En matemática, un espaciu métricu ye un conxuntu que lleva asociada una función alloña, esto ye, qu'esta función ta definida sobre dichu conxuntu, cumpliendo propiedaes atribuyíes a la distancia, de cuenta que pa cualquier par de puntos del conxuntu, estos tán a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espaciu métricu va ser, amás, un espaciu topolóxicu porque cualquier función de distancia definida sobre un conxuntu dau induz una topoloxía sobre dichu conxuntu. Trátase de la topoloxía inducida poles boles abiertes acomuñaes a la función alloña del espaciu métricu.

DefinicionesEditar

Definición d'espaciu métricuEditar

Formalmente, un espaciu métricu ye un conxuntu   (a que los sos elementos denominar puntos) con una función distancia acomuñada (tamién llamada una métrica)   (onde   ye'l conxuntu de los númberos reales). Dicir   ye una alloña sobre   ye dicir que pa tou  ,  ,   en  , esta función tien de satisfaer les siguientes condiciones o propiedaes d'una distancia:

  1.      
  2.       (simetría)
  3.       (desigualdá triangular).
  4.   (positividad)

La cuarta propiedá deducir de los trés anteriores y por tantu nun sería un axoma pero convien recordala

Delles definiciones acomuñaes a un espaciu métricuEditar

Sía   un espaciu métricu, y sían   y   un puntu de   y un númberu real positivu o cero, respeutivamente:

  • Llámase bola (abierta) centrada en   y de radio  , al subconxuntu de  :  , denotado usualmente como  , o como  .
  • Llámase bola zarrada centrada en   y de radio  , al subconxuntu de  :  , denotado usualmente como   o como   o tamién como  .
  • En analís funcional la terminoloxía puede llevar un pocu a tracamundiu, pos a la bola abierta de radiu   y centru   soler denotar por   o por  , mientres -y equí vien el posible tracamundiu- a la bola zarrada de centru   y radio   se la denota por   o por  .
  • Dellos autores utilicen la espresión discu en llugar de bola, asina ye que puede falase en términos de discu abiertu y discu zarráu. En particular, esta terminoloxía utilizar en Variable Complexa, y cuando se considera la distancia euclídea sobre'l conxuntu  .
  • Llámase esfera centrada en   y de radio  , al subconxuntu de  :  , denotado usualmente como  , o como  .

Topoloxía d'un espaciu métricuEditar

La distancia   del espaciu métricu induz en   una topoloxía, y per tantu l'espaciu ye, de la mesma, un espaciu topolóxicu al tomar como subconxuntos abiertos pa la topoloxía a tolos subconxuntos   que cumplen

 .

Esto ye a tolos subconxuntos   pa los cualos cualquier puntu en   ye'l centru de dalguna bola de radiu positivu totalmente incluyida en  , o lo que ye lo mesmo: O nun tien puntos na frontera; nun tien frontera.

Dicha topoloxía denominar topoloxía inducida por   en  .

Podemos entós interpretar intuitivamente qu'un conxuntu abiertu ye entós una parte que tien un ciertu "espesura" alredor de cada unu de los sos puntos.

Un subespacio métricu   d'un espaciu métricu   ye subespacio topolóxicu del espaciu topolóxicu  , onde   ye la topoloxía en   inducida por  . Esto ye,   herieda de   la topoloxía inducida por  .

Una redolada   d'un puntu   d'un espaciu métricu   nun ye más qu'un subconxuntu   de forma qu'esista un   tal que la bola abierta  . El conxuntu   ye base de la topoloxía inducida por  , y tamién ye base de redolaes de dicha topoloxía. Como   ye trupu en  , resulta entós que   tamién ye base de redolaes de la topoloxía inducida por  . Arriendes d'ello, tou espaciu métricu cumple'l Primer Axoma de Numerabilidad.

Tou espaciu métricu ye espaciu de Hausdorff. Amás, al igual qu'asocede n'espacios pseudométricos, pa los espacios métricos son equivalentes les siguientes propiedaes: ser espaciu de Lindelöf, cumplir el Primer Axoma de Numerabilidad y ser xebrable.

Sistemes axomáticos alternativosEditar

La propiedá 1 ( ) siguir de la 4 y la 5. Dellos autores usen la recta real estendida y almiten que la distancia tome'l valor  . Cualquier métrica tal pue ser reescalada a una métrica finita (usando   o  ) y los dos conceutos d'espaciu métricu son equivalentes no qu'a topoloxía refierse. Una métrica ye llamada ultramétrica si satisfai la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdá triangular:

 .

Si esaníciase la propiedá 3, llógrase un espaciu pseudométrico. Sacando, sicasí, la propiedá 4, llógrase un espaciu quasimétrico. Sicasí, perdiéndose simetría nesti casu, camúdase, usualmente, la propiedá 3 tal que dambes   y   son necesaries por que   y   identifíquense. Toles combinaciones de lo anterior son posibles y referíes poles sos nomenclatures respeutives (por casu como quasi-pseudo-ultramétrico).

