Númberu complexu

Los númberos complexos son una estensión de los númberos reales y formen el mínimu cuerpu alxebraicamente zarráu que los contién. El conxuntu de los númberos complexos desígnase cola notación $\scriptstyle \mathbb {C}$, siendo $\scriptstyle \mathbb {R}$ el conxuntu de los númberos reales que cumplen que $\scriptstyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ ($\scriptstyle \mathbb {R}$ ta puramente conteníu en $\scriptstyle \mathbb {C}$). Los númberos complexos incluyen tolos raigaños de los polinomios, a diferencia de los reales. Tou númberu complexu puede representase como la suma d'un númberu real y un númberu imaxinariu (que ye un múltiplu real de la unidá imaxinaria, que s'indica cola lletra i), o en forma polar.

Ilustración del planu complexu. Los númberos reales alcuéntrense na exa de coordenaes horizontal y los imaxinarios na exa vertical.

Los númberos complexos son la ferramienta de trabayu de l'álxebra, analís, lo mesmo que de cañes de les matemátiques puru y aplicáu como variable complexa, ecuaciones diferenciales, facilitar el cálculu d'integrales, n'aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismu ente otres de gran importancia. Amás los númberos complexos utilícense per auquiera en matemátiques, en munchos campos de la física (notoriamente na mecánica cuántica) y n'inxeniería, especialmente na electrónica y les telecomunicaciones, pola so utilidá pa representar les ondes electromagnétiques y la corriente llétrica.

En matemátiques, estos númberos constituyen un cuerpu y, polo xeneral, considérense como puntos del planu: el planu complexu. Esti cuerpu contién a los númberos reales y los imaxinarios puros. Una propiedá importante que carauteriza a los númberos complexos ye'l teorema fundamental de l'álxebra — pero que se demuestra entá nun cursu de variable complexa —, qu'afirma que cualquier ecuación alxebraica de grau n tien exautamente n soluciones complexes. Los análogos del cálculu diferencial y integral con númberos complexos reciben el nome de variable complexa o analís complexu.

Orixe

El primeru n'usar los númberos complexos foi'l matemáticu italianu Girolamo Cardano (1501–1576) que los usó na fórmula pa resolver les ecuaciones cúbiques. El términu “númberu complexu” foi introducíu pol gran matemáticu alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) que'l so trabayu foi d'importancia básica en álxebra, teoría de los númberos, ecuaciones diferenciales, xeometría diferencial, xeometría non euclidea, analís complexu, analís numbéricu y mecánica teórica, tamién abrió'l camín pal usu xeneral y sistemático de los númberos complexos.

== Definición define cada númberu complexu z como un par ordenáu de númberos reales: z = (a, b). De la mesma el primer elementu a defínese como parte real de z, se denota $a=Re(z)$; el segundu elementu b defínese como parte imaxinaria de z, se denota $b=Im(z)$. Depués nel conxuntu ℂ de los númberos complexos, defínense tres operaciones y la rellación d'igualdá:

• Suma

$(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)$

• Productu por escalar

$r(a,b)=(ra,\,rb)$

• Multiplicación

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

• Igualdá

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$

A partir d'estes operaciones podemos deducir otres como les siguientes:

• Resta

$(a,b)-(c,d)=(a-c,\,b-d)$

• División

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={(ac+bd,\,bc-ad) \over c^{2}+d^{2}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}},{bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)$

El númberu $(a,0)$ llámase númberu complexu real y como ente'l conxuntu d'estos y el conxuntu ℝ de los númberos reales establezse un isomorfismu , asúmese que tou númberu real ye un númberu complexu. El númberu complexu $(0,b)$ llámase númberu imaxinariu puru. Como $(a,0)+(0,b)=(a,b)$ dizse qu'un númberu complexu ye la suma d'un númberu real con un númberu imaxinariu puru..

Cuerpu de los númberos complexos

Los númberos complexos formen un cuerpu, el cuerpu complexu, representáu por C (o más apropiadamente pol caráuter unicode ℂ ). Si identificamos el númberu real a col complexu (a, 0), el cuerpu de los númberos reales R apaez como un subcuerpu de C. Entá más, C forma un espaciu vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complexos nun pueden ser ordenaos como, por casu, los númberos reales, polo que C nun puede convertise de nenguna manera nun cuerpu ordenáu.

