Problema matemáticu

Un problema matemáticu consiste en buscar una determinada entidá matemática d'ente un conxuntu d'entidaes del mesmu tipu qu'amás satisfaiga les llamaes condiciones del problema. Formalmente tou problema puede amenorgase a una terna $(S,C(),r)\,$ onde $S\,$ ye un conxuntu d'oxetos, $C(s)\,$ ye una condición (o condiciones) tal que dau $s\in S$ puede o nun ser satisfechu (pa ello la condición tien de ser una fórmula lóxica bien formada y zarrada). La resolución del problema ye un procedimientu que determina cual ye l'únicu $r\in S$ que satisfai $C(r)\,$ .

Dellos problemes clásicos como'l de la cuadradura del círculu o otros onde se trata de decidir si una afirmación P ye o non cierta, pueden amenorgase a la forma de terna si tomamos como $S\,$ el conxuntu de demostraciones posibles y $C(X)\,$ como la condición de "X ye una demostración válida de que l'afirmación del problema P ye cierta". Dizse qu'un problema nun tien solución cuando $\forall r\in S:\lnot C(r)$ , esto ye, $\lnot \exists r\in S:C(r)$ .

Ejemplo

Ecuación alxebraica

Un exemplu senciellu sería atopar los númberos enteros que satisfaen la siguiente igualdá $r^{2}-2r+1=0\,$ . Equí'l conxuntu sobre'l que se plantega'l problema ye conxuntu de los númberos enteros $\mathbb {Z}$ , la condición ye que se cumpla l'anterior igualdá, y $r\,$ ye l'únicu númberu que la satisfai (puede trate que $r\,$ = 1).

Más polo xeneral, la resolución d'una ecuación alxebraica ye un problema matemáticu plantegáu sobre un conxuntu $\mathbb {K}$ que tien estructura de cuerpu o aniellu alxebraicu consistente en buscar elementos $r\in \mathbb {K}$ que cumplan la siguiente igualdá:

C(x)=a_{n}\cdot r^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}=0

Si namái esiste un elementu que cumpla l'anterior igualdá, esto puédese reformular como un problema del tipu $(\mathbb {K} ,C(r)=0,r)\,$ , anque de normal el problema anterior almite más d'una solución polo que'l problema matemáticu puramente dichu ye atopar un conxuntu de soluciones $S\,$ , y por tanto cuando la solución nun ye única tenemos de resolver un problema de tipu $({\mathcal {P}}(\mathbb {K} ),\left[\forall x\in S:C(x)=0\right],S)\,$ , onde ${\mathcal {P}}(\mathbb {K} )\,$ ye'l conxuntu de les partes de $\mathbb {K} \,$

Problema xeométricu elemental

Otros problemes consisten n'atopar un procedimientu xeométricu pa trazar con regla y compás una circunferencia, ángulu, polígonu o recta que cumpla ciertes condiciones.

Un problema bien senciellu ye'l de fitos 3 puntos non alinealdos nel planu euclídeo, atopar una circunferencia que pase por toos ellos.

El problema matemáticu asociáu podría ser denotado como $({\mathcal {C}},\left\{A,B,C\right\}\subset C,C_{1})\,$ , onde ${\mathcal {C}}$ ye'l conxuntu de tolos círculos posibles del planu euclídeo. El problema anterior resuélvese si toma'l segmentu ${\overline {AB}}$ y atópase la so recta mediatriz M₁ y tómase el segmentu ${\overline {BC}}$ y atópase la so recta mediatriz M₂

el centru O de la circunferencia buscada $C_{1}\,$ coincide cola interseición de les mediatrices

el radiu de la circunferencia buscada col llargor de los segementos que xunen el centru con cualesquier de los puntos:

O=M_{1}\cap M_{2}\qquad R=|{\overline {OA}}|=|{\overline {OB}}|=|{\overline {OC}}|

Al conocer el centru de la circunferencia y el so radiu, queda totalmente determinada la solución al problema xeométricu plantegáu. Otru exemplu ye'l problema de Apolonio.

