Superficie de Riemann

En xeometría alxebraica, una superficie de Riemann ye una variedá complexa de dimensión (complexa) unu. Consecuentemente, la variedá real subxacente va ser de dimensión 2.

Superficie de Riemann qu'apaez al estender el dominiu de la función $f(z)={\sqrt {z}}$

Historia

El desenvolvimientu de la idea de superficie de Riemann empezó a mediaos del sieglu XIX de la mano del matemáticu Bernhard Riemann, colos intentos d'estender el dominiu de definición de funciones analítiques $f:O\to \mathbb {C}$ definíes sobre un abiertu O del planu complexu. La estensión maximal (estensión analítica) llográbase non sobre'l mesmu planu complexu, sinón sobre copies d'abiertos del mesmu que s'asolapaben, no que güei día conocemos como variedá complexa de dimensión unu.

Conceutu

Una variedá real de dimensión 2 puede convertise nuna superficie de Riemann (frecuentemente de delles maneres non equivalentes) si y namái sí ye orientable. D'esta miente, la esfera y el toru van almitir estructures complexes, pero la banda de Möbius, la botella de Klein y el planu proyectivo real non.

Sábese que la 2-esfera tien una sola estructura analítica. Ente que cada superficie orientable de xéneru mayor que cero tien una infinidá, constrastando col puntu de vista diferenciable una y bones les superficies namái tienen una estructura diferenciable.

Les superficies de Riemann constitúin el llugar natural onde estudiar el comportamientu global de numberoses funciones (p ej $f(z)={\sqrt {(}}z)$ , $f(z)=\log(z)$ ).

Exemplos

• Sía S = C ∪ {∞} y sía f(z) = z onde z pertenez a S \ {∞} y g(z) = 1 / z onde z pertenez a S \ {0} y 1/∞ defínese como 0. Asina definíes, f y g son cartes complexes compatibles, y { f, g } ye un atles pa S, convirtiendo a S nuna superficie de Riemann amacera llamada la esfera de Riemann.

• Sía G un grupu de biholomorfismos d'una superficie de Riemann $X$, qu'actúa de manera llibre y puramente discontinuu, entós el espaciu cociente $Y$ ye una superficie de Riemann y la proyeición p: $X\to Y$ ye una aplicación recubridora.

Por casu, $G$ puede ser un grupu de traslaciones del planu complexu,. Sía $G$ el grupu xeneráu por dos traslaciones independientes, por casu:

$T:z\to z+1,\quad O:z\to z+a$

onde a ye un númberu complexu non real. L'espaciu cociente va ser homeomorfo al toru, La topoloxía nun va depender de la eleición de a (ye siempres un toru), pero la estructura complexa camuda sensiblemente al variar a.

• Numberosos exemplos de superficies de Riemann non compactes llograr pol procedimientu d'estensión analítica.

• 
  $f(z)=\arcsin z,\!$
• 
  $f(z)=\log z,\!$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{3}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{4}}$

Funciones

Toa superficie de Riemann non compacta almite funciones holomorfas non constantes.

Esto oldea con que nuna superficie de Riemann amacera toa función holomorfa ye constante debíu al principiu del máximu. Sicasí, en superficies compactes siempres van esistir funciones meromorfas non constantes, que pueden considerase como aplicaciones holomorfas de la superficie sobre la esfera de Riemann C ∪ {∞}).

Clasificación de superficies de Riemann

El conxuntu de superficies de Riemann puede estremase en tres tipos: les superficies hiperbóliques, les parabóliques y les elíptiques. Esta división vien dada pol teorema de uniformización, que garantiza que toa superficie de Riemann a cencielles conexa ye conformemente equivalente a una de les siguientes:

• al planu complexu $\mathbb {C}$
• a la esfera de Rieman $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, tamién llamada llinia proyectiva complexa $P^{1}\mathbb {C}$ o *

al discu abiertu D := {z ∈ C : |z| < 1} o a la superficie equivalente formada pol semiplanu cimeru H := {z ∈ C : Im(z) > 0}.

En casu de que la superficie X nun sía a cencielles conexa, vamos poder afirmar que la so recubridor universal Y ye conformemente equivalente a unu de los trés modelos anteriores. Nesi casu, la superficie X va poder obetenersese como l'espaciu cociente de Y so l'acción d'un grupu de biholomorfismos del recubridor Y qu'actúe de manera llibre (esto ye, ensin puntos fixos) y puramente discontinuu.

• Cocientes de la esfera (superficies elíptiques). Los biholomorfismos de la esfera son esautamente les tresformamientos de Moebius. Como un tresformamientu de Moebius siempres dexa un puntu fixu, nun vamos llograr nengún cociente de la esfera.
• Cocientes del planu (superficies parabóliques). Los biholomorfismos del planu complexu qu'actúen de manera llibre y puramente discontinuu son les traslaciones, en concretu los grupos de traslaciones con unu o dos xeneradores, isomorfos a $\mathbb {Z}$ o a $\mathbb {Z} +\mathbb {Z}$. Los cocientes respeutivos son topológicamente equivalentes a una corona circular o a un toru. Al ser les traslaciones isometrías respectu de la métrica plana del planu, inducen una métrica plana nel cociente.
• Cocientes del discu (superficies hiperbóliques)

Un grupu de biholomorfismos del discu qu'actúe de manera llibre y puramente discontinuu dizse un grupu Fuchsiano. Esisten numberosos grupos Fuchsianos, y el so estudiu ye un ramu importante de la xeometría moderna.

Como tou biholomorfismo del discu resulta ser una isometría de la métrica hiperbólica del discu unidá, tamién conocida como métrica de Poincaré, induzse una métrica hiperbólica nel cociente.

Referencies

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
• Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
• Artículu Riemann surface en Encyclopaedia of Mathematics