Fórmula d'Euler

La fórmula d'Euler o rellación d'Euler, atribuyida a Leonhard Euler, establez el teorema, nel que:

$e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x$

pa tou númberu real x, que representa un ángulu nel planu complexu. Equí, e ye la base del llogaritmu natural, i ye la unidá imaxinaria, $\operatorname {sen} x$ y $\cos x$ son les funciones trigonométriques senu y cosenu.

Historia

Roger Cotes afayó en 1714 la rellación ente les funciones trigonométriques y el llogaritmu,

$ix=\ln(\cos x+i\operatorname {sen} x)$

y foi publicada na so obra póstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 años primero que lu fixera Leonhard Euler. Euler desenvolvió la fórmula utilizando la función esponencial en vegada del llogaritmu y comunicar nuna carta unviada a Christian Goldbach en 1741, siendo publicada y popularizada na so obra Introductio in analysin infinitorum en 1748. Ye interesante notar que nengún de los descubridores vio la interpretación xeométrica señalada enantes: la visión de los númberos complexos como puntos nel planu surdió en 1787 per parte del matemáticu Caspar Wessel nel so únicu informe pa la Real Academia Danesa.

Un sieglu más tarde B. Peirce concluyó la deducción de la fórmula delantre de los sos alumnos, diciendo: "Caballeros, con seguridá esta fórmula ye cierta , anque-yos paeza paradóxica..."

Potencia complexa de y

O bien se suel espresar como:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)$

siendo $z$ la variable complexa definida por $z=x+iy$

Demostración

Nótese qu'esta nun ye una demostración basada nes propiedaes de los númberos complexos y de la función esponencial, sinón que ye necesaria la definición de la esponencial complexa como l'equivalente a la serie de Taylor sobre los númberos reales pa parámetros complexos.

La fórmula puede interpretase geométricamente como una circunferencia unidá nel planu complexu, dibuxada pola función e^ix al variar $x$ sobre los númberos reales. Asina, $x$ ye'l ángulu d'una recta que coneuta l'orixe del planu y un puntu sobre la circunferencia unidá, cola exa positiva real, midíu en sentíu contrariu a les manes del reló y en radianes. La fórmula namái ye válida si tamién el senu y el cosenu tienen los sos argumentos en radianes.

Demostración usando les Series de Taylor

La fórmula d'Euler ilustrada nel planu complexu.

Sabiendo que:

${\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}$

y asina socesivamente. Amás d'esto, les funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x seya un númberu real) pueden ser espresaes utilizando los sos series de Taylor alredor de cero.

${\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$

Otra definición que se-y puede dar a $e^{x}$ basándose nes series de Taylor ye la siguiente:

$e^{x}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

también válido para:

$\cos x={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}{\biggr )}$

$\sin x={\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\biggr )}$

Definimos caúna d'estes funciones poles series anteriores, remplazando x por i·z, onde z ye una variable real y i la unidá imaxinaria. Esto ye posible porque'l radio de converxencia ye infinitu en cada serie. Entós atopamos que:

${\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}$

El reordenamientu ye posible por cuenta de que cada serie ye absolutamente converxente. Remplazando z = x como un númberu real resulta na identidá orixinal tal como la afayó Euler.

Relevancia matemática

La fórmula apurre una potente conexón ente l'analís matemáticu y la trigonometría. Utilizar pa representar los númberos complexos en coordenaes polares y dexa definir el llogaritmu pa númberos negativos y númberos complexos.

Llogaritmu d'un númberu negativu

Nesti casu, la fórmula d'Euler ye evaluada en $x=\pi$ , llogrando la identidá d'Euler:

$e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1$

$e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!$

Depués, al aplicar el llogaritmu natural llógrase:

$\mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!$.

Llogaritmu d'un númberu negativu cualesquier

Como estensión de la ecuación anterior, el llogaritmu de cualquier númberu negativu defínese como:

$\ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!$. Onde $a>0$.

Amás puede definise'l llogaritmu d'un númberu negativu en cualquier base, a partir del llogaritmu natural y la fórmula de cambéu de base.

Integración y derivación

Una propiedá importante de la fórmula d'Euler ye que ye la única función matemática que permanez cola mesma forma (sacante pola unidá imaxinaria) coles operaciones d'integración y derivación del cálculu integral, lo que dexa que s'utilice pa convertir ecuaciones diferenciales n'ecuaciones con forma alxebraica, simplificando descomanadamente eses operaciones.

De les regles de la exponenciación

$e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}$

y

$(e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}$

(válides pa tou par de númberos complexos $a$ y $b$), pueden derivase delles identidaes trigonométriques, según la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométriques

La fórmula d'Euler tamién dexa interpretar funcionar senu y cosenu como meres variaciones de la función esponencial:

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$

$\operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}$

A partir d'estes igualdaes, ye posible definir les funciones trigonométriques pa los númberos complexos d'esta miente:

$\operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}$

$\cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}$

$\tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}\cdot {\cfrac {1}{i}}$

siendo $z\in \mathbb {C}$, esto ye, que pertenez al conxuntu de númberos complexos. Estes funciones trigonométriques cumplen les lleis de los sos similares aplicaes a los númberos reales. Sean los númberos complexos $z$ y $w$, ye dicir $z\land w\in \mathbb {C}$, entós son válides les siguientes igualdaes:

$\cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1$

$\cos(-z)=\cos(z)$

$\operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)$

$\operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)$

$\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)$

Ecuaciones diferenciales

Nes ecuaciones diferenciales, la espresión $e^{ix}$ ye utilizada de cutiu pa simplificar derivaes, inclusive si la respuesta final ye una función real na qu'apaezan senos o cosenos. La identidá d'Euler ye una consecuencia inmediata de la fórmula d'Euler.

Analís de señales

Les señales que varien dacuando suelen describise como una combinación de funciones seno y cosenu, como asocede nel analís de Fourier, y estes son espresaes más convenientemente como la parte real d'una función esponencial con esponente imaxinariu, utilizando la fórmula d'Euler.

Ver tamién

• Númberu complexu
• Planu complexu
• Analís de Fourier
• Pi

Enllaces esternos

• Plantía:Springer
• Weisstein, Eric W. «Euler Formula» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.