Unidá imaxinaria

Defínese un númberu complexu especial, sobremanera na álxebra, de suma relevancia, el númberu i ( j en física), llamáu unidá imaxinaria, definíu como : $\mathrm {i} =(0,1)\,\!$

Que satisfai la siguiente igualdá:

$\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

D'onde resulta:

${\sqrt {-1}}=\mathrm {i}$

Tomando en cuenta que $(a,0)\cdot (0,1)=(0,a)$, cabo la identificación

$(a,0)\cdot (0,1)=a\mathrm {i} =(0,a)$

Valor absolutu o módulu, argumentu y conxugáu

Valor absolutu o módulu d'un númberu complexu

La fórmula d'Euler ilustrada nel planu complexu.

El valor absolutu, módulu o magnitú d'un númberu complexu z vien dau pola siguiente espresión:

$|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)}}$

Si pensamos nes coordenaes cartesianes del númberu complexu z como dalgún puntu nel planu; podemos ver, pol teorema de Pitágoras, que'l valor absolutu d'un númberu complexu coincide cola distancia euclidea dende l'orixe del planu a dichu puntu.

Si'l complexu ta escritu en forma esponencial z = r y^iφ, entós |z| = r. Puede espresase en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), onde cosφ + isenφ = y^iφ ye la conocida fórmula d'Euler.

Podemos comprobar con facilidá estos cuatro importantes propiedaes del valor absolutu

$\left|z\right|=0\Longleftrightarrow z=0$

$\left|z+w\right|\leq |z|+|w|$

$\left|zw\right|=|z||w|$

$\left|z-w\right|\geq |z|-|w|$

pa cualquier complexu z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos apurre un espaciu métricu colos complexos gracies al que puede falase de llendes y continuidá. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complexos son operaciones continues. Si nun se diz lo contrario, asúmese qu'ésta ye la métrica usada nos númberos complexos.

Argumentu o fase

Artículu principal: argumentu (analís complexu)

El argumentu principal o fase d'un númberu complexu xenéricu $z=x+yi\,$ (siendo x=Re(z) y y=Im(z)) vien dau pola siguiente espresión:

$\phi =\operatorname {Arg} (z)=\operatorname {arreyen2} (y,x)$

onde arreyen2(y,x) ye la función arcutanxente definida pa los cuatro cuadrantes:

$\operatorname {arreyen2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{indefiníu}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}$

O tamién: $\operatorname {arreyen2} (y,x)={\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(y)-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)\quad \forall x,y\in \mathbb {R}$ Siendo:

$\operatorname {sgn}(y)={\begin{cases}1\qquad y\geq 0\\-1\qquad y<0\\\end{cases}}$

la función signu.

L'argumentu tien periodicidá 2π, colo que $\arg z=\operatorname {Arg} z+2k\pi$ siendo $k$ cualquier númberu enteru. L'ángulu Arg z ye'l valor principal de arg z que verifica les condiciones -π < Arg z <= π descrites antes.

Alternativamente

Sía'l númberu complexu z = (x,y) representáu pol vector OM d'orixe (0,0) y el so estremu ye'l puntu M(x,y). L'ángulu $\phi$ formáu pol vector OM cola exa OX llámase Argumentu del númberu complexu z, denotado $\phi =Argz$ non determináu unívocamente sinón que satisfai la igualdá:

$Argz=argz+2k\pi$ siendo $k$ cualquier númberu enteru. L'ángulu arg z ye'l valor principal de Arg z que verifica les condiciones

-π < arg z <= π.

Conxugáu d'un númberu complexu

Dos binomios llámense conxugaos si solo difieren nel so signu central, por casu, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conxugaos.

El conxugáu d'un complexu z (denotado como ${\bar {z}}$ ó $z^{*}\,\!$) ye un nuevu númberu complexu, definíu asina:

${\bar {z}}=a-\mathrm {i} b\Longleftrightarrow z=a+\mathrm {i} b$

Reparar que dambos difieren nel signu de la parte imaxinaria.

