Esperanza matemática

Esperanza matemática
	Media aritmética

En estadística la esperanza matemática (tamién llamada esperanza, valor esperáu, media poblacional o media) d'una variable aleatoria $X$ , ye'l númberu $\mathbb {Y} [X]$ o ${\text{Y}}[X]$ que formaliza la idea de valor mediu d'un fenómenu aleatoriu.

Cuando la variable aleatoria ye discreta, la esperanza ye igual a la suma de la probabilidá de cada posible sucesu aleatoriu multiplicáu pol valor de dichu sucesu. Poro, representa la cantidá media que se "espera" como resultáu d'un esperimentu aleatoriu cuando la probabilidá de cada sucesu caltiénse constante y l'esperimentu repite un eleváu númberu de vegaes. Cabo dicir que'l valor que toma la esperanza matemática en dellos casos puede nun ser "esperáu" nel sentíu más xeneral de la pallabra (el valor de la esperanza puede ser improbable o inclusive imposible).

Por casu, el valor esperáu cuando tiramos un dadu equilibráu de 6 cares ye 3,5. Podemos faer el cálculu

${\begin{aligned}\mathbb {Y} (X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3,5\end{aligned}}$

y cabo destacar que 3,5 nun ye un valor posible al tirar el dadu. Nesti casu, nel que tolos sucesos son d'igual probabilidá, la esperanza ye igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática ye nos apuestes o los xuegos d'azar. Por casu, la ruleta francesa tien 37 caxellos equiprobables. La ganancia p'atinar un apueste a un solu númberu paga de 35 a 1 (esto ye, cobramos 35 vegaes lo qu'apostemos y recuperamos l'apueste, asina que recibimos 36 vegaes lo qu'apostemos). Poro, considerando los 37 posibles resultaos, la esperanza matemática del beneficiu p'apostar a un solu númberu ye:

$\left(-1\cdot {\frac {36}{37}}\right)+\left(35\cdot {\frac {1}{37}}\right)$

que ye esautamente -0,027027. Polo tanto unu esperaría, en media, perder unos 2,7 céntimos per cada euru qu'apuesta, y el valor esperáu p'apostar 1 euru son 0.97273 euros. Nel mundu de los apuestes, un xuegu onde'l beneficiu esperáu ye cero (nun ganamos nin perdemos) llámase un "xuegu xustu".

Nota: El primer términu ye la "esperanza" de perder l'apueste de 1€, por eso'l valor ye negativu. El segundu términu ye la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficiu ye'l valor esperáu a ganar menos el valor esperáu a perder.

Definición

Pa una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\,\!$ y les sos probabilidaes representaes pola función de probabilidá $p(x_{i})$ la esperanza calcúlase como exemplu:

$\mathbb {Y} [X]=x_{1}p(X=x_{1})+...+x_{n}p(X=x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})\,\!$

Pa una variable aleatoria absolutamente continua, la esperanza calcular por aciu la integral de tolos valores y la función de densidá $f(x)\,\!$ :

$\mathbb {Y} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,\!$

La definición xeneral d'esperanza básase, como tola teoría de la probabilidá, nel marcu de la teoría de la midida y defínese como la siguiente integral:

$\mathbb {Y} [X]=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P\,\!$

La esperanza tamién se suel simbolizar con $\mu =\mathbb {Y} [X]\,\!$

Les esperances $\mathbb {Y} [X^{k}]\,\!$ pa $k=0,1,2...\,\!$ llámense momentos d'orde $k\,\!$ . Más importantes son los momentos centraos $\mathbb {Y} [(X-\mathbb {Y} [X])^{k}]\,\!$ .

Non toles variables aleatories tienen un valor esperáu. Por casu, la distribución de Cauchy nun lo tien.

Propiedaes

Si X ye siempres positiva, entós siempres lo ye Y(X).
La esperanza matemática d'una constante ye igual a esa mesma constante, esto ye, si c ye una constante, entós $\mathbb {Y} [c]=c$ .
Si X ta delimitada por dos númberos reales, a y b, tal que: a < X < b, entós tamién lo ta la so media: $a<\mathbb {Y} (X)<b$
Linealidad. Si esiste $\mathbb {Y} (X)$ y considérase $Y=a+bX$ , entós $\mathbb {Y} (Y)=\mathbb {Y} (a+bX)=a+b\mathbb {Y} (X)$

Linealidad

La esperanza ye un operador llinial, yá que:

(*)

$\mathbb {Y} [X+c]=\mathbb {Y} [X]+c\,\!$

$\mathbb {Y} [X+Y]=\mathbb {Y} [X]+\mathbb {Y} [Y]\,\!$

$\mathbb {Y} [aX]=a\mathbb {Y} [X]\,\!$

$\mathbb {Y} [XY]=\mathbb {Y} [X]\mathbb {Y} [Y]\,\!$ , si X y Y son independientes