Desigualdá matemática

En matemátiques, una desigualdá ye una rellación d'orde que se da ente dos valores cuando éstos son distintos (en casu de ser iguales, lo que se tien ye una igualdá).

Si los valores en cuestión son elementos d'un conxuntu ordenáu, como los enteros o los reales, entós pueden ser comparaos.

La notación a < b significa a ye menor que b;
La notación a > b significa a ye mayor que b

estes rellaciones conócense como 'desigualdaes estrictes, yá que a nun puede ser igual a b; tamién puede lleese como "puramente menor que" o "puramente mayor que".

La notación a ≤ b significa a ye menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a ye mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdaes reciben el nome de desigualdaes amplies (o non estrictes).

La notación a ≪ b significa a ye enforma menor que b;
La notación a ≫ b significa a ye enforma mayor que b;

esta rellación indica polo xeneral una diferencia de dellos órdenes de magnitú.

La notación a ≠ b significa que a nun ye igual a b. Tal espresión nun indica si unu ye mayor que l'otru, o siquier si son comparables.

Pa tener en cuenta:

Xeneralmente tiéndense a confundir los operadores según la posición de los elementos que se tán comparando; didácticamente enséñase que l'abertura ta del llau del elementu mayor. Otra forma de recordar el significáu, ye recordando que'l signu señala/apunta al elementu menor.

Propiedaes

Les desigualdaes tán gobernaes poles siguiente propiedaes. Notar que, pa les propiedaes transitividá, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedá tamién se caltién si los símbolos de desigualdá estricta (< y >) son reemplazaos polos sos correspondientes símbolos de desigualdá non estricta (≤ y ≥).

Transitividá *

Pa númberos reales arbitrarios a,b y c:

Si a > b y b > c entós a > c.
Si a < b y b < c entós a < c.
Si a > b y b = c entós a > c.
Si a < b y b = c entós a < c.

Adición y sustracción

Para númberos reales arbitrarios a,b y c:

Si a < b entós a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entós a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

Pa númberos reales arbitrarios a y b, y c distintu de cero:

Si c ye positivu y a < b entós ac < bc y a/c < b/c.
Si c ye negativu y a < b entós ac > bc y a/c > b/c.

Opuestu *

Pa númberos reales arbitrarios a y b:

Si a < b entós −a > −b.
Si a > b entós −a < −b.

Recíprocu *

Pa númberos reales a y b distintos de cero, dambos positivos o negativos al empar:

Si a < b entós 1/a > 1/b.
Si a > b entós 1/a < 1/b.

Si a y b son de distintu signu:

Si a < b entós 1/a < 1/b.
Si a > b entós 1/a > 1/b.

Función monótona

Al aplicar una función monótona creciente, a entrambos llaos, la desigualdá caltiénse. Si aplícase una función monótona decreciente, la desigualdá inviértese.

Exemplu: $a<b\Leftrightarrow y^{a}<y^{b}$

al aplicar la función esponencial a dambos miembros de la desigualdá, esta caltiénse.

Valor absolutu

Puede definise el valor absolutu per mediu de desigualdaes:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$
$|a|\geq b\iff -b\geq a\vee a\geq b$

Cuerpu ordenáu

Si (F, +, ×) ye un cuerpu y ≤ ye un orde total sobre F, entós (F, +, ×, ≤) ye un cuerpu ordenáu si y solu si:

a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son exemplos comunes de cuerpu ordenáu, pero ≤ nun puede definise nos complexos pa faer de (C, +, ×, ≤) un cuerpu ordenáu.

Les desigualdaes en sentíu ampliu ≤ y ≥ sobre los númberos reales son rellaciones d'orde total, ente que les desigualdaes estrictes < y > sobre los númberos reales son rellaciones d'orde estrictu.

Notación encadenada

La notación a < b < c establez qu'a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedá transitiva enantes citada, puede deducise qu'a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando les lleis anteriores, puede sumase o restase'l mesmu númberu real a los trés términos, según multiplicalos o estremalos toos pol mesmu númberu (distintu de cero) invirtiendo les inecuaciones según el so signu. Asina, a < b + y < c ye equivalente a a - y < b < c - y.

Esta notación puede estendese a cualquier númberu de términos: por casu, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n establez qu'a_i ≤ a_i+1 pa i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedá transitiva, esta condición ye equivalente a a_i ≤ a_j pa cualesquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Dacuando, la notación encadenada usar con inecuaciones en distintes direiciones. Nesi casu'l significáu ye la conxunción lóxica de les desigualdaes ente los términos axacentes. Por casu:

a < b = c ≤ d

significa qu'a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividá: a < d). Esta notación ye utilizada en dalgunos llinguaxes de programación tales como Python.

Desigualdaes ente medies

Les distintes medies pueden rellacionase utilizando desigualdaes. Por casu, pa númberos positivos a₁, a₂, …, a_n, si

$H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}$	(Media harmónica),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(Media xeométrica),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(Media aritmética),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(Media cuadrática),

entós: $H\leq G\leq A\leq Q$ .

Ver tamién

Bibliografía

Hardy, G., Littlewood J.Y., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.
Beckenbach, Y.F., Bellman, R. (1975). Introduction to Inequalities, Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.
Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.
Aurelio Baldor, (1975) Álxebra de Baldor, Edime organización gráfica S.S. Madrid. ISBN 84-399-0259-X