Cálculu de variaciones

El cálculu de variaciones o cálculu variacional ye un problema matemáticu consistente en buscar Estremos d'una función máximos y mínimos (o más xeneralmente estremos relativos) de funcionales continuos definíos sobre dalgún espaciu funcional. Constitúin una xeneralización del cálculu elemental de máximos y mínimos de funciones reales d'una variable


HistoriaEditar

El cálculu de variaciones desenvolver a partir del problema de la curva braquistócrona, plantegáu primeramente por Johann Bernoulli (1696). Darréu esti problema captó l'atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, anque foi Leonhard Euler el primeru qu'ellaboró una teoría del cálculu variacional. Les contribuciones de Euler empecipiar en 1733 cola so Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculu de variaciones') que da nome a la disciplina.

Lagrange contribuyó estensamente a la teoría y Legendre (1786) asitió un métodu, non dafechu satisfactoriu pa estremar ente máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz tamién emprestaron atención a esti asuntu.[1] Otros trabayos destacaos fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Carl Jacobi (1837). Un trabayu xeneral particularmente importante ye'l de Sarrus (1842) que foi resumíu por Cauchy (1844). Otros trabayos destacaos posteriores son los de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), anque quiciabes el más importante de los trabayos mientres el sieglu XIX ye'l de Weierstrass. Esti importante trabayu foi una referencia estándar y ye el primeru que trata'l cálculu de variaciones sobre una base firme y rigoroso. Los problema 20 y 23 de Hilbert plantegaos en 1900 aguiyaron dellos desarrollos posteriores.[1] Mientres el sieglu XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, ente otros, fixeron contribuciones notables.[1] Marston Morse aplicó'l cálculu de variaciones a lo qu'anguaño se conoz como teoría de Morse.[2] Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desenvolvieron nueves ferramientes matemátiques dientro de la teoría del control óptimo, xeneralizando'l cálculu de variaciones.[2]

Problema IsoperimétricoEditar

Artículu principal: Isoperimetría

¿Cuál ye la área máxima A que puede arrodiase con una curva de llargor L dada? Si nun esisten restricciones adicionales, la solución ye:


 

Que ye'l valor que se llogra pa un círculu de radiu  .

Si impónense restricciones adicionales la solución ye distinta. Un exemplu ye si suponemos que L considérase sobre una función   y los estremos de les curva tán sobre los puntos   onde la distancia ente ellos ta dada. Ye dicir  . El problema de topar una curva que maximice la área ente ella y l'exa x sería, topar una función   de cuenta que:


 

coles restricciones:


 

BraquistócronaEditar

El problema de la curva braquistócrona remontar a J. Bernoulli (1696). Referir a atopar una curva nel planu cartesianu que vaya del puntu   al orixe de cuenta que un puntu material que s'esmuz ensin resfregón sobre ella tarda'l menor tiempu posible en dir de   al orixe. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formulase como,


 

onde g ye la gravedá y les restricciones son,  ,  . Hai que notar qu'en   esiste una singularidá.

Formulación xeneralEditar

Unu de los problemes típicos en cálculu diferencial ye'l d'atopar el valor de   pal cual la función   algama un valor estremu (máximu o mínimu). Nel cálculu de variaciones el problema ye atopar una función   pa la cual un funcional   algame un valor estremu. El funcional   ta compuestu por una integral que depende de  , de la función   y dalgunes de les sos derivaes.

(1a)

 

Onde la función   pertenez a dalgún espaciu de funciones (espaciu de Banach, espaciu de Hilbert), y tantu ella como les sos derivaes pueden tener restricciones. Esta fórmula integral pue ser más complicada dexando a   ser un vector, y polo tanto incluyendo derivaes parciales pa  :

(1b)

 

Espacios funcionalesEditar

La fundamentación rigorosa del cálculu de variaciones rique considerar variedaes diferenciales lliniales de dimensión infinita. De fechu el puntu de partida del cálculu de variaciones ye un teorema d'analís funcional que prueba que ye posible considerar una curva nun espaciu funcional (y.g. trayeutoria nel espaciu fásico) a cencielles como una función con una variable adicional, concretamente:[3]

La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones nidies ente ellos ye cerrada pol productu cartesianu, de tal manera que se tien la siguiente biyección natural:


 

onde   son espacios vectoriales convenientes y la biyección anterior ye un difeomorfismo.

El teorema anterior puede aplicase por casu al principiu de mínima aición onde trata d'atopase la trayeutoria posible nel espaciu de fases que fai mínima la integral d'aición. Dicha trayeutoria ye una curva nidia nel espaciu de trayectories Y, considerando agora:


 

Tiense que'l problema de minimización puede amenorgase a embrivir una cierta función real f de variable real:


 

Estremos relativos débiles y fuertesEditar

Un problema variacional rique que'l funcional   tea definíu sobre un espaciu de Banach   fayadizu. La norma vectorial de dichu espaciu ye lo que dexa definir rigorosamente si una solución ye un mínimu o un máximu relativu. Por casu una función   ye un mínimu relativu si esiste un ciertu   tal que, pa toa función   cumplir que:


 


Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. 1,0 1,1 1,2 van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.
  2. 2,0 2,1 Plantía:Cite arXiv
  3. A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

BibliografíaEditar

Enllaces esternosEditar