ExemplosEditar

  • Sía X un conxuntu cualesquier non vacíu y definamos d
 

Entós d ye una métrica en X, llamada métrica discreta y (X,d) ye espaciu métricu; (X, d) llámase espaciu discretu; ver Analís real de Haaser y Sullivan.

  • Los númberos reales cola función alloña d(x, y) = |y - x| dada pol valor absolutu, y más xeneralmente n-espaciu euclídeo cola distancia euclidiana, son espacios métricos completos. El sistema de los númberos complexos C ye un espaciu métricu . C como espaciu métricu ye igual a RxR.
  • Más xeneralmente entá, cualesquier espaciu vectorial normado ye un espaciu métricu definiendo d(x, y) = ||y - x||. Si tal espaciu ye completu, llamar espaciu de Banach.
  • Si X ye un conxuntu y M ye un espaciu métricu, entós el conxuntu de toles funciones acutaes f : X -> M (i.y. aquelles funciones que la so imaxe ye un subconxuntu acutáu de M) pue ser convertíu nun espaciu métricu definiendo d(f, g) = supx en X d(f(x), g(x)) pa cualesquier funciones acutaes f y g. Si M ye completu, entós esti espaciu ye completu tamién.
  • Si X ye un espaciu topolóxicu y M ye un espaciu métricu, entós el conxuntu de toles funciones continues acutaes de X a M forma un espaciu métricu si definimos la métrica como antes: d(f, g) = supx en X d(f(x), g(x)) pa cualesquier funciones continues acutaes f y g. Si M ye completu, entós esti espaciu ye completu tamién.
  • Si M ye un espaciu métricu, podemos convertir al conxuntu K(M) de tolos subconxuntos compactos de M nun espaciu métricu definiendo distancia de Hausdorff d(X, Y) = inf{r: pa cada x en X esiste un y en Y con d(x, y) < r y pa cada y en Y esiste un x en X con d(x, y) < r). Nesta métrica, dos elementos tán cerca unu d'otru si cada elementu d'un conxuntu ta cerca d'un ciertu elementu del otru conxuntu. Puede demostrase que K(M) ye completu si M ye completu.

Un analís lóxicuEditar

  • El conceutu métricu fundamental ye'l de función curtia, los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos, i.y. aplicaciones bi-curties, son les isometríes), pero la so espresión avezada usa l'orde y la suma nos reales positivos depués,
  • 1) Ye obviu que : | x - |x - y | | = y ye lo mesmo que x = 0 o yx, depués alloña nos reales positivos da orde débil ellí, orde fuerte (yx ssi ... ) ye difícil, pero posible, si acepta una solución de |x - y | = y i.y. y = x / 2.
  • 2) | d(y, z) - |d(y, z) - (f(y), f(z)) | | = (f(y), f(z)) espresa que f ye una función curtia, ensin nenguna referencia a un orde nos reales positivos.
  • 3) La siguiente equivalencia de la desigualdá triangular
| d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

espresa (ensin nenguna referencia a una operación nos reales positivos, |x - y| ye la distancia ellí) el fechu que d(x, -) ye función curtia (depués uniforme, depués continua). d: x - > d(x,-) ye una isometría.

  • Axuntando dambes : | d(y, z) - |d(y, z) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | espresa desigualdá triangular direutamente.
  • un leve cambéu : | d(y, z) - |d(z, y) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | espresa desigualdá triangular y simetría (faer z = x y usar | x - d(y, y)| = x).

Espacios metrizablesEditar

Un espaciu topolóxicu   dizse que ye metrizable cuando esiste una distancia   que la so topoloxía inducida seya precisamente la topoloxía  .

Un problema fundamental en Topoloxía ye determinar si un espaciu topolóxicu dadu ye o non metrizable. Esisten diverses resultaos al respeutu.

Teorema de metrización de UrysohnEditar

Tou espaciu topolóxicu regular que cumpla'l segundu axoma de numerabilidad ye metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición abonda)Editar

Tou espaciu regular con una base numerable llocalmente finita ye metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria)Editar

Tou espaciu metrizable tien una base numerable llocalmente finita.

Teorema de metrización de StoneEditar

Tou espaciu metrizable ye paracompacto.

Teorema de metrización de SmirnovEditar

Un espaciu topolóxicu ye metrizable si y solu si ye paracompacto y llocalmente metrizable.

Teorema de metrización d'espacios dafechu xebrablesEditar

Un espaciu topolóxicu dafechu xebrable ye metrizable si y solu si ye regular.

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  • Espacios Métricos (Wikilibro) [1]