Espaciu de Hilbert

En matemátiques, el conceutu de espaciu de Hilbert ye una xeneralización del conceutu d'espaciu euclideu. Esta xeneralización dexa que nociones y téuniques alxebraiques y xeométriques aplicables a espacios de dimensión dos y trés estender a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita. Exemplos de tales nociones y téuniques son la d'ángulu ente vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyeición ortogonal, distancia ente vectores y converxencia d'una socesión. El nome dau a estos espacios ye n'honor al matemáticu David Hilbert quien los utilizó nel so estudiu de les ecuaciones integrales.

Más formalmente, defínese como un espaciu de productu interior que ye completu con al respective de la norma vectorial definida pol productu interior. Los espacios de Hilbert sirven pa clarificar y pa xeneralizar el conceutu de series de Fourier, ciertes tresformamientos lliniales tales como la tresformamientu de Fourier, y son d'importancia crucial na formulación matemática de la mecánica cuántica.

Los espacios de Hilbert y les sos propiedaes estúdiense dientro del analís funcional.

Introducción

Como s'esplica nel artículu dedicáu a los espacios de productu interior, cada productu interior <.,.> nun espaciu vectorial H, que puede ser real o complexu, da llugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

H ye un espaciu de Hilbert si ye completu con al respective de esta norma. Completu nesti contestu significa que cualesquier socesión de Cauchy d'elementos del espaciu converxi a un elementu nel espaciu, nel sentíu que la norma de les diferencies tiende a cero. Cada espaciu de Hilbert ye asina tamién un espaciu de Banach (pero non viceversa).

Tolos espacios finito-dimensionales con productu interior (tales como'l espaciu euclideu col productu angular ordinariu) son espacios de Hilbert. Esto dexa que podamos extrapolar nociones dende los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita (por casu los espacios de funciones). Sicasí, los exemplos infinitu-dimensionales tienen munchos más usos. Estos usos inclúin:

La teoría de les representaciones del grupu unitaries.
La teoría de procesos estocásticos cuadráu integrables.
La teoría n'espacios de Hilbert d'ecuaciones diferenciales parcialessobremanera formulaciones del problema de Dirichlet.
Analís espectral de funciones, incluyendo teoríes de wavelets.
Formulaciones matemátiques de la mecánica cuántica.

El productu interior dexa qu'unu adopte una visión "xeométrica" y qu'utilice el llinguaxe xeométricu familiar de los espacios de dimensión finita. De tolos espacios vectoriales topolóxicos infinitu-dimensional, los espacios de Hilbert son los de "meyor comportamientu" y los más cercanos a los espacios finito-dimensionales.

Los elementos d'un espaciu de Hilbert astractu dacuando llámense "vectores". Nes aplicaciones, son típicamente socesiones de númberos complexos o de funciones. En mecánica cuántica por casu, un conxuntu físicu ye descritu per un espaciu complexu de Hilbert que contenga les "funciones d'ondes" pa los estaos posibles del conxuntu. Vease formulación matemática de la mecánica cuántica.

Una de les metes del analís de Fourier ye facilitar un métodu pa escribir una función dada como la suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funciones baxes daes. Esti problema puede estudiase de manera astracta nos espacios de Hilbert: cada espaciu de Hilbert tien una base ortonormal, y cada elementu del espaciu de Hilbert puede escribise nuna manera única como suma de múltiplos d'estos elementos baxos.

Los espacios de Hilbert fueron nomaos asina por David Hilbert, que los estudió nel contestu de les ecuaciones integrales. L'orixe de la designación, anque ye confusu, foi utilizáu yá por Hermann Weyl nel so famosu llibru la teoría de grupos y la mecánica cuántica publicáu en 1931. John von Neumann foi quiciabes el matemáticu que más claramente reconoció la so importancia.

Exemplos

Nos siguientes exemplos, vamos asumir que'l cuerpu subxacente d'angulares ye $\mathbb {C}$ , anque les definiciones son similares al casu de que'l cuerpu subxacente d'angulares seya $\mathbb {R}$ .

Espacios euclidianos

El primer exemplu, que yá fuera avanzáu na seición anterior, constituyir los espacios de dimensión finita col productu angular ordinariu.

N'otres pallabres, $\mathbb {C}$ ⁿ cola definición de productu interior siguiente:

$\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}$

onde la barra sobre un númberu complexu denota la so conxugación complexa.

