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Diferencies ente revisiones de «Llei de los grandes númberos»

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Llinia 47:
Pa demostrar el teorema vamos faer usu del siguiente lema:
 
'''''Desigualdá Maximal.''''' Sean <math>Z_1,...,Z_N\,</math> variables aleatories independientes y sían <math>\epsilon_1,\,\,\epsilon _2</math> y <math>\beta\,\!</math> constantes positives que cumplen <math>\mathbb{P}\{|Z_i+Z_{i+1}+...+Z_N|\-yle\epsilon_2\}\gue1ge1/\beta</math> pa cada i. Depués
:<math>\mathbb{P}\{ max_{i\-yle N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} \-yle\beta\mathbb{P}\{|Z_1+...+Z_N|>\epsilon_1\}</math>
 
''Demostración del lema: '' Sean <math>S_i:=Z_1+...+Z_i\,</math> y <math>T_i:=S_N-S_i\,</math>. Definamos coles mesmes la variable aleatoria
Llinia 56:
\begin{matrix}
\text{primer i pal cual } |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 \\
N \,\, \text{si } |S_i|\-yle\epsilon_1+\epsilon_2 \,\,\text{pa tou }i
\end{matrix} \right .
</math>
Llinia 63:
:<math>
\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}\{ max_{i\-yle N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} & = & \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 \text{ pa algun i}\} \\
& = & \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\}\quad\text{pos son eventos dixuntos} \\
& \-yle & \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\}\beta\mathbb{P}\{|T_i|\-yle\epsilon_2\} \quad \text{hipotesis del lema} \\
& = & \beta \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 , |T_i|\-yle\epsilon_2\}\quad\text{por independencia ente los } S_i\text{ y los } T_i
\end{array}
</math>
 
Agora bien, si <math> |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\,</math> y <math>|T_i|\-yle\epsilon_2</math> entós implica que <math>|S_i|>\epsilon_1\,</math>
per ende:
:<math>\mathbb{P}\{ max_{i\-yle N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} \-yle \beta \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1\} = \beta \mathbb{P}\{|Z_1+...+Z_N|>\epsilon_1\}</math>
colo que se conclúi'l lema. ''(Fin demostración del lema)''
 
Llinia 80:
S_i & := & X_1+...+X_i\\
\sigma_i^2 & := & \mathbb{P}X_i^2\,;\quad V_i := \sigma_1^2+...+\sigma_i^2=\mathbb{P}S_i^2\\
B_k&:=&{n: n_k<n\-yle n_{k+1}} \quad\text{onde }n_k:=2^k,\,\, k=1,2,3,...
\end{array}
</math>
Tenemos entós que la serie <math>\sum_k V(n_k)/n_k^2</math> ye converxente pos:
:<math>\sum_{k=1}^\infty V(n_k)/n_k^2=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2\chi_{\{j\-yle 2^k\}}4^{-k}=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2\sum_{k=1}^\infty\chi_{\{j\-yle 2^k\}}4^{-k}=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^24^{-([\log_2j]+1)}\frac{4}{3}\-yle\frac{4}{3}\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2/j^2<\infty</math>
 
La converxencia c.t.p. qu'asegura'l teorema ye equivalente a:
Llinia 94:
 
Cada probabilidá na suma anterior pue ser acutada por:
:<math>\mathbb{P}\left\{ \max_{n\-yle n_{k+1}}|S_n|>\epsilon n_k \right\}</math>
 
Agora aplícase la desigualdá maximal:
:<math>\mathbb{P}\left\{ \max_{n\-yle n_{k+1}}|S_n|>\epsilon n_k \right\} \-yle \beta_k \mathbb{P} \{ |S_{n_{k+1}}|>\frac{\epsilon}{2}\, n_k\}\-yle \beta_k 4V(n_{k+1})/(\epsilon n_k)^2</math>
 
