Productorio

Lletra pi mayúscula, notación del productorio.

El productorio o productoria, tamién conocíu como multiplicatorio, multiplicatoria o a cencielles productu (por denotarse como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

NotaciónEditar

La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores m < n

 

Si m = n tenemos que:

 

Nel casu de que m sía mayor que n, m > n, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:

 

Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese ::  

2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese ::  

ExempluEditar

Puede usase el productorio pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:

 .

Definida pa n=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n=2 pa depués llograr

 .

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu   ye'l mesmu que   y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles

 .

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier   ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productorio bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n! (n factorial) como sigue:

 

Defínese  

PropiedaesEditar

Puede usase el métodu de inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

Propiedá MultiplicativaEditar

 

Demostración per Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá :  

y l'igualdá ye cierta pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

 
 

(Definición per inducción)

 

(Asociatividad en DIR) Depués, :  

Propiedá TelescópicaEditar

 

Demostración per Inducción

i) Analicemos pa n=1

 

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

  (Definición per inducción)

Depués, :   que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada  ,  . En particular, pa  ,  . Depués la simplificación ye posible y :  .

Ver tamiénEditar

Enllaces esternosEditar