Espacios de socesiones

Los espacios de Hilbert non necesariamente tienen dimensión finita, de fechu en munches aplicaciones típicamente l'espaciu de Hilbert consideráu ye un espaciu de Hilbert infinitu-dimensional. Unu de los exemplos d'espaciu de Hilbert de dimensión infinita ye'l siguiente: si B ye un conxuntu, definimos $\ell ^{2}(B)$ sobre B, de la forma:

$\ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}$

Esti espaciu convertir nun espaciu de Hilbert col productu interior

$\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)$

pa tou x y y en $\ell ^{2}(B)$ . B nun tien porqué ser un conxuntu contable nesta definición, anque si B nun ye contable, l'espaciu de Hilbert que resulta nun ye xebrable. Espresáu de manera más concreta, cada espaciu de Hilbert ye isomorfu a unu de la forma $\ell ^{2}(B)$ pa un conxuntu fayadizu B. Si B = N, escríbese a cencielles $\ell ^{2}$ . Dellos exemplos de socesiones de $\ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ :

$v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Sicasí:

$w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ nun ta definida, una y bones }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty$

Espacios de Lebesgue

Otru exemplu interesante d'espacios de Banach de dimensión infinita son los espacios L^p. Estos son espacios funcionales acomuñaos a espacios de midida (X, M, μ), onde M ye una σ-álxebra de subconxuntos de X y μ ye una midida contablemente aditiva en M. Si p = 2 estos espacios son amás un espaciu de Hilbert, seya por tanto, L² _μ(X) l'espaciu de funciones medibles cuadráu-integrables complexu-valoraes en X, módulu'l subespacio d'eses funciones que la so integral cuadrática seya cero, o equivalentemente igual a cero cuasi perdayures. cuadráu integrable significa que la integral del cuadráu del so valor absolutu ye finita. módulo igualdad cuasi perdayures significa que les funciones son identificaes si y namái si son iguales salvo un conxuntu de midida 0.

El productu interior de les funciones f y g dase como:

$\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)$

Unu precisa demostrar:

Qu'esta integral tien de fechu sentíu.
Que'l espaciu que resulta ye completu.

Éstos son fechos téunicamente fáciles. Reparar que al usar la integral de Lebesgue asegurar de que l'espaciu seya completu. Vea espacios L^p pa discutiniu adicional d'esti exemplu.

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev, denotados por $W^{m,p}(\Omega )\,$ son otru exemplu d'espacios de Hilbert, que s'utilicen bien de cutiu nel marcu de les ecuaciones en derivaes parciales definíes sobre un ciertu dominiu $\Omega \,$ . Los espacios de Sobolev xeneralicen los espacios L^p.

Amás de los espacios de Sobolev xenerales $W^{m,p}\,$ úsense ciertes notaciones particulares pa ciertu tipu d'espacios:

$H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,$
$H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}$

Bases ortonormales

Un conceutu importante ye'l d'una base ortonormal d'un espaciu de Hilbert H: esta ye una familia {y_k}_{k ∈ B} de H 'satisfaciendo:

Los elementos tán normalizaos: Cada elementu de la familia tien norma 1: ||y_k|| = 1 pa tou k en B
Los elementos son ortogonales: Dos elementos cualesquier de B son ortogonales, esto quier dicir: <y_k, y_j> = 0 pa tolos k, j en B cumpliendo la condición j ≠ k.
Espansión trupa: La espansión llinial de B ye trupa en H.

Tamién utilizamos les espresiones secuencia ortonormal y conxuntu ortonormal. Los exemplos de bases ortonormales inclúin:

El conxuntu {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma una base ortonormal de R³
La secuencia {f_n: n ∈ Z} con f_n(x) = exp(2πinx) forma una base ortonormal del espaciu complexu L²([0, 1])
La familia {y_b: b ∈ B} con y_b(c) = 1 si b = c y 0 en casu contrariu, forma una base ortonormal de l²(B).

Reparar que nel casu infinitu-dimensional, una base ortonormal nun va ser una base nel sentíu del álxebra llinial; pa estremar los dos, la última base llámase una base de Hamel.

Usando'l lema de Zorn, puede demostrase que cada espaciu de Hilbert almite una base ortonormal; amás, cualesquier dos bases ortonormales del mesmu espaciu tienen el mesmu cardinal. Un espaciu de Hilbert ye xebrable si y solamente si almite una base ortonormal numerable.

Puesto que tolos espacios xebrables infinitu-dimensional de Hilbert son isomorfos, y yá que cuasi tolos espacios de Hilbert usaos na física son xebrables, cuando los físicos falen de espaciu de Hilbert quieren significar el xebrable.

Si {y_k}_{k ∈ B} ye una base ortonormal de H, entós cada elementu x de H puede escribise como:

$x=\sum _{k\in B}\langle y_{k},x\rangle y_{k}$

Inclusive si B nun ye numerable, namái contablemente munchos términos nesta suma van ser distintes a cero, y la espresión ta polo tanto bien definida. Esta suma tamién se llama la espansión de Fourier de x.

Si {y_k}_{k ∈ B} ye una base ortonormal de H, entós H ye isomorfu a l²(B) nel sentíu siguiente: esiste una función llinial biyectiva Φ : H → l²(B) tal que

\langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,y\rangle

pa tou x y y en H.

Operaciones nos espacios de Hilbert

Suma direuta y productu tensorial

Daos dos (o más) espacios de Hilbert, podemos combinalos nun espaciu más grande de Hilbert tomando'l so suma direuta o la so productu tensorial. La primer construcción basar na unión de conxuntos y la segunda nel productu cartesianu.

