Multiplicación

La multiplicación ye una operación binaria que s'establez nun conxuntu numbéricu. Tal el casu de númberos naturales, consiste en sumar un númberu tantes vegaes como indica otru númberu. Asina, 4×3 (lléase «cuatro multiplicáu por trés» o, a cencielles, «cuatro per trés») ye igual a sumar tres veces el valor 4 por sigo mesmu (4+4+4). Ye una operación distinta de la adición, pero equivalente. Nun ye igual a una suma repitida; namái son equivalentes porque dexen algamar el mesmu resultáu. La multiplicación ta acomuñada al conceutu d'área xeométrica.

El signu "x" que s'utiliza n'aritmética pa indicar la multiplicación

Propiedá conmutativa:
3×4 = 12 = 4×3
doce elemento pueden ser ordenaos en tres files de cuatro, o cuatro columnes de trés.

Animación pa representar la multiplicación 2 × 3 = 6.

La potenciación ye un casu particular de la multiplicación onde l'esponente indica les vegaes que tien de multiplicase un númberu por sigo mesmu.

La resultancia de la multiplicación de dellos númberos llámase productu. Los númberos que se multipliquen llámense factores o coeficientes, ya individualmente: multiplicando (númberu a sumar o númberu que se ta multiplicando) y multiplicador (vegaes que se suma'l multiplicandu). Anque esta diferenciación en dellos contestos puede ser superflua cuando nel conxuntu onde tea definíu'l productu tiense la propiedá conmutativa de la multiplicación (por casu, nos conxuntos numbéricos), pero puede ser útil cuando s'ocupa pa referise al multiplicador d'una espresión alxebraica (ej: en $a^{2}b+a^{2}b+a^{2}b$ ó $3a^{2}b$, 3 ye'l multiplicador o coeficiente, ente que el monomiu $a^{2}b$ ye'l multiplicandu).

N'álxebra moderna suelse usar la denominación «cociente» o «multiplicación» cola so notación habitual «·» pa designar la operación esterna nun módulu, pa designar tamién la segunda operación que se define nun aniellu (aquella pa la que nun ta definíu'l elementu inversu del 0), o pa designar la operación que dota a un conxuntu d'estructura de grupu. La operación inversa de la multiplicación ye la división.

Notación

La multiplicación indicar con una aspa (×) o con un puntu (∙). N'ausencia d'estos calteres suelse emplegar el asteriscu (*), sobremanera en computación (esti usu tien el so orixe en FORTRAN), pero ta desaconseyáu n'otros ámbitos y namái tien d'utilizase cuando nun hai otra alternativa. Dacuando utilízase la lletra xe (x), pero esto ye desaconsejable porque crea un tracamundiu innecesariu cola lletra que de normal s'asigna a una incógnita nuna ecuación. A lo último, puede omitise el signu de multiplicación nun siendo que se multipliquen númberos o pueda xenerase tracamundiu sobre los nomes de les incógnites, constantes o funciones (por casu, cuando'l nome de dalguna incógnita tien más d'una lletra y podría confundise col productu d'otros dos). Tamién suelen utilizase signos d'agrupación como paréntesis (), corchetes [] o llaves { }. Esto mayormente utilizar pa multiplicar númberos negativos ente sigo o por númberos positivos.

Si los factores nun s'escriben de forma individual pero pertenecen a una llista d'elementos con cierta regularidá puede escribise el productu por aciu una elipsis, esto ye, escribir explícitamente los primeros términos y los postreros, (o en casu d'un productu d'infinitos términos namái los primeres), y sustituyir los demás por unos puntos suspensivos. Esto ye análogu a lo que se fai con otres operaciones aplicaes a infinitos númberos (como les sumes).

Asina, el productu de tolos númberos naturales dende'l 1 hasta'l 100 puede escribise:

$1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100$

ente que'l productu de los númberos pares del ente 1 y 100 escribiríase:

$2\cdot 4\cdot 6\cdots 100$.