Con esti númberu cumplen les propiedaes:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

$z+{\overline {z}}=2\cdot {\hbox{Re}}(z)$

$z-{\overline {z}}=2i\cdot {\hbox{Im}}(z)$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

$z\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow {\bar {z}}=z$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}$

$z\neq 0\Rightarrow {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Esta última fórmula ye'l métodu escoyíu pa calcular l'inversu d'un númberu complexu si vien dau en coordenaes rectangulares.

Un númberu complexu ye igual al so conxugáu si solu si ye un númberu real.

Representaciones

Representación binómica

Un númberu complexu representáu como un puntu (en colloráu) y un vector de posición (azul) nun diagrama de Argand; $a+bi$ ye la espresión binomial del puntu.

Un númberu complexu representar en forma binomial como:

$z=a+bi\,$

La parte real del númberu complexu y la parte imaxinaria, pueden espresase de delles maneres, como s'amuesa de siguío:

$a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)$

$b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)$

Representación polar

L'argumentu φ y módulu r alcuentren un puntu nuna diagrama de Argand; $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ o $ry^{i\phi }$ ye la espresión polar del puntu.

Nesta representación, $\textstyle {r}$ ye'l módulu del númberu complexu y l'ángulu $\textstyle {\phi }$ ye'l argumentu del númberu complexu.

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$

$\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}$

Estenamos a y b nes espresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }$

Sacamos factor común r:

$z=r\left(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }\right)$

Frecuentemente, esta espresión embrívese convenientemente de la siguiente manera:

$\ z=r\;\operatorname {cis} \;{\phi }$

la cual solo contién les abreviatures de les razones trigonométriques cosenu, la unidá imaxinaria y la razón senu del argumentu respeutivamente.

Según esta espresión, puede reparase que pa definir un númberu complexu tantu d'esta forma como cola representación binomial ríquense dos parámetros, que pueden ser parte real ya imaxinaria o bien módulu y argumentu, respeutivamente.

Según la Fórmula d'Euler, vemos que:

$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=y^{\mathrm {i} \phi };\;z=ry^{i\phi }$

Sicasí, l'ángulu $\phi$ nun ta unívocamente determináu por z, pueden esistir infinitos númberos complexos que tienen el mesmu valor representáu nel planu, que s'estremen pol númberu de revoluciones, yá seyan de sentíu antihorario (positives) o horariu (negatives) les cualos represéntense por númberos enteros $k\in \mathbb {Z}$, como implica la fórmula d'Euler:

$\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=y^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, xeneralmente acutamos $\phi$ al intervalu [-π, π) y a ésti $\phi$ acutáu llamar argumentu principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con esti conveniu, les coordenaes taríen unívocamente determinaes por z.

Operaciones en forma polar

La multiplicación de númberos complexos ye especialmente senciella cola notación polar:

$z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=ry^{\mathrm {i} \phi }sy^{\mathrm {i} \psi }$

División:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}y^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}$

Potenciación:

$z^{n}=r^{n}y^{\mathrm {i} \phi n}\Leftrightarrow z^{n}=\left(ry^{i\phi }\right)^{n}$

$z^{n}=(a+b\mathrm {i} )^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b\mathrm {i} +{n \choose 2}a^{n-2}\left(b\mathrm {i} \right)^{2}+\ldots +{n \choose {n-1}}a\left(b\mathrm {i} \right)^{n-1}+{n \choose n}\left(b\mathrm {i} \right)^{n}$

Planu de los númberos complexos o Diagrama de Argand

Artículu principal: Planu complexu

El conceutu de planu complexu dexa interpretar geométricamente los númberos complexos. La suma de númberos complexos puede rellacionase cola suma con vectores, y la multiplicación de númberos complexos puede espresase a cencielles usando coordenaes polares, onde la magnitú del productu ye'l productu de les magnitúes de los términos, y l'ángulu contáu dende la exa real del productu ye la suma de los ángulos de los términos.

Les diagrames de Argand úsense frecuentemente p'amosar les posiciones de los polos y los ceros d'una función nel planu complexu.

