Teoría de la probabilidá

Teoría de la probabilidá
	área de les matemátiques y teoría matemática (es)
	matemátiques

La teoría de la probabilidá ye una caña de les matemátiques qu'estudia los fenómenos aleatorios y estocásticos. Los fenómenos aleatorios se contraponen a los fenómeno deterministes, que son resultancies úniques y/o previsibles d'esperimentos realizaos so les mesmes condiciones determinaes, por casu, si calez agua a 100 °C a nivel del mar va llograse vapor. Los fenómenos aleatorios, otra manera, son aquellos que se llogren d'esperimentos realizaos, otra vegada, so les mesmes condiciones determinaes pero como resultancia posible tienen un conxuntu d'alternatives, por casu, el llanzamientu d'un dadu o d'una moneda.

La teoría de probabilidaes ocupar d'asignar un ciertu númberu a cada posible resultáu que pueda asoceder nun esperimentu aleatoriu, col fin de cuantificar dichos resultancies y saber si un sucesu ye más probable qu'otru.

Munchos fenómenos naturales son aleatorios, pero esisten dalgunos como'l llanzamientu d'un dadu, onde'l fenómenu nun se repite nes mesmes condiciones, por cuenta de que les carauterístiques del material fai que nun esista una simetría del mesmu, asina les repeticiones nun garanticen una probabilidá definida. Nos procesos reales que se modelizan por aciu distribuciones de probabilidá correspuenden a modelos complexos onde nun se conocen a priori tolos parámetros qu'intervienen; ésta ye una de les razones poles cualos la estadística, que busca determinar estos parámetros, nun s'amenorga darréu a la teoría de la probabilidá en sí.

En 1933, el matemáticu soviéticu Andréi Kolmogórov propunxo un sistema d'axomes pa la teoría de la probabilidá, basáu na teoría de conxuntos y na teoría de la midida, desenvuelta pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet ente otros.

Esti aproximamientu axomáticu que xeneraliza'l marcu clásicu de la probabilidá, que obedez a la regla de cálculu de casos favorables sobre casos posibles, dexó la rigorización de munchos argumentos yá utilizaos, según l'estudiu de problemes fora de los marcos clásicos. Anguaño, la teoría de la probabilidá atopa aplicación nes más variaes cañes de la conocencia, como pue ser la física (onde correspuende mentar el desenvolvimientu de los espardimientos y el movimientu Browniano), o la economía (onde destaca'l modelu de Black y Scholes pa la valuación d'aiciones).

Definición de probabilidá

Historia

La teoría de la probabilidá desenvolvióse orixinalmente a partir de ciertos problemes plantegaos nel contestu de xuegos d'azar. Primeramente, nun esistía una teoría axomática bien definida y les definiciones iniciales de probabilidá basar na idea intuitiva d'un cociente d'escurrimientos:

(1) $\mathrm {Prob} (A)=\lim _{N\to \infty }{\frac {n_{A}}{N}}$

onde A ye un sucesu cualesquier y:

N\,

ye'l númberu de vegaes que se repitió una aición o observación que'l so resultancia puede dar el sucesu A o non-A.

n_{A},

ye'l númberu de vegaes que repara A en toles observaciones.

Esti tipu de definiciones magar dexaron desenvolver un gran númberu de propiedaes, nun dexaben deducir tolos teoremas y resultancies importantes que güei formen parte de la teoría de la probabilidá. De fechu la resultancia anterior puede demostrase rigorosamente dientro del enfoque axomáticu de la teoría de la probabilidá, so ciertes condiciones.

La primera axiomatización completa deber a Andréi Kolmogórov (quien usó dichu enfoque por casu pa deducir el so "llei 0-1 pa suceso cola" y otres resultancies rellacionaes cola converxencia de socesiones aleatories). La definición axomática de la probabilidá basar en resultancies de la teoría de la midida y en formalizaciones de la idea d'independencia probabilística. Nesti enfoque partir d'un espaciu de midida normalizada $(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu _{P})$ onde $\Omega$ ye un conxuntu llamáu espaciu de sucesos (según el tipu de problema puede ser un conxuntu finito, numerable o non-numerable), ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )$ ye una σ-álxebra de subconxuntos de $\Omega$ y $\mu _{P}:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$ ye una midida normalizada (esto ye, $\mu _{P}(\Omega )=1$ ). Los sucesos posibles considérense como subconxuntos S d'eventos elementales posibles: $S\in {\mathcal {M}},S\subset \Omega$ y la probabilidá de que cada sucesu vien dada pola midida de dichu conxuntu:

$\mathrm {Prob} (S)=\mu _{P}(S)\in [0,1]$ ,

La interpretación d'esta probabilidá ye la frecuencia permediu cola qu'apaez dichu sucesu si considérase una eleición de muestres aleatories sobre $\Omega$ .

La definición anterior ye complicada de representar matemáticamente yá que $\Omega$ tuviera de ser infinitu. Otra manera de definir la probabilidá ye de forma axomática esto estableciendo les rellaciones o propiedaes qu'esisten ente los conceutos y operaciones que la componen.