Esto tamién se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos na parte media de la llinia de testu:

$1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100$

Sía que non, tienen de tar claros cuálos son los términos omitíos.

A lo último, puédese denotar el productu por aciu el símbolu productorio, que provién de la lletra griega Π (Pi mayúscula).

Esto defínese asina:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

El subíndice $i\,$ indica una variable que percuerre los númberos enteros dende un valor mínimu ($m\,$, indicáu nel subíndice) y un valor máximu ($n\,$, indicáu nel superíndice).

Definición

Cuatro bolses de tres globo da un total de doce globo (3×4=12).

La multiplicación de dos númberos enteros n y m esprésase como:

$\sum _{k=1}^{n}m=mn$

Ésta nun ye más qu'una forma de simbolizar la espresión «sumar m a sí mesmu n vegaes». Puede facilitar la comprensión al espandir la espresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal qu'hai n sumandos. Asina, por casu:

• 5×2 = 5 + 5 = 10
• 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
• m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
• m·5 = m + m + m + m + m = 5m

El productu d'infinitos términos defínese como la llende del productu de los n primeros términos cuando n crez indefinidamente.

Definición recursiva

Nel casu de la multiplicación de númberos naturales ℕ = {0,1,2,3. ...,n,...} puede aplicase la definición recursiva de la multiplicación , qu'entiende estos dos pasos:

m·0 = 0

m·(n+1) = m∙n + m.

Onde m y n son númberos naturales, el principiu d'inducción aplícase sobre'l númberu n, que primeramente ye n = 0, depués asumimiendo que ye ciertu pa n, infierse que tamién se cumple pa n+1.

Dedúcense les siguientes proposiciones básiques:

Esistencia del elementu identidá, $n\cdot 1=n$ tou númberu natural n.

Propiedá asociativa, $(m\cdot n)\cdot p=m\cdot (n\cdot p)$ pa cualesquier m, n, p númberos naturales

Propiedá conmutativa: $m\cdot n=n\cdot m$, pa n y n cualesquier númberu natural.

Propiedá distributiva al respeutive de la adición: $m\cdot (l+n)=m\cdot l+m\cdot n=(l+n)\cdot m$

Nun hai divisores de cero: $m\cdot n=0$ implica qu'a lo menos unu de los factores ye igual a cero.

Pa indicar el productu de dos númberos naturales úsase un puntu ente los dos factores, una aspa ente ellos, la simple yuxtaposición de los factores lliterales o, un factor y l'otru en paréntesis o los dos factores en paréntesis

Productu de númberos enteros

Ye un númberu enteru $m$ que se calcula tal como sigue:

Si $n>0$ y $p>0$ entones $m=n\cdot p$ , factores positivos.

Si $n<0$ y $p<0$ entós m = |n| |p|, factores negativos.

Si $n>0$ y $p<0$ o $n<0$ y $p>0$ entós m = -|n| |p| , un factor positivu y l'otru negativu.

Si $n=0$ y $p=0$ entós $m=0=n\cdot p$. Siquier un factor cero.

El productu de los enteros basar nel productu de los númberos naturales y tómase en cuenta'l valor absolutu.

Productu de fracciones

La fracción ${\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$ ye'l productu de les fracciones ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}$ y ${\frac {p_{2}}{q_{2}}}$ que cumplen la igualdá

${\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{2}}{q_{2}}}={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

. Asumir que $q_{1}\neq 0,q_{2}\neq 0$.

===Productu de raigaños cumple la siguiente propiedá de productu de raigaños:

El raigañu d'un productu ye igual al productu de los raigaños de los factores nomaos enantes. ${\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

Propiedaes

Multiplicación de númberos del 0 al 10. Cada llinia trazada representa un multiplicandu. Exa x = multipliadores. Exa y = productos.

Pa los númberos naturales, enteros, fracciones y númberos reales y complexos, la multiplicación tien ciertes propiedaes:

Propiedá de pesllera

La multiplicación de dos o más númberos naturales danos como resultáu otru númberu natural exemplu: 33*2=66

Propiedá conmutativa

L'orde de los factores nun alteria'l productu.

