}+h,\ldots ,x_{n}{\big )}-f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}{\big )}}{h}}$

Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable,

x_{j}

, vamos tener

{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}

. Na práutica, vamos calcular

{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}

derivando al respective de

x_{k}

y suponiendo

x_{j},\quad \forall j\neq k

constante.

La diferencial

Definición de campu angular diferenciable

Dicimos que f ye diferenciable en $\mathbf {a} \Leftrightarrow$

$\exists f_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}=f{\big (}\mathbf {a} {\big )}+f_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}$ .

$f_{L}$ hai de ser una aplicación llinial, que definimos como la diferencial de f en a.

L'anterior ecuación ye la fórmula de Taylor de primer orde pa

f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}

.

Teorema d'unicidá de la diferencial

$f$ ye diferenciable en $\mathbf {x}$ con diferencial $f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow$

a) $\exists f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$

b) $f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}$

Demostración
${\begin{array}{rl}a)&\mathbf {v} =h\mathbf {y} ,\quad h\in \mathbb {R} ,\\&\lim _{{\big \\|}\mathbf {v} {\big \\|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\lim _{{\big \\|}\mathbf {v} {\big \\|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}=f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+f_{L}{\big (}h\mathbf {y} {\big )}=\\&f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+hf_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow \\&\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}=f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\end{array}}$ como queríamos demostrar. $b)$ Espresando $y$ en función de los sos componentes na base : ${\begin{array}{l}{\big \{}\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{n}{\big \}},f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mathbf {y} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f_{L}{\big (}\mathbf {y} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} _{k}{\big )}=\\\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\end{array}}$ como queríamos demostrar.

Regla de la cadena

Sía $f:S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ un campu angular y $\mathbf {x} :J\in \mathbb {R} \longrightarrow S$ . Definimos la función compuesta $g=f\circ \mathbf {x}$ como $g(t)=f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}$ , entós $\quad g'{\big (}t{\big )}=\sum _{k=1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\cdot {\cfrac {dx_{k}}{dt}}$

Diferencial d'un campu vectorial

Sía $\mathbf {f} :S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ un campu vectorial. Sía $\mathbf {x} \in S$ y $\mathbf {y}$ un vector cualesquier. Definimos la derivada : $\mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}$

Espresando $\mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}$ en función de los sos componentes, tenemos $\mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}$

Dicimos que $\mathbf {f}$ ye diferenciable $\Leftrightarrow \exists \mathbf {f} _{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ , aplicación llinial que verifica:

$\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}$ .

Esta ye la fórmula de Taylor de primer orde pa

\mathbf {f} .\quad \mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}

.

La matriz de $\mathbf {f} '$ ye'l so matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidá

Si un campu vectorial $\mathbf {f}$ ye diferenciable en $\mathbf {x} \Rightarrow$ ye continuu en $\mathbf {x}$ .

Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.

Regla de la cadena pa diferenciales de campos vectoriales

Sía $\mathbf {h} {\big (}\mathbf {x} {\big )}={\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}$ un campu vectorial definíu y diferenciable en $\mathbf {x}$ . El so diferencial $\mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}$ resulta ser

$\mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}$

Condición abonda pa la igualdá de les derivaes parciales mistes

${\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow$ dambes derivaes parciales esisten y son continues en $\mathbf {x}$ .

Aplicaciones del cálculu diferencial

Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares

Un campu angular tien un máximu en $\mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow$ esiste una n-bola $B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}$

Un campu angular tien un mínimu en $\mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow$ esiste una n-bola $B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}$

Un campu angular tien un puntu de ensilladura $\Leftrightarrow$

$\forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}$ .

Función con un puntu de ensilladura

Pa saber si ye unu de los casos anteriores:

Llogramos $\mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n$
Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta $\mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}$ .
1. $\mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}$ ye definida positiva $\Rightarrow f$ tien un mínimu local (mínimu relativu) en $\mathbf {x}$ .
2. $\mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}$ ye definida negativa $\Rightarrow f$ tien un máximu local (máximu relativu) en $\mathbf {x}$ .
3. $\mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}$ ye indefinida $\Rightarrow f$ tien un puntu de ensilladura en $\mathbf {x}$ .

No enantes espuesto, supunximos que ${\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ ye continua $\forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n$

Ver tamién

Referencies

Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X