L'analís complexu, la teoría de les funciones complexes, ye una de les árees más riques de la matemática, qu'atopa aplicación en munches otres árees de la matemática según en física, electrónica y munchos otros campos.

Xeometría y operaciones con complexos

Geométricamente, les operaciones alxebraiques con complexos podemos entender como sigue. Pa sumar dos complexos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar nello como la suma de dos vectores del planu x-y apuntando dende l'orixe al puntu (a₁, b₁) y (a₂,b₂), respeutivamente. Si treslladamos (movemos) el segundu vector, ensin camudar la so direición, colo que'l so puntu d'aplicación coincide col puntu final del primer vector; el segundu vector asina allugáu va apuntar al complexu z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, pa multiplicar dos complexos z₁ y z₂, primero midimos l'ángulu que formen en sentíu contrariu a les manes del reló cola exa positiva de les x y sumamos dambos ángulos: l'ángulu resultante correspuende col del vector que representa al complexu productu z₁ · z₂. El llargor d'esti vector productu vien dada pola multiplicación de los llargores de los vectores orixinales. La multiplicación por un númberu complexu fixu pue ser vista como'l tresformamientu del vector que rota y camuda el so tamañu simultáneamente.

Multiplicar cualquier complexu por i correspuende con una rotación de 90º en direición contraria a les manes del reló. Coles mesmes el que (-1) · (-1) = +1 pue ser entendíu geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180° (i al cuadráu = -1), dando como resultáu un cambéu de signu al completar una vuelta.

Isomorfismu con matrices d'orde 2

Nel aniellu de les matrices de segundu orde sobre'l campu de númberos reales, puede topase un subconxuntu que ye isomorfu al campu de los númberos complexos. Pos, establezse una correspondencia ente cada númberu complexu a+bi cola matriz

• ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}}$

De tal manera llógrase una correspondencia biunívoca.

• Amás de les aplicaciones ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}c&d\\-d&c\\\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}a+c&b+d\\-(b+d)&a+c\\\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\\\end{pmatrix}}$ . ${\begin{pmatrix}c&d\\-d&d\\\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}ac-bd&ad+bc\\-(ad+bc)&ac-bd\\\end{pmatrix}}$ esprender que l'aplicación ye un isomorfismu.

• En particular la matriz ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$ cumple'l rol d'unidá imaxinaria.

Espaciu vectorial

El conxuntu ℂ cola adición de númberos complexos y considerando como esguilares , númberos reales, puede definise un espaciu vectorial ℂ con esguilares reales. Esto ye:

1. z,w númberos complexos, entós z+w ye un númberu complexu. Esta operación interna define una estructura de grupu aditivu.
2. Si r ye númberu real y z ye un númberu complexu, entós rz, llamáu múltiplu esguilar de z, ye tamién númberu complexu. Los dos operaciones satisfaen l'axomática d'un espaciu vectorial o llinial.

Esbozu históricu

La primer referencia conocida a raigaños cuadraos de númberos negativos provién del trabayu de los matemáticos griegos, como Herón d'Alexandría nel sieglu I enantes de Cristu, como resultáu d'una imposible seición d'una pirámide. Los complexos fixéronse más patentes nel Sieglu XVI, cuando la busca de fórmules que dieren los raigaños exactos de los polinomios de graos 2 y 3 fueron atopaes por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Anque namái taben interesaos nos raigaños reales d'esti tipu d'ecuaciones, atopar cola necesidá de trepar con raigaños de númberos negativos. El términu imaxinariu pa estes cantidaes foi acuñáu por Descartes nel Sieglu XVII y ta en desusu. La esistencia de númberos complexos nun foi dafechu aceptada hasta la más embaxo mentada interpretación xeométrica que describióse por Wessel en 1799, redescubierta dellos años dempués y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de númberos reales foi dada nel Sieglu XIX.

