Función holomorfa

Les funciones holomorfes son el principal oxetu d'estudiu del analís complexu; son funciones que se definen sobre un subconxuntu abiertu del planu complexu C y con valores en C, qu'amás son complexu-diferenciables en cada puntu. Esta condición ye muncho más fuerte que la diferenciabilidad en casu real ya implica que la función ye infinitamente diferenciable y que puede ser descrita por aciu la so serie de Taylor.

Función holomorfa
función de variable compleja (es) y función meromorfa (es)

El términu función analítica úsase de cutiu en vegada del de "función holomorfa", especialmente pa cuando trátase de la restricción a los númberos reales d'una función holomorfa. Una función que seya holomorfa sobremanera'l planu complexu dizse función entera. La frase "holomorfa nun puntu a" significa non yá diferenciable en a, sinón diferenciable en tou un discu abiertu centráu en a, nel planu complexu.

Definición

La definición/función ye la siguiente:

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

Esta llende tómase equí sobre toles socesiones de númberos complexos que s'averen a z₀, y pa toes eses socesiones el cociente de diferencies tien que dar el mesmu númberu f '(z₀).

Intuitivamente, si f ye complexu-diferenciable en z₀ y averamos al puntu z₀ dende la direición r, entós les imáxenes van averase al puntu f(z₀) dende la direición f '(z₀) r, onde l'últimu productu ye la multiplicación de númberos complexos. Esti conceutu de diferenciabilidad comparte delles propiedaes cola diferenciabilidad en casu real: ye llinial y obedez a les regles de derivación del productu, del cociente y de la cadena.

Si f ye complexu-diferenciable y les derivaes son continues en cada puntu z₀ en O, dizse que f ye holomorfa n'O. Ye claro que, al igual que nel casu real, si f ye holomorfa y inyectiva en O —con inversa continua— entós $f^{-1}$ ye holomorfa y el so derivada vale:

$(f^{-1})'(z)={1 \over f'(f^{-1}(z))}$

Exemplos

Toles funciones polinómiques en z con coeficientes complexos son holomorfes sobre C, y tamién lo son les funciones trigonométriques de z y la función esponencial. (Les funciones trigonométriques tán de fechu rellacionaes estrechamente con esta postrera y pueden definise a partir d'ella usando la fórmula d'Euler). La caña principal de la función llogaritmu ye holomorfa sobre'l conxuntu C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raigañu cuadráu puede definise como : ${\sqrt {z}}=y^{{\frac {1}{2}}\ln z}$ y ye por tanto allá onde lo seya la función llogaritmu ln(z). La función 1/z ye holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Les funciones trigonométriques inverses tienen cortes y son holomorfes en tolos puntos sacante nestes cortes.

Propiedaes

Una y bones la diferenciación complexa ye llinial y cumple les regles del productu, del cociente y de la cadena, va tenese que les sumes, productos, composiciones son tamién holomorfes, y el cociente de dos funciones holomorfes lo va ser allá onde'l denominador seya distintu de cero.

Cada función holomorfa ye infinitamente diferenciable en cada puntu, y coincide cola so propia serie de Taylor; esta serie va converxer sobre cada discu abiertu que s'atope dientro del dominiu O. La serie de Taylor puede converxer nun discu más grande; por casu, la serie de Taylor pal llogaritmu converxe sobre cada discu que nun contenga al 0, inclusive nes cercaníes de la llinia real negativa. Ver demostración de que les funciones holomorfes son analítiques.

Si identifícase C con R², entós les funciones holomorfes son les mesmes qu'aquelles funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan les ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par d'ecuaciones diferenciales parciales.

Les funciones holomorfes son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, nel sentíu de que caltienen ángulos y la forma (pero non el tamañu) de les figures pequeñes.

La fórmula integral de Cauchy diz que los valores, dientro d'un discu, d'una función holomorfa, queden determinaos polos valor de la función na frontera del discu.

Ver tamién

• función meromorfa
• función antiholomorfa

Referencies

• Weisstein, Eric W. «Holomorphic function» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.