Serie de Taylor

En matemátiques, una serie de Taylor ye un aproximamientu de funciones por aciu una serie de potencies o suma de potencies enteres de polinomios como $(x-a)^{n}$ llamaos términos de la serie, felicidá suma calcular a partir de les derivaes de la función pa un determináu valor o puntu $a$ abondo derivable sobre la función y una redolada sobre'l cual converxa la serie. A la serie centrada sobre'l puntu cero, $a=0$, denominar tamién serie de McLaurin.

Serie de Taylor
términu y conceutu matemáticu
serie de potencias (es) y serie de Laurent (es)

A midida que aumenta'l grau del polinomiu de MacLaurin, s'avera a la función. Ilústrense los aproximamientos de MacLaurin a sen(x), centraes en 0, de graos 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La Gráfica d'una función gráfica de la función esponencial (n'azul), y la suma de los primeres n+1 términos de la so serie de Taylor en redol a cero (en colloráu).

Esti aproximamientu tien tres ventaja importantes:

• la derivación ya integración d'una d'estes series puede realizase términu a términu, que resulten operaciones triviales;
• puede utilizase pa calcular valores averaos de funciones;
• ye posible calcular la optimidad del aproximamientu.

Delles funciones non pueden escribise como serie de Taylor porque tienen dalguna singularidá. Nestos casos de normal puede consiguise un desenvolvimientu en serie utilizando potencies negatives de x (vease Serie de Laurent). Por casu f(x) = exp(−1/x²) puede desenvolvese como serie de Laurent.

Definición

La serie de Taylor d'una función f real o complexa ƒ(x) infinitamente diferenciable nel redolada d'un númberu real o complexu a ye la siguiente serie de potencies:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

que puede ser escritu d'una manera más compacta como la siguiente suma:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,$,

onde:

• n! ye'l factorial de n
• f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f pal valor a de la variable respectu de la cual derívase.

La derivada d'orde cero de f ye definida como la mesma f y tantu (x − a)⁰ como $0!$ son dambos definíos como 1 ($0!$ = 1). En casu de ser a = 0, como yá se mentó, la serie denominar tamién de McLaurin.

Hai de solliñar que nuna serie de Taylor de potencies centrada en a de la forma $\sum _{}^{}a_{n}(x-a)^{n}$ siempres puede faese el cambéu de variable $z=x-a$ (colo que $x=z+a$ na función a desenvolver orixinal) pa espresala como $\sum _{}^{}a_{n}z^{n}$ centrada en 0. Depués hai que desfaer el cambéu de variable. Por casu, si quier desenvolvese la función $f(x)=x\ln x$ alredor de a = 1 puede tomase $z=x-1$, de manera que se desenvolvería $f(z+1)=(z+1)\ln(z+1)$ centrada en 0.

Historia

El filósofu eleata Zenón d'Elea consideró'l problema de sumar una serie infinita pa llograr un resultáu finito, pero refugar por consideralo imposible: la resultancia fueron les paradoxes de Zenón. Darréu, Aristóteles propunxo una resolución filosóficu a la paradoxa, pero'l conteníu matemático d'esta nun quedó resueltu hasta que lo retomaron Demócrito y dempués Arquímedes. Foi al traviés del métodu refechu de Arquímedes qu'un númberu infinitu de subdivisiones xeométriques progresives podíen algamar un resultáu trigonométrica finito. Independientemente, Liu Hui utilizó un métodu similar cientos d'años dempués.

Nel sieglu XIV, los primeros exemplos del usu de series de Taylor y métodos similares fueron daos por Madhava de Sangamagrama. A pesar de qu'anguaño nengún rexistru del so trabayu sobrevivió a los años, escritos de matemáticos hindús posteriores suxeren qu'él atopó un númberu de casos especiales de la serie de Taylor, incluyíos aquellos pa les funciones trigonométriques del senu, cosenu, tanxente y arcotangente.

Nel sieglu XVII, James Gregory tamién trabayó nesta área y publicó delles series de Maclaurin. Pero en 1715 presentóse una forma xeneral pa construyir estes series pa toles funciones pa les qu'esiste y foi presentáu por Brook Taylor, de quién recibe'l so nome.

