Función gamma

En matemátiques, la función gamma (denotada como , onde ye la escritura en mayúscula de la lletra gamma del alfabetu griegu) ye una aplicación qu'estiende'l conceutu de factorial a los númberos complexos. La notación foi propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del númberu complexu ye positiva, entós la integral

Función Gamma na exa real.
Módulu de la función gamma nel planu complexu.


converxe absolutamente; esta integral puede ser estendida a tol planu complexu, sacante a los enteros negativos y al cero. Si ye un enteru positivu, entós


lo que nos amuesa la rellación d'esta función col factorial. Ello ye que la función gamma estiende'l conceutu de factorial a cualquier valor complexu de . La función gamma apaez en delles funciones de distribución de probabilidá, polo que ye bastante usada tantu en probabilidá y estadística como en combinatoria.

Definición clásicaEditar

 
La función gamma nel planu complexu.

Si la parte real del númberu complexu   ye positiva (Re( ) > 0), entós la integral

 

converxe absolutamente. Usando la integración por partes, llógrase la siguiente propiedá:

 

Esta ecuación funcional xeneraliza la rellación   del factorial. Puede evaluase   analíticamente:

 

Combinando estos dos resultaos deduzse que'l factorial ye un casu particular de la función gamma:

 

pa los enteros non negativos  .

La función Gamma ye una función meromorfa de   con polos simples en   y residuos  .[1] Estes propiedaes pueden ser usaes pa estender   dende la so definición inicial a tol planu complexu (quitando los puntos nos cualos ye singular) por continuación analítica.

Definiciones alternativesEditar

Les siguientes definiciones de la función gamma por aciu productos infinitos, debíes a Euler y Weierstrass respeutivamente, son vixentes en tol planu complexu  , sacante para valores enteros negativos:

 
 

onde   ye la constante de Euler-Mascheroni.

Ye senciellu comprobar que la definición de Euler satisfai la ecuación funcional, dada enriba, como sigue. Sía  

 

Tamién puede llograse la siguiente representación integral:

 

Llogru de la ecuación funcional usando integración por partesEditar

Atopar   ye daqué fácil:

 

Depués llógrase una fórmula pa   como una función de  :

 

Usamos integración por partes pa resolver la integral:

 

Na llende inferior llógrase direutamente  .

Nel infinitu, usando la regla de L'Hôpital   vegaes:

 .

Polo que s'anula'l primer términu,  , lo que nos da la siguiente resultancia:

 

La parte derecha de la ecuación ye esautamente  , colo que llogremos una rellación de recurrencia:

 .

Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

 
 
 
 

PropiedaesEditar

De la representación integral llógrase:


 .

Otres ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexón de Euler


 

y la fórmula de duplicación


 

La fórmula de duplicación ye un casu especial del teorema de multiplicación


 

Una propiedá básica y bien útil de la función Gamma , que puede llograse a partir de la definición por aciu productos infinitos de Euler ye:


 

Delles llendes útiles p'aproximamientos asintóticas:


 

Quiciabes el valor más conocíu de la función Gamma con argumentu non enteru ye:


 

La cual puede llograse faciendo   na fórmula de reflexón o na fórmula de duplicación, usando la rellación de la función Gamma cola función beta dada más embaxo con   o faciendo la sustitución   na definición integral de la función Gamma, colo que se llogra una integral Gaussiana. Polo xeneral, pa valores impares de   tiense:


     (  impar)

onde  !! denota al doble factorial. Les derivaes de la función Gamma vienen daes pola función poligamma. Por casu:


 

A partir de la representación integral de la función Gamma, llógrase que la so derivada  -ésima ye:


 

La función Gamma tien un polu d'orde 1 en   pa tou númberu enteru non negativu . El residuu en cada polu ye:


 

El teorema de Bohr-Mollerup diz que, ente toles funciones que xeneralicen el factorial de los númberos naturales a los reales, namái la función Gamma ye logarítmicamente convexa, esto ye, el llogaritmu natural de la función Gamma ye una función convexa.

El desenvolvimientu en Serie de Laurent de   pa valores 0 <   < 1 ye:

 

Onde   ye la función zeta de Riemann.

Función PiEditar

Gauss introdució una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, qu'en términos de la función Gamma ye:

 

Asina, la rellación d'esta función Pi col factorial ye abondo más natural que nel casu de la función Gamma:

 

La fórmula de la reflexón toma la siguiente forma:

 

Onde sinc ye la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación escríbese asina:

 

Dacuando atópase la siguiente definición

 

onde   ye una función entera, definida pa tou númberu complexu, pos nun tien polos. La razón d'ello ye que la función Gamma y, poro, la función Pi, nun tienen ceros.

Rellación con otres funcionesEditar

  • Na representación integral de la función Gamma, tantu la llende cimera como l'inferior de la integración tán fitos. La función gamma incompleta cimera   ya inferior   llógrense modificando les llendes d'integración cimera o inferior respeutivamente.
 
 
  • La función Gamma ta rellacionada cola función beta pola siguiente fórmula
 
 
 
 

Fórmula válida namái si  . Tamién apaez na ecuación funcional de  :

 

Valores de la función GammaEditar

Artículu principal: Valores de la función Gamma

 

AproximamientosEditar

La función Gamma puede calculase numbéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, l'aproximamientu de Lanczos o l'aproximamientu de Spouge.

P'argumentos que sían múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápido usando iteraciones de medies aritméticu xeométriques (vease Valores de la función Gamma).

Por cuenta de que tantu la función Gamma como'l factorial crecen bien rápido p'argumentos moderadamente grandes, munchos programes de computación inclúin funciones que devuelven el llogaritmu de la función Gamma. Este crez más amodo, y en cálculos combinatorios ye bien útil, pos se pasa de multiplicar y estremar grandes valores a sumar o restar los sos llogaritmos.

Aplicaciones de la función gammaEditar

Cálculo fraccionariuEditar

Artículu principal: Cálculu fraccional

La  -ésima derivada de   (onde n ye un númberu natural) puede vese de la siguiente manera:

 

como   entós

 

onde   puede ser cualquier númberu onde gamma tea definíu o pueda definise por aciu llendes. D'esta manera puede calculase por casu, la 1/2 derivada de  , de   y inclusive d'una constante  :

 
 
 

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Bibliografía utilizadaEditar

Bibliografía adicionalEditar

Enllaces esternosEditar

Sitio webEditar