Aplicaciones

En matemátiques

Soluciones d'ecuaciones polinómiques

Un raigañu o cero del polinomiu p ye un complexu z tal que p(z)=0;

Una resultancia importante d'esta definición ye que toles ecuaciones polinómiques (alxebraiques) de grau n tienen esautamente n soluciones nel cuerpu de los númberos complexos, esto ye, tien esautamente n complexos z que cumplen la igualdá p(z)=0, cuntaos coles sos respeutives multiplicidaes. Tamién se cumple que si z ye un raigañu entós el so conxugáu tamién ye una raigañu del polinomiu p. A esto conocer como Teorema Fundamental de l'Álxebra, y demuestra que los complexos son un cuerpu algebraicamente zarráu; por esto los matemáticos consideren a los númberos complexos unos númberos más naturales^{[ensin referencies]} que los númberos reales a la de resolver ecuaciones.

Variable complexa o analís complexu

Artículu principal: analís complexu

Al estudiu de les funciones de variable complexa conocer como'l Analís complexu. Tien una gran cantidá d'usos como ferramienta de matemátiques aplicaes según n'otres cañes de les matemátiques. L'analís complexu aprove delles importantes ferramientes pa la demostración de teoremas inclusive en teoría de númberos; ente que les funciones reales de variable real, precisen d'un planu cartesianu pa ser representaes; les funciones de variable complexa precisen un espaciu de cuatro dimensiones, lo que les fai especialmente difíciles de representar. Suélense utilizar ilustraciones coloriaes nun espaciu de tres dimensiones pa suxerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D pa representar los cuatro.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando s'estudien les soluciones de les ecuaciones diferenciales lliniales con coeficientes constantes, ye habitual atopar primero los raigaños (polo xeneral complexes) $\lambda \,$ del polinomiu característicu, lo que dexa espresar la solución xeneral del sistema en términos de funciones de base de la forma: $f(x)=y^{\lambda x}\,$.

Fractales

Artículu principal: Fractal

Munchos oxetos fractales, como'l conxuntu de Mandelbrot, pueden llograse a partir de propiedaes de converxencia d'una socesión de númberos complexos. L'analís del dominiu de converxencia revela que dichos conxuntos pueden tener una enorme complexidá autosimilar.

En física

Los númberos complexos usar n'inxeniería electrónica y n'otros campos pa una descripción fayadiza de les señales periódiques variables (ver Analís de Fourier). Nuna espresión del tipu $z=ry^{i\phi }\,$ podemos pensar en $r\,$ como l'amplitú y en $\phi \,$ como la fase d'una onda sinusoidal d'una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaxe de corriente alterna (y por tanto con comportamientu sinusoidal) como la parte real d'una función de variable complexa de la forma $f(t)=zy^{i\omega t}\,$ onde ω representa la frecuencia angular y el númberu complexu z danos la fase y l'amplitú, el tratamientu de toles fórmules que rixen les resistencies, capacidaes y inductores pueden ser unificaes introduciendo resistencies imaxinaries pa los dos últimes (ver redes llétriques). Inxenieros llétricos y físicos usen la lletra j pa la unidá imaxinaria en cuenta de i que ta típicamente destinada a la intensidá de corriente.

El campu complexo ye igualmente importante en mecánica cuántica que la so matemática subxacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

Na relatividá especial y la relatividá xeneral, delles fórmules pa la métrica del espaciu-tiempu son muncho más simples si tomamos el tiempu como una variable imaxinaria.

Xeneralizaciones

• Los númberos complexos pueden xeneralizase dando llugar a los númberos hipercomplejos. El cuerpu de los númberos complexos ye un subcuerpo conmutativu del álxebra cuaterniónica $\scriptstyle \mathbb {H}$, que de la mesma ye una subálgebra d'otres álxebres más estenses (octoniones, sedeniones):

$\mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S}$

• Otra posible xeneralización ye considerar la complejificación de los númberos hiperreales:

$\mathbb {C} \subset {}^{*}\mathbb {R} (i)$

Ver tamién

• Planu de Argand
• Conxuntu de Mandelbrot
• Conxuntu de Julia

Referencies

Bibliografía

• Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3 

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Númberu complexu.
• Weisstein, Eric W. «Complex Number» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

• Datos: Q11567
• Multimedia: Complex numbers
• Recursos didácticos: Principales conjuntos numéricos/Números complejos