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Les funciones trigonométriques sin(t ) y cos(t ) pueden ser les coordenaes cartesianes (x ,y ) d'un puntu P sobre la circunferencia unitaria centrada nel orixe, onde ye t el ángulu , midíu en radianes , entendíu ente'l semiexe positivu X , y el segmentu OP , según les siguientes igualdaes:
{
x
(
t
)
=
cos
t
y
(
t
)
=
sin
t
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cos t\\y(t)=\operatorname {sin} t\end{matrix}}\right.}
Tamién puede interpretase'l parámetru t como la longitud del arcu de circunferencia unitaria entendíu ente'l puntu (1,0) y el puntu P , o como'l doble del área del sector circular determináu pol semiexe positivu X , el segmentu OP y la circunferencia unitaria.
Animación de la representación del senu hiperbólicu. De manera análoga, podemos definir les funciones hiperbóliques, como les coordenaes cartesianes (x ,y ) d'un puntu P de la hipérbola equillátera , centrada nel orixe, que la so ecuación ye
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1}
siendo t el doble del área de la rexón entendida ente'l semiexe positivu X , y el segmentu OP y la hipérbola, según les siguientes igualdaes:
{
x
(
t
)
=
cosh
t
y
(
t
)
=
sinh
t
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cosh t\\y(t)=\sinh t\end{matrix}}\right.}
Sicasí, tamién puede demostrase que ye válida la siguiente descripción de la hipérbola:
x
(
t
)
=
y
t
+
y
−
t
2
{\displaystyle \ x(t)={\frac {y^{t}+y^{-t}}{2}}}
y
(
t
)
=
y
t
−
y
−
t
2
{\displaystyle \ y(t)={\frac {y^{t}-y^{-t}}{2}}}
yá que
(
y
t
+
y
−
t
2
)
2
−
(
y
t
−
y
−
t
2
)
2
=
1
{\displaystyle \ \left({\frac {y^{t}+y^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {y^{t}-y^{-t}}{2}}\right)^{2}=1}
De cuenta que el cosenu hiperbólicu y el senu hiperbólicu almiten una representación en términos de funciones esponenciales de variable real:
cosh
(
t
)
=
y
t
+
y
−
t
2
{\displaystyle \ \cosh(t)={\frac {y^{t}+y^{-t}}{2}}}
sinh
(
t
)
=
y
t
−
y
−
t
2
{\displaystyle \ \sinh(t)={\frac {y^{t}-y^{-t}}{2}}}
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Les funciones recíproques y derivaes de les funciones hiperbóliques son:[ 4] [ 5]
arcsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
d
d
x
(
arcsinh
(
x
)
)
=
1
x
2
+
1
arccosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
d
d
x
(
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
=
1
x
2
−
1
;
x
>
1
arctanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
d
d
x
(
a
r
c
t
a
n
h
(
x
)
)
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
<
1
arccoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
d
d
x
(
a
r
c
c
o
t
h
(
x
)
)
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
>
1
arcsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
d
d
x
(
a
r
c
s
e
c
h
(
x
)
)
=
−
1
x
1
−
x
2
;
0
<
x
<
1
arccsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
;
x
≠
0
d
d
x
(
a
r
c
c
s
c
h
(
x
)
)
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
;
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsinh} (x))&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccosh(x)} )&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};x>1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arctanh(x)} )&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|<1\\\operatorname {arccoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccoth(x)} )&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|>1\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsech(x)} )&={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}};0<x<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0&{\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsch(x)} )&={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}};x\neq 0\end{alignedat}}}
Les series de Taylor de les funciones inverses de les funciones hiperbóliques vienen daes por:
argsinh
(
x
)
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
{\displaystyle \operatorname {argsinh} (x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}
argsinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {argsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
argcosh
(
x
)
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
{\displaystyle \operatorname {argcosh} (x)=\ln 2x-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=}
argcosh
(
x
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {argcosh} (x)=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1}
argtanh
(
x
)
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
{\displaystyle \operatorname {argtanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}
argtanh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {argtanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
argcsch
(
x
)
=
argsinh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
{\displaystyle \operatorname {argcsch} (x)=\operatorname {argsinh} (x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}
argcsch
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {argcsch} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}
argsech
(
x
)
=
argcosh
(
x
−
1
)
=
ln
2
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
{\displaystyle \operatorname {argsech} (x)=\operatorname {argcosh} (x^{-1})=\ln 2-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)=}
argsech
(
x
)
=
ln
2
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
(
2
n
)
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {argsech} (x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1}
argcoth
(
x
)
=
argtanh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
{\displaystyle \operatorname {argcoth} (x)=\operatorname {argtanh} (x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}
argcoth
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {argcoth} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}
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De la rellación del cosenu y senu hiperbólicu pueden derivase les siguientes rellaciones:
y
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle y^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
y
y
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
.
{\displaystyle y^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
Estes espresiones son análogues a les que tán en términos de senos y cosenos, basaes na fórmula d'Euler , como suma d'esponenciales complexos.
↑ Cálculu de Granville
↑ Matematicas Fundamentales Pa Inxenieros ISBN 9789589322734 . Consultáu'l 14 de payares de 2017. ↑ Bronshtein, I y otru títulu Manual de Matemátiques pa Inxenieros y estudiantes (1982). ↑ Purcell, Edwin J. y otru títulu=Cálculu con Xeometría Analítica (1987). ISBN 0-13-111807-2 . ↑ Wikipedia. «Hiperbolic » (inglés)
