Función compuesta

En álxebra astracta, una función compuesta ye una función formada pola composición o aplicación socesiva d'otros dos funciones. Pa ello, aplícase sobre l'argumentu la función más próxima al mesmu, y al resultáu del cálculu anterior aplícase-y finalmente la función restante.

g ∘ f, ye l'aplicación resultante de l'aplicación socesiva de f y de g. Nel exemplu, (g ∘ f)(a)=@.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z espresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] pa tou x perteneciente a X.

A g ∘ f llámase-y composición de f y g, o f compuesta con g. Nótese que se noma nun siguiendo l'orde d'escritura, sinón l'orde en que s'apliquen les funciones al so argumentu.

Definición

De manera formal, daes dos funciones:

${\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}$

y : ${\begin{array}{rccl}g:&Y&\longrightarrow &Z\\&y&\longmapsto &z=g(y)\end{array}}$

onde la imaxe de f ta contenida nel dominio de g, defínese la función composición de f y g. (nótese que les funciones nomar nel orde d'aplicación a la variable, non nel orde socesivu de representación):

${\begin{array}{rccl}(g\circ f):&X&\longrightarrow &Z\\&x&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}$

A tolos elementos de X acomúñase-y un elementu de Z según: $z=g(f(x))$.

${\begin{array}{rclcl}X&\longrightarrow &Y&\longrightarrow &Z\\x&\longmapsto &y=f(x)&\longmapsto &z=g(f(x))\end{array}}$

Tamién puede representase de manera gráfica usando la categoría de conxuntos, por aciu un diagrama conmutativu:

Propiedaes

• La composición de funciones ye asociativa, esto ye:

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

• La composición de funciones polo xeneral nun ye conmutativa, esto ye:

$(g\circ f)\neq (f\circ g)$

Por casu, daes les funciones numbériques f(x)=x+1 y g(x)=x², entós f(g(x))=x²+1, en cuantes que g(f(x))=(x+1)².

• L'elementu neutru asociáu a la composición de funciones ye f(x)=x.

• Colos trés propiedaes anteriores: asociativa, non conmutativa y elementu neutru, les funciones reales de variable real constitúin un monoide pa la operación interna de composición de funciones.

• Amás, la inversa de la composición de dos funciones ye:

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Exemplu

Sían les funciones:

$f(x)=x^{2}\,$

$g(x)=\sin(x)\,$

La función compuesta de g y de f qu'espresamos:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g((x^{2}))=\sin(x^{2})\,$

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos qu'aplicar g a x, colo que llograríamos un valor de camín

$z=g(x)=\sin(x)\,$

y dempués aplicamos f a z pa llograr

$y=f(z)=z^{2}=\sin ^{2}(x)\,$

Función bien definida

La función compuesta ta bien definida porque cumple colos dos condiciones d'esistencia y unicidá, mesmes de toa función:

1. Condición d'esistencia: dau x, conocemos (x, f(x)), yá que conocemos la función f, y dau cualquier elementu y de B conocemos tamién (y, g(y)), yá que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) ta definíu pa tou x, y asina (g ∘ f) cumple la condición d'esistencia.
2. Condición d'unicidá: como f y g son funciones bien definíes, pa cada x el valor de f(x) ye únicu, y pa cada f(x) tamién lo ye'l de g( f(x)).

Enllaces esternos

• Weisstein, Eric W. «Composition» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.