$x\cdot y=y\cdot x$

Propiedá asociativa

Namái espresiones de multiplicación o adición son invariantes con respectu al orde de les operaciones.

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

Propiedá distributiva

El total de la suma de dos númberos multiplicáu por un tercer númberu ye igual a la suma de los productos ente'l tercer númberu y cada sumandu.

$x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$

Elementu identidá (neutru)

La identidá multiplicativa ye 1; el productu de too númberu multiplicáu por 1 ye sí mesmu. Esto conozse como la propiedá d'identidá.

$x\cdot 1=x$

Elementu cero (absorbente)

Cualquier númberu multiplicáu por cero da como productu cero. Esto conozse como la propiedad cero de la multiplicación.

$x\cdot 0=0$

$0\cdot x=0$

Negación

Menos unu multiplicáu por cualesquier númberu ye igual al opuestu d'esi númberu.

$(-1)\cdot x=(-x)$

Menos unu multiplicáu por menos unu ye unu.

$(-1)\cdot (-1)=1$

El productu de númberos naturales nun inclúi númberos negativos.

Elementu inversu

Tou númberu x, sacante cero, tien un inversu multiplicativu, ${\frac {1}{x}}$, tal que $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$.

Productu de númberos negativos

El productu de númberos negativos tamién rique cavilgar un pocu. Primero, considérese'l númberu -1. Pa cualesquier enteru positivu m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Ésti ye un resultáu interesante qu'amuesa que cualquier númberu negativu nun ye más qu'un númberu positivu multiplicáu por -1. Asina que la multiplicación d'enteros cualesquier puede representase pola multiplicación d'enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir ye'l productu de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

D'esta forma, defínese la multiplicación de dos enteros. Les definiciones pueden estendese a conxuntos cada vez mayores de númberos: primero'l conxuntu de les fracciones o númberos racionales, dempués a tolos númberos reales y finalmente a los númberos complexos y otres estensiones de los númberos reales.

Conexón cola xeometría

Dende un puntu de vista puramente xeométricu, la multiplicación ente 2 valores produz un área que ye representable. De la mesma el productu de 3 valores produz un volume igualmente representable.

Estensiones

En matemátiques, productu ye sinónimu de multiplicación.

Denominar tamién productu ciertes operaciones binaries realizaes en contestos especializaos.

• Productu angular ye una operación binaria ente elementos d'un espaciu vectorial que tien por resultancia un elementu del campu subxacente. El casu más relevante ye'l de productu puntu.
• Productu vectorial o producto cruz ye una operación ente vectores d'un espaciu euclidianu 3-dimensional que tien como resultáu otru vector.
• Productu mistu o triple productu angular ye un productu que combina'l productu vectorial y l'angular.
• Productu matricial ye una operación binaria ente matrices.
• Productu cartesianu ye una operación ente conxuntos que'l so resultáu son pares ordenaos d'elementos respeutivos.
• Topología producto ye una topoloxía construyida nun productu cartesianu d'espacios topolóxicos.
  • Topoloxía caxa ye otra topoloxía construyida nun productu cartesianu d'espacios topolóxicos que coincide cola anterior en productos finitos.
• Productu esterior ye una xeneralización del productu vectorial.
• Productu direutu ye una astracción que dexa definir estructures alxebraiques en productos d'otros alxebraicos (usualmente productos cartesianos)
• Productoria Notación pa denotar un productu arbitrariu de términos.
• Productu (teoría de categoríes) ye una xeneralización astracta de los productos atopaos en diverses estructures alxebraiques.

El términu productu tamién se rellaciona con

• Regla del productu, un métodu pa calcular la derivada d'un productu de funciones.
• Principiu del productu, unu de los principios fundamentales de conteo.
• Productu vacíu ye'l productu de cero factores.

Ver tamién

• División
• Suma
• Inversu multiplicativu
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algoritmu de Booth
• Productu de matrices
• Potenciación
• Factorización

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Multiplicación.

• Datos: Q40276
• Multimedia: Multiplication