Les series de Maclaurin fueron nomaes asina por Colin Maclaurin, un profesor d'Edimburgu, quién publicó'l casu especial de les series de Taylor nel sieglu XVIII.

Función analítica

Si una serie de Taylor converxe pa tou x perteneciente al intervalu (a-r, a+r) y la suma ye igual a f(x), entós la función f(x) llámase analítica. Pa comprobar si la serie converxe a f(x), suelse utilizar una estimación del restu del teorema de Taylor.

Una función ye analítica si y solu si puede representase con una serie de potencies; los coeficientes d'esa serie son necesariamente los determinaos na fórmula de la serie de Taylor.

Suelse averar una función por aciu un númberu finito de términos de la so serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de felicidá aproximamientu. Denominar polinomiu de Taylor al númberu finito de los términos iniciales de la serie de Taylor d'una función. La serie de Taylor d'una función ye, en casu d'esistir, el Llende d'una socesión llende del polinomiu de Taylor d'esa función. Una función puede nun ser igual a la serie de Taylor nin siquier converxendo tal serie pa cada puntu. Una función igual a la so serie de Taylor nun intervalu abiertu (o un discu nel planu complexu) denominar función analítica..

Series de McLaurin notables

La función cosenu.

Un aproximamientu d'octavu orde de la función cosenu nel planu de los complexos.

Los dos imáxenes cimeres xuníes.

De siguío numbérense delles series de Taylor de funciones básiques. Tolos desarrollos son tamién válidos pa valores complexos de x.

Función esponencial y llogaritmu natural

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x;n\in \mathbb {N} _{0}$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<1$

Serie xeométrica

${\frac {a}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }ax^{n}\quad {\mbox{ pa }}\left|x\right|<1$

Funciones trigonométriques

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,{\mbox{ pa }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Onde B_s son los Númberos de Bernoulli.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Y_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\csc {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad {\mbox{, pa }}0<\left|{x}\right|<\pi$

$\arcsin x=\sum ^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<1$

Funciones hiperbóliques

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<1$

$\tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<1$

Función W de Lambert

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{, pa }}\left|x\right|<{\frac {1}{y}}$

Los númberos B_k qu'apaecen nos desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Númberos de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desenvolvimientu del binomiu son los coeficientes binomiales. Los Y_k del desenvolvimientu de sec(x) son Númberos de Euler.

Delles variables

La serie de Taylor puede xeneralizase a funciones de $d$ variables:

$\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}=$

$\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}\sum _{n_{1}+\cdots +n_{d}=n}{n \choose n_{1}\cdots n_{d}}{\partial ^{n}f(a_{1},\cdots ,a_{d}) \over \partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}},$.

onde ${n \choose n_{1}\cdots n_{d}}$ ye un coeficiente multinomial. Como exemplu, pa una función de 2 variables, x y y, la serie de Taylor de segundu orde nuna redolada del puntu (a, b) ye:

$f(x,y)\,$

$\approx f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)\,$

$+{\frac {1}{2}}\left(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\right).$

Un polinomiu de Taylor de segundu grau puede ser escritu de manera compacta asina:

$T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla f(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots$

onde $\nabla f(\mathbf {a} )$ ye'l gradiente y $\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )$ ye la matriz hessiana. Otra forma:

$T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}$

Aplicaciones

Amás de la obvia aplicación d'utilizar funciones polinómiques en llugar de funciones de mayor complexidá p'analizar el comportamientu local d'una función, les series de Taylor tienen munches otres aplicaciones.

Dalgunes d'elles son: analís de llendes y estudios paramétricos de los mesmos, estimación de númberos irracionales acutando'l so error, teorema de L'Hopital pal resolución de llendes indeterminaes, estudiu de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o punto silla d'enclín puramente creciente o decreciente), estimación d'integrales, determinación de converxencia y suma de delles series importantes, estudiu d'orde y parámetru principal d'infinitésimos, etc.

Ver tamién

• Serie matemática
• Serie de Laurent

Enllaces esternos

• Weisstein, Eric W. «Serie de Taylor» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Madhava of Sangamagramma
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method Archiváu 2005-12-02 en Wayback Machine"
• Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series