La última desigualdá de la llinia anterior xustificar pola [[desigualdá de Chebyshev]]. Una nueva aplicación d'esta mesma desigualdá déxanos acutar los <math>\beta_k\,</math>:
:<math>
\begin{array}{rcl}
\beta_k^{-1}&=&\min_{n\-yle n_{k+1}}\mathbb{P}\{|S_{n_{k+1}}-S_n|\-yle\frac{\epsilon}{2} n_k\}\\
& \guege & 1- \max_{n\-yle n_{k+1}}\frac{4\mathbb{P}(S_{n_{k+1}}-S_n)^2}{\epsilon^2 n_k^2}\\
&\guege& 1-\frac{16\,V(n_{n_k+1})}{\epsilon^2 n_k^2}\rightarrow 1 \qquad \text{cuando }k\rightarrow \infty
\end{array}
</math>
Llinia 118:
<div class="NavHead">'''Demostración de la llei fuerte de los grandes númberos (Kolmogorov)'''</div><div class="NavContent"><div style="text-align: left;">Sía <math>{X_i}\,</math> una sucesión de variables aleatories independientes, integrables y hermano distribuyíes con <math>\mathbb{P}X_n=0\,</math> (esperanza 0), entós, el promediu <math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow 0</math> casi de xuru cuando <math>n\rightarrow\infty\,</math>.
 
Definamos <math>Y_i=X_i \chi_{\{|X_i|\-yle i\}}\,</math> y <math>\mu_i=\mathbb{P}Y_i\,</math>. Tenemos que <math>0=\mathbb{P}X_i=\mu_i+\mathbb{P}X_i\chi_{\{|X_i|>i\}}</math>. Amás, usando la hipótesis de distribuciones idéntiques, podemos polo xeneral reemplazar (non siempres) una distribución <math>X_i\,</math> xenérica por un representante, digamos <math>X_1\,</math>. Tenemos entós:
 
{{Ecuación|<math>\left| \frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} \mu_i\right| \-yle \mathbb{P}\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n}|X_1|\chi_{\{|X_1|>i\}}\-yle \mathbb{P}\left \{|X_1|\min\left( 1,\frac{|X_1|}{n} \right) \right \}\rightarrow 0
</math>|1}}
 
Llinia 130:
\sum_{i=1}^\infty\mathbb{P}\{X_i\ne Y_i\} & = & \sum_{i=1}^\infty\mathbb{P}\{|X_i|>i\} \\
& = & \sum_{i=1}^\infty\mathbb{P}\{|X_1|>i\} \\
& = & \sum_{i=1}^\infty i\, \mathbb{P}{\{|X_1|>i, |X_1| \-yle i+1\}} \\
&\-yle & \mathbb{P}|X_1|<\infty
\end{array}
</math>|2}}
 
La tercer igualdá vien de que pa cualesquier variable aleatoria cumplir que:
:<math>\sum_{i\guege 1}\chi_{\{X>i\}}=\sum_{i\guege 1}i\,\chi_{\{X>i,x\-yle i+1\}}</math>
 
La {{Eqnref|2}} implica, por Borel-Canteli, que'l conxuntu <math>\{X_i\ne Y_i\,, \text{pa infinitos i}\}</math> tien probabilidad cero. Poro, nun conxuntu de probabilidá 1 cumplir:
{{Ecuación|<math>\left| \frac{1}{n}\sum_{i\-yle n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} Y_i \right|\rightarrow 0 </math>|3}}
De la desigualdá <math>\mathbb{P}(Y_i-\mu_i)^2\-yle\mathbb{P}Y_i^2=\mathbb{P}(X_1^2\chi_{\{|X_1|\-yle i\}})\,</math> podemos deducir que:
:<math>\sum_{i=1}^\infty \frac{\mathbb{P}(Y_i-\mu_i)^2}{i^2}\-yle \sum_{i=1}^\infty \frac{\mathbb{P}(X_1^2\chi_{\{|X_1|\-yle i\}})}{i^2}= \mathbb{P}\left \{\sum_{i=1}^\infty \frac{X_1^2\chi_{\{|X_1|\-yle i\}}}{i^2}\right\}\-yle C \mathbb{P}|X_1|<\infty</math>
 
Pol teorema enantes demostráu tenemos:
{{Ecuación|<math>\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n}(Y_i-\mu_i)\rightarrow 0 </math>|4}}
casi de xuru. Como amás tenemos que:
:<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} X_i\right|\-yle \left|\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} (X_i-Y_i)\right| + \left|\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} (Y_i-\mu_i)\right| +\left|\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} \mu_i\right| </math>
 
Entós, de les ecuaciones {{Eqnref|1}}, {{Eqnref|3}} y {{Eqnref|4}} deduzse que <math>\left|\frac{1}{n}\sum_{i\-yle n} X_i\right|\rightarrow 0\,</math> en casi en tolos puntos, concluyendo'l teorema.
 
''(Fin de la demostración)<math>\blacksquare</math>''
Sacáu de «https://ast.wikipedia.org/wiki/Llei_de_los_grandes_númberos»