Abrir el menú principal
Cuatro ejemplo y dos anti-exemplos de topoloxíes nel conxuntu de tres puntos {1,2,3}.
L'exemplu inferior esquierdu nun ye una topoloxía porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, nun ye parte de la colección.
L'exemplu inferior derechu tampoco ye una topoloxía porque la interseición de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, nun ye parte de la colección.

Un espaciu topolóxicu ye una estructura matemática que dexa la definición formal de conceutos como converxencia, conectividad, continuidá, vecindá, usando subconjunto d'un conxuntu dáu.[1] La caña de les matemátiques qu'estudia los espacios topolóxicos llámase topoloxía. Les variedáes, al igual que los espacios métricos son especializaciones d'espacios topolóxicos con restricciones y estructures propies.

DefiniciónEditar

Formalmente, llámase espaciu topolóxicu al par ordenáu (X,T) formáu por un conxuntu X y una topoloxía T sobre X, esto ye, una colección de subconxuntos de X que cumplen los trés propiedaes siguientes:

1. El conxuntu vacíu y X tán en T.

 

2. La interseición de cualesquier subcolección finita de conxuntos de T ta en T.

 

3. La unión de cualesquier subcolección de conxuntos de T ta en T.[2]

Esta condición tamién s'escribe, formalmente:[3]
 

A los conxuntos pertenecientes a la topoloxía T llámase-yos conxuntos abiertos o a cencielles abiertos de (X,T) ;[4] y a los sos complementos en Y, conxuntos zarraos.

ExemplosEditar

  • Topoloxía trivial o indiscreta: ye la formada por   y  .
  • Topoloxía discreta: ye la formada pol conxuntu de les partes de  .
  • Topoloxía de los complementos finitos: ye la formada por   y los conxuntos de  , que los sos complementarios son finitos.
  • Topoloxía de los complementos numerables: ye la formada por   y los conxuntos de  , que los sos complementarios son numerables.
  • R, conxuntu de los reales, y T el conxuntu de los intervalos abiertos nel sentíu avezáu, y de les xuntes (cualesquier) d'intervalos abiertos.Nesti casu un conxuntu ye abiertu si pa tou puntu d'él esiste un intervalu abiertu que contién al puntu y dichu intervalu abiertu ye parte del mentáu abiertu.[5]
  • Recta de Sorgenfrey: la recta real xuntu cola topoloxía de la llende inferior.
  • La topoloxía de Sierpinski ye la colección T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) llámase espaciu de Sierpinski.[6]
  • Una topoloxía T sobre X, usando delles partes d'A, que ye parte mesma de X. El par (X,T ) ye un espaciu topolóxicu que los sos abiertos son ciertes partes d'A y el conxuntu X. Pa esti casu X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} ye una topoloxía sobre X.[7]

Espacios metrizablesEditar

Toa métrica dexa definir de manera natural nun espaciu la topoloxía formada poles unión arbitraries de boles de centru   y radio  :

 

Esta topoloxía averar a la noción intuitiva de conxuntu abiertu, dexando un aproximamientu de calter local a la topoloxía.

En cuenta de considerar tol conxuntu, el puntu de vista local consiste en preguntar: ¿qué rellación tien qu'haber ente un puntu a cualesquier d'A, y A por que A seya un abiertu?

Si considérase l'exemplu más conocíu, el de los intervalos, unu dase cuenta de que los intervalos abiertos son los que nun contienen puntos nel so frontera o cantu, que son puntos en contautu al la vegada con A y col so complementariu R - A.

N'otres pallabres, un puntu d'un abiertu nun ta direutamente en contautu col "esterior".

Nun tar en contautu significa intuitivamente qu'hai una cierta distancia ente'l puntu y l'esterior; llamémosla d. Entós la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centru a ta incluyida n'A y nun toca'l complementariu. Na figura, a ta nel interior d'A, ente que b ta na so frontera, porque cualquier vecindá de b atopa R - A.

Al falar de alloña, utilizamos un conceutu de los espacios métricos, que son más intuitivos pos correspuenden al mundu real (asimilable a R³). En topoloxía, tenemos que camudar el conceutu de bola pol, más xeneral, de vecindá o redolada. Una vecindá d'un puntu x ye esti puntu con daqué del so alredor. Tenemos entera llibertá pa definir el significáu de "alredor" y "vecindá" con tal de satisfaer los axomes siguientes:

  1. x pertenez a toles sos vecindaes.
  2. Un conxuntu que contién una vecindá de x ye una vecindá de x.
  3. La interseición de dos vecindad de x ye tamién una vecindá de x.
  4. En toa vecindá V de x esiste otra vecindá O de x tal que V ye una vecindá de tolos puntos d'O.

Llamamos abiertu un conxuntu que ye una vecindá pa tolos sos puntos.

Los axomes espuestos nel puntu de vista global tán verificaos:

  1. Y ye obviamente una vecindá pa tolos sos puntos, y ∅ tamién porque nun contién puntu. (Una propiedá universal: pa tou x... ye por fuercia cierta nel conxuntu vacíu.)
  2. Una unión d'abiertos Oi ye un superconjunto de cada Oi, y Oi ye una vecindá de tolos sos puntos, poro, la unión ye una vecindá de tolos sos puntos, gracies a la propiedá (2).
  3. Sía x un puntu de la interseición de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y polo tanto vecindaes d'él. Una interseición de vecindaes de x ye una vecindá de x (propiedá 3), lo qu'implica qu'O1   O2 ye una vecindá de tolos sos puntos, y polo tanto un abiertu.

Propiedaes d'un espaciu topolóxicuEditar

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. Kuratowski: "Introducción a la teoría de conxuntos y a la topoloxía2
  2. Munkres, James R. TopoloxíaPearson Prentice Hall, Madrid 2002 ISBN 978-84-205-3180-9
  3. Pa esti casu y los axomes anteriores, consultar en "Topoloxía" de Munkres ISBN 978-84-205-3180-9
  4. M. García Marrero y otros. Topoloxía Alhambra ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
  5. Mansfield: Introducción a la topoloxía, ISBN 84-205-0450-5
  6. Kelley: Topoloxía xeneral Eudeba, Buenos Aires
  7. Los elementos de T satisfaen los axomes de definición d'una topoloxía sobre un con xuntu non vacíu

BibliografíaEditar

  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
  • Espacios Métricos y Topolóxicos [1] (Wikilibro)