Álxebra de Boole

En matemátiques ya informática, l'Álxebra de Boole, o Retícules booleanes, son estructures alxebraiques que "capturen la esencia" de les operaciones lóxiques Y, O y NON, asina como'l conxuntu d'operaciones unión, interseición y complementu.

Nómase asina n'honor a George Boole, matemáticu inglés que foi'l primeru en definila como parte d'un sistema lóxicu metanes el sieglu XIX. Foi un intentu d'emplegar les téuniques alxebraiques pa tratar espresiones de la lóxica proposicional. Anguaño l'alxebra de Boole emplégase en diseñu de circuitos eleutrónicos. Aplicóse por cabera vegada en circuitos de conmutación eléutrica biestables en trabayos de Claude Shannon en 1938.

Los operadores del álxebra de Boole puen representase de delles maneres. Munches vegaes represéntense cenciellamente como AND (Y), OR (O) y NOT (NON). N'eleutrónica dixital (ver puerta lóxica) tamién s'empleguen la X-OR (O esclusiva) y les sos negaes NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). En matemátiques suel emplegase + envede OR y · envede AND, porque eses operaciones son semeyes a la suma y al productu n'otres estructures alxebraiques, y NOT represéntase comu una llinia o una comina enriba la espresión que se quier negar (NON A sería Ā o A').

Nesti testu va emplegase la notación común con $\land$ pal operador AND, $\lor$ pal operador OR y ¬ (o ~) pal operador NOT.

Definición

Un álxebra de Boole ye una retícula (A, $\land$ , $\lor$ ) (considerada como una estructura alxebraica) coles siguientes cuatro propiedaes adicionales:

Acotada inferiormente: Esiste un elementu 0, tal que a $\lor$ 0 = a pa tou a perteneciente a A.
Acotada superiormente: Esiste un elementu 1, tal que a $\land$ 1 = a pa tou a perteneciente a A.
Distributiva: Pa tou a, b, c pertenecientes a A, (a $\lor$ b) $\land$ c = (a $\land$ c) $\lor$ (b $\land$ c).
Con complementu: Pa cualaquier a perteneciente a A esiste un elementu ¬a perteneciente a A tal que a $\lor$ ¬a = 1 ya a $\land$ ¬a = 0.

D'esos axomes dedúzse que l'elementu mínimu 0, l'elementu máximu 1, y el complementu ¬a d'un elementu a tan únicamente determinaos.

Como cualaquier retícula, un Álxebra Booleana A, $\land$ , $\lor$ ) da llugar a un conxuntu parcialmente ordenáu (A, ≤) definiendo

a ≤ b si y sólo si a = a

\land

b

(que equival a b = a $\lor$ b).

De fechu, pue definise un álxebra de Boole como una retícula distributiva A, ≤) (considerada como un conxuntu parcialmente ordenáu) con elementu mínimu 0, elementu máximu 1, na que ca elementu x tien un complementu ¬x tal que

x

\land

¬x = 0 and x

\lor

¬x = 1

Equí $\land$ y $\lor$ úsense pa denotar el mínimu (interseición) y el máximu (unión) de dos elementos. De nuevo, si esiste'l complementu ta únicamente determináu.

Exemplos

L'álxebra de Boole más importante tien namái que dos elementos, 0 y 1, y defínese coles regles

 $\lor$  0 1  $\land$  0 1
---- ----
0 | 0 1 0 | 0 0
1 | 1 1 1 | 0 1

Tien aplicaciones na lóxica, onde 0 interprétase comu "falso", 1 comu "verdaderu",

\land

comu "y",

\lor

comu "o", y ¬ ye "non". Les espresiones que con variables ya operaores booleanos representen proposiciones, y pue demostrase que dos espresiones son equivalentes emplegando los axiomas nomaos enantes si y sólo si les correspondientes proposiciones son lóxicamente equivalentes.

L'álgebra de Boole de dos elementos tamién s'emplega nel diseñu de circuitos n'inxeniería electrónica; equí 0 y 1 representen los dos posibles estaos en circuitos dixitales, típicamente un voltaxe altu y uno baxu.

Los circuitos descríbense con espresiones que caltienen variables, y dos de estes espresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mesmu comportamientu de entrada y salida. Amás, ca posible comportamientu de entrada-salida pue espresase con una espresión booleana.

L'álxebra de Boole de dos elementos tamién ye importante na teoría xeneral de les álxebres de Boole, porque una ecuación que implica varies variables ye verdadera en toles álxebres booleanes si y sólo si ye verdadera nun álxebra booleana de dos elementos (lo cual pue verificase siempres col algoritmu de fuercia bruta). Esto pue aplicase pa demostrar que les siguientes leyes (Teoremas del consensu) son válides en toles álxebres booleanes:

(a

\lor

b)

\land

(¬a

\lor

c)

\land

(b

\lor

c) = (a

\lor

b)

\land

(¬a

\lor

c)

(a

\land