La suma direuta rique que $H_{1}\cap H_{2}=\{0\}$ , y ye'l mínimu espaciu de Hilbert que "contién" a la unión de los dos conxuntos:

$H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})$

Ente que el productu tensorial ye'l mínimu espaciu de Hilbert que "contién" al productu castesiano:

$H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})$

Complementos y proyeiciones ortogonales

Si S ye un subconxuntu del espaciu de Hilbert H, definimos el conxuntu de vectores ortogonales a S

$S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}$

$\scriptstyle S^{\bot }$ ye un subespacio zarráu de H y forma, poro, un espaciu de Hilbert. Si V ye un subespacio zarráu de H, entós el $\scriptstyle V^{\bot }$ llámase'l complementu ortogonal de V. Ello ye que cada x en H puede entós escribise unívocamente como x = v + w con v en V y w en $\scriptstyle V^{\bot }$ . Poro, H ye la suma direuta interna de Hilbert de Vy $\scriptstyle V^{\bot }$ . L'operador llinial P_V : H → H que mapea x a v llámase la proyeición ortogonal sobre V.

Teorema. La proyeición ortogonal P_V ye un operador llinial autu-axuntu en H con norma ≤ 1 cola propiedá P_V² = P_V. Per otra parte, cualquier operador llinial Y autu-axuntu tal que Y² = Y ye de la forma P_V, onde V ye'l rangu de Y. Pa cada x en H, P_V(x) ye l'elementu únicu v en V qu'embrive la distancia ||x - v||.

Esto apurre la interpretación xeométrica de P_V(x): ye'l meyor aproximamientu a x por un elementu de V.

Reflexividá

Una propiedá importante de cualquier espaciu de Hilbert ye la so reflexividá, esto ye, el so espaciu bidual (dual del dual) ye isomorfu al propiu espaciu. Ello ye que tiense inda más, el mesmu espaciu dual ye isomorfu al espaciu orixinal. Tiense una descripción completo y conveniente del espaciu dual (l'espaciu de toles funciones lliniales continues del espaciu H nel cuerpu base), que ye en sí mesmu un espaciu de Hilbert. Ello ye que el teorema de representación de Riesz establez que pa cada elementu φ del H ' dual esiste un y solamente un o en H tal que

$\phi \left(x\right)=\langle o,x\rangle$

pa tou x en H y l'asociación φ ↔ o apurre un isomorfismu antilineal ente H y H '. Esta correspondencia ye esplotada pola notación bra-ket popular na física pero que fai fruncir el ceñu a los matemáticos.

Operadores n'espacios de Hilbert

Operadores acutaos

Pa un espaciu H de Hilbert, los operadores lliniales continuos A: H → H son d'interés particular. Un tal operador continuu ye acutáu nel sentíu que mapea conxuntos acutaos a conxuntos acutaos. Esto dexa definir el so norma como

$\lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.$

La suma y la composición de dos operadores lliniales continuos son de la mesma continuos y lliniales. Pa y en H, la función qu'unvia x a <y, Ax> ye llinial y continua, y según el teorema de representación de Riesz poder polo tanto representar na forma

$\langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .$

Esto define otru operador llinial continuu A^*: H → H, el axuntu de A.

El conxuntu L(H) de tolos operadores lliniales continuos en H, xunto cola adición y les operaciones de composición, la norma y l'operación axuntu, formes una C^*-álxebra; ello ye que ésti ye l'orixe de la motivación y el más importante exemplu d'una C^*-álxebra.

Un elementu A en L(H) llámase autu-axuntu o hermitiano si A^* = A. Esti operadores comparten munches propiedaes de los númberos reales y vense dacuando como xeneralizaciones d'ellos.

Un elementu O de L(H) llámase unitariu si O ye inversible y el so inversu vien dau por O^*. Esto puede tamién ser espresáu riquiendo que <Ux, Uy> = <x, y> pa tolos x, y en H. Los operadores unitarios formen un grupu so composición, que puede vese como'l grupu de automorfismos de H.

Operadores ensin acutar

En mecánica cuántica, unu tamién considera operadores lliniales, que non necesariamente son continuos y que non necesariamente tán definíos en tou espaciu H. Unu rique solamente que se definan nun subespacio mestu de H. Ye posible definir a operadores ensin acutar autu-axuntos, y éstos desempeñen el papel de los observables na formulación matemática de la mecánica cuántica.

Exemplos d'operadores ensin acutar autu-axuntos nel espaciu de Hilbert L²(R) son:

Una estensión conveniente del operador diferencial

$[Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad$

onde i ye la unidá imaxinaria y f ye una función diferenciable de soporte compactu.

L'operador de multiplicación por x:

$[Bf](x)=xf(x).\quad$

éstos correspuenden a los observables de momentu y posición, respeutivamente, espresaos en unidaes atómiques. Repare que nin A nin B definir en tou H, yá que nel casu de A la derivada nun precisa esistir, y nel casu de B la función del productu nun precisa ser cuadráu-integrable. En dambos casos, el conxuntu d'argumentos posibles formen subespacios trupos de L²(R).

Referencies

Dieudonne, Jean Alexandre (1966). Fundamento d'analís modernu. Barcelona: Reverté. ISBN 9788429150605.