Función hiperbólica

Les funciones hiperbóliques son unes funciones que les sos definiciones basar na función esponencial, coneutando por aciu operaciones racionales y son análogues a les funciones trigonométriques.[1] Estes son:

Curves de les funciones hiperbóliques sinh, cosh y tanh
Curves de les funciones hiperbóliques csch, sech y coth

El senu hiperbólicu

El cosenu hiperbólicu

La tanxente hiperbólica

y otres llinies:

(cotanxente hiperbólica)
(secante hiperbólica)[2]
(cosecante hiperbólica)

Rellación ente funciones hiperbóliques y funciones circularesEditar

Les funciones trigonométriques sin(t) y cos(t) pueden ser les coordenaes cartesianes (x,y) d'un puntu P sobre la circunferencia unitaria centrada nel orixe, onde ye t el ángulu, midíu en radianes, entendíu ente'l semiexe positivu X, y el segmentu OP, según les siguientes igualdaes:

 

Tamién puede interpretase'l parámetru t como la longitud del arcu de circunferencia unitaria entendíu ente'l puntu (1,0) y el puntu P, o como'l doble del área del sector circular determináu pol semiexe positivu X, el segmentu OP y la circunferencia unitaria.

 
Animación de la representación del senu hiperbólicu.

De manera análoga, podemos definir les funciones hiperbóliques, como les coordenaes cartesianes (x,y) d'un puntu P de la hipérbola equillátera, centrada nel orixe, que la so ecuación ye

 

siendo t el doble del área de la rexón entendida ente'l semiexe positivu X, y el segmentu OP y l'hipérbola, según les siguientes igualdaes:

 

Sicasí, tamién puede demostrase que ye válida la siguiente descripción de la hipérbola:

 
 

yá que

 

De cuenta que el cosenu hiperbólicu y el senu hiperbólicu almiten una representación en términos de funciones esponenciales de variable real:

 
 

RellacionesEditar

Ecuación fundamentalEditar

 

=== Duplicación del argumentu tiénense les siguientes fórmules[3] bien similares a les sos correspondientes trigonométriques

 
 

que lleva a la siguiente rellación:

 

y per otra parte

 
 

que lleva a:

 

tiense esta otra rellación

 

que dexa llograr

 

Derivación ya integraciónEditar

 
 
 
 
 
 

Amás la integración al ser la operación inversa de la derivación ye trivial nesti casu.

La derivada de sinh(x) ta dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) ye sinh(x). El gráficu de la función cosh(x) denominar catenaria.

Inverses de les funciones hiperbólicu y derivarEditar

Les funciones recíproques y derivaes de les funciones hiperbóliques son:[4][5]

 

Series de TaylorEditar

Les series de Taylor de les funciones inverses de les funciones hiperbóliques vienen daes por:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rellación cola función esponencialEditar

De la rellación del cosenu y senu hiperbólicu pueden derivase les siguientes rellaciones:

 

y

 

Estes espresiones son análogues a les que tán en términos de senos y cosenos, basaes na fórmula d'Euler, como suma d'esponenciales complexos.

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. Cálculu de Granville
  2. Matematicas Fundamentales Pa Inxenieros (n'es). Univ. Nacional de Colombia. ISBN 9789589322734. Consultáu'l 14 de payares de 2017.
  3. Bronshtein, I y otru títulu Manual de Matemátiques pa Inxenieros y estudiantes (1982). . Mir, páx. 696.
  4. Purcell, Edwin J. y otru títulu=Cálculu con Xeometría Analítica (1987). . Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A., páx. 868. ISBN 0-13-111807-2.
  5. Wikipedia. «Hiperbolic» (inglés).