En trigonometría el arcocosenu tá definíu como la función inversa del cosenu d'un ángulu .Si tenemos:
arccos
α
{\displaystyle \arccos \alpha }
arcu que'l so cosenu ye alfa .
La función cosenu nun ye biyeutiva , polo que nun tien inversa. Ye dable, aplica-y una restrición del dominiu de mou que se torne inyeutiva y sobreyeutiva . Por convención ye preferible restrinxir el dominiu de la función cosenu al intervalu
[
0
,
π
]
{\displaystyle \left[0,\pi \right]}
L'arcocosenu d'una función continua ye estrictamente decreciente, definía por tol valor del intervalu
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
arccos
:
[
−
1
,
1
]
→
[
0
,
π
]
{\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}
(
0
,
π
2
)
{\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}
arccos
x
=
π
−
arccos
(
−
x
)
{\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}
La derivada de la función arcocosenu ye
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
La serie de Taylor correspondiente ye
arccos
x
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
−
1
2
k
)
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
π
2
−
x
−
1
6
x
3
−
3
40
x
5
−
5
112
x
7
−
⋯
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots }
Per aciu de la guía descrita simétrica vale la rellación por argumentos negativos:
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x}
Ye dable combinar la suma o diferencia d'arcocosenu nuna espresión matemática, au l'arcocosenu figura una rotación:
arccos
x
1
+
arccos
x
2
=
{
arccos
(
x
1
x
2
−
1
−
x
1
2
1
−
x
2
2
)
x
1
+
x
2
≥
0
2
π
−
arccos
(
x
1
x
2
−
1
−
x
1
2
1
−
x
2
2
)
x
1
+
x
2
<
0
{\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}
arccos
x
1
−
arccos
x
2
=
{
−
arccos
(
x
1
x
2
+
1
−
x
1
2
1
−
x
2
2
)
x
1
≥
x
2
arccos
(
x
1
x
2
+
1
−
x
1
2
1
−
x
2
2
)
x
1
<
x
2
{\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}
![{\displaystyle \left[0,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e34615383b8ffe6f079cfd094c2b274fab51a4)
![{\displaystyle \left[-1,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79566f857ac1fcd0ef0f62226298a4ed15b796ad)
![{\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dd622c97420ff8a1cdbdc5b790802c4e6700b1)
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Datos: Q720341