Problema de cálculu elemental

Un tipu bien frecuente de problema matemáticu de cálculu elemental son los problemes de maximización o minimización. Por casu:

Pa fabricar un recipientes cilíndricos metálicos de chapa, atopar la rellación ente l'altor: h y el radiu: r necesaria por que pueda contener un volume V prefijado (por casu V = 400 ml) usando la menor cantidá de chapa posible.

Este ye claramente un problema de minimización yá que pretendemos usar la mínima cantidá de chapa. El problema matemáticu sería $(r_{cil,V=400ml},min_{r}S(r),r)\,$ onde, $r_{cil,V=400ml}\,$ ye'l conxuntu teóricu de tolos posibles recipientes cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidá; $S(r)\,$ ye l'área del recipiente en función del radiu $r\,$ del mesmu. La solución preséntase de siguío.

Llamemos S a la superficie total de chapa, que va ser direutamente proporcional a la cantidá de chapa emplegada nel recipiente, llamemos al radiu del recipiente r y al so altor h. Entós tenemos que la so superficie: S y el so volume: V vienen daos por:

\left\{{\begin{array}{l}V=\pi r^{2}\,h\\S=2\,\pi r\,h+2\pi r^{2}\end{array}}\right.

Si substituimos estenamos h de la primer ecuación y la substituimos na segunda tenemos que la cantidá de chapa necesaria pa construyir un recipiente cilíndricu de volume V y radiu r vien dada por:

S(R)={\cfrac {2V}{r}}+2\pi r^{2}

P'atopar el mínimu podemos usar el cálculu elemental que nos diz que'l valor de r pal cual la derivada de l'anterior función anúlase ye'l valor qu'embrive la función:

\left.{\begin{array}{l}{\cfrac {dS(r)}{dr}}={\cfrac {-2V}{r^{2}}}+4\pi r\\{\cfrac {dS(r)}{dr}}=0\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 4\pi r={\cfrac {2V}{r^{2}}}\quad \longrightarrow \quad 2\pi r^{3}=V

Colo que queda definíu r pa un V dadu, si'l volume nun se conoz:

\left.{\begin{array}{l}2\pi r^{3}=V\\V=\pi r^{2}\,h\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 2\pi r^{3}=\pi r^{2}\,h\quad \longrightarrow \quad 2r=h

Esto ye, que de tolos recipientes cilíndricos de chapa d'igual volume'l que menos chapa precisa pa ser fabricáu ye unu en que l'altor del mesmu sía xustu dos vegaes el radiu.

Problemes non algorítmicos

Munchos problemes práuticos pueden resolvese por aciu algoritmos. Inclusive esisten téuniques práutiques pa buscar dichos algoritmos como la resolución de problemes de programación. Práuticamente siempres los problemes didácticos que contienen los llibros de testu pa estudiantes de ciencies, o los problemes práuticos d'inxeniería son problemes qu'almiten solución algorítmica.

Sicasí, pa dellos otros problemes interesantes pudo probase que nun esiste un algoritmu que por aciu un conxuntu finito de pasos atope una solución (o alternativamente amuese que'l conxuntu de soluciones ye vacíu). Dellos exemplos de problemes non algorítmicos son:

La resolución de sistemes d'ecuaciones diofánticas.
La equivalencia topolóxica de variedaes.
El problema de les pallabres para semigrupos.
El problema de la teselación del planu euclídeo.
El problema de la determinación y clasificación completa de tolos grupos simples finitos^[1]

Ver tamién

Problemes ensin resolver de la matemática

Referencies

↑ Algebra Astracta ISBN 0-201-64052-X

Bibliografía

George Pólya: How to Solve It, Princeton, 1945. ISBN 0-691-08097-6.
Pólya, George (1965). Cómo Plantegar y Resolver Problemes. Editorial Tríes. ISBN 968-24-0064-6.

[1] Algebra Astracta ISBN 0-201-64052-X

[1]