Definición clásica de probabilidá

La probabilidá ye la carauterística d'un eventu, que fai qu'esistan razones pa creer qu'ésti se realizará.

La probabilidá p de qu'asoceda un eventu S d'un total de n casos posibles igualmente probables ye igual a la razón ente'l númberu d'escurrimientos h de dichu eventu (casos favorables) y el númberu total de casos posibles n.

$p=\mathrm {Prob} \{S\}={\frac {h}{n}}$

La probabilidá ye un númberu (valor) que varia ente 0 y 1. Cuando l'eventu ye imposible dizse que la so probabilidá ye 0, si l'eventu ye ciertu y siempres tien qu'asoceder la so probabilidá ye 1.

La probabilidá de non escurrimientu d'un eventu ta dada por q, onde:

$q=\mathrm {Prob} \{\mathrm {non} \;S\}=1-{\frac {h}{n}}$

Sabemos que p ye la probabilidá de qu'asoceda un eventu y q ye la probabilidá de que nun asoceda, entós p + q = 1

Simbólicamente l'espaciu de resultancies, que de normal se denota por $\Omega$ , ye l'espaciu que consiste en tolos resultaos que son posibles. Les resultancies, que se denota por $\omega _{1},\omega _{2}$ , etcétera, son elementos del espaciu $\Omega$ .

Definición axomática

Como s'adelantró enantes la definción axomática de probabilidá ye una estensión de la teoría de la midida, na que s'introducen la noción d'independencia relativa. Esti enfoque dexa reproducir los resultaos de la teoría clásica de la probabilidá amás de resultancies nueves referíos a la converxencia de variables aleatories. Amás de los procesos estocásticos, el cálculu de Ito y les ecuaciones diferenciales estocásticas.

Dientro del enfoque axomáticu ye posible demostrar que la llei débil de los grandes númberos implica que se va cumplir que:

$\mathrm {Prob} \left(\left|{\frac {S_{n}-\mathbb {Y} (S_{n})}{n}}\right|\geq \epsilon \right)\leq {\frac {\mathrm {Var} (S_{n})}{n^{2}\epsilon ^{2}}}\to 0$

Esto dexa xustificar rigorosamente la ecuación (1) suponiendo que:

$S_{n}=X_{1}+\dots +X_{n},\quad \mathbb {Y} (S_{n})=np\qquad X_{i}\in {0,1}$

Onde s'interpreta $X_{i}=1$ con probabilidá p y que $X_{i}=0$ con proabilidad 1-p.

Variables aleatories

Una variable aleatoria ye una función medible

$X:\Omega \to \mathbb {R} \,$

que da un valor numbéricu a cada sucesu elemental $\omega \in \Omega$ .

Probabilidá discreta

Esti tipu de probabilidá, ye aquel que puede tomar namái ciertos valores distintos que son la resultancia de la cuenta de dalguna carauterística d'interés. Más esautamente, un problema de probabilidá discreta ye un problema definíu por un conxuntu de variables aleatories que namái pueden tomar un conxuntu finito o infinitu numerable de valores distintos:

$\mathrm {card} [X(\Omega )]\leq \aleph _{0}$

onde:

\mathrm {card} [\cdot ]

designa'l cardinal o "númberu d'elementos" d'un conxuntu.

X(\Omega )=\{x\in \mathbb {R} |\exists \omega \in \Omega :x=X(\omega )\}

, ye'l conxuntu de tolos posibles valores que toma la variable aleatoria.

Probabilidá continua

Un problema de probabilidá continua ye unu nel qu'apaecen variables aleatories capaces de tomar valores en dalgún intervalu de númberos reales (y por tanto asumir un conxuntu non numerable de valores), polo que siguiendo cola notación anterior:

$\mathrm {card} [X(\Omega )]=\aleph _{1}>\aleph _{0}$

Función de distribución de probabilidá

La distribución de probabilidá puede definise pa cualesquier variable aleatoria X, yá sía de tipu continuu o discretu, por aciu la siguiente rellación:

$F_{X}(x)=\mathrm {Prob} (X\leq x)=\mu _{P}\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}$

Pa una variable aleatoria discreta esta función nun ye continua ensin constante a tramos (siendo continua pela derecha pero non pela esquierda). Pa una variable aleatoria xeneral la función de distribución puede descomponese nuna parte continua y una parte discreta:

$F_{X}(x)=F_{X}^{c}(x)+F_{X}^{d}(x)$

Onde $F_{X}^{c}(x)$ ye una función absolutamente continua y $F_{X}^{d}(x)$ ye una función constante a tramos.

Función de densidá de probabilidá

La función de densidá, o densidá de probabilidá d'una variable aleatoria absolutamente continua, ye una función a partir de la cual llógrase la probabilidá de cada valor que toma la variable definida como:

$f_{X}(x)={\frac {dF_{x}(x)}{dx}}$

Esto ye, la so integral nel casu de variables aleatories continues ye la distribución de probabilidá. Nel casu de variables aleatories discretes la distribución de probabilidá llógrase al traviés del sumatorio de la función de densidá. La noción puede xeneralizase a delles variables aleatories.