Olimpiada Matemática Internacional de 1998

La Olimpiada Matemática Internacional de 1998 foi la trentena novena olimpiada celebrada en Taipéi, Taiwán, del 10 de xunetu al 21 de xunetu de 1998. Claude Deschamps foi'l presidente del Conseyu de la Olimpiada Matemática Internacional mientres la IMO.

Datos

Participaron 76 países, un total de 419 participantes, 30 fueron chiques. Hubo 37 medayes d'oru, 66 de plata y 102 de bronce, y 56 menciones honorífiques (pol llogru de la puntación máxima nun problema).

Problemes

1. Nel cuadriláteru convexu ABCD, les diagonales AC y BD ye perpendicular y los llaos opuestos AB y DC no ye paralelu. Supón que'l puntu P, onde'l perpendicular bisectors de AB y DC cumple, ye dientro de ABCD. Prueba que ABCD ye un cyclic cuadriláteru si y namás si los triángulos ABP y CDP tien árees iguales.

2. Nuna competición, hai un contestants y b xueces, onde b ≥ 3ye un enteru estrañu. Cada xuez valora cada contestant como cualquier "pase” o “fallar”. Supón k ye un númberu tal aquello, para cualesquier dos xueces, los sos índices coinciden para a lo más k contestants. Prueba que k/un ≥ (b − 1)/(2b).

3. Para cualesquier enteru positivu n, dexáu d(n) denota el númberu de positivu divisors de n (incluyendo 1 y n él). Determinar tolos enteros  positivos k tal que d(n²)/d(n) = k para dalgún n.

4. Determinar tolos pares (a, b) d'enteros positivos tal aquel ab² + b + 7 estrema a2b + a + b.

5. Dexáu Iser el incenter de triángulu ABC. Dexáu'l incircle de ABC tactu los llaos BC, CA, y AB en K, L, y M, respectivamente. La llinia al traviés de B paralelu a MK cumple les llinies LM y LK en R y S, respectivamente. Prueba qu'ángulu RIS ye agudu.

6. Considerar toles  funciones f del conxuntu N de tolos enteros positivos a él satisfaciendo f(t²f(s)) = s(f(t))² para tou s y t en N. Determinar el valor menos posible de f(1998).

Enllaces esternos

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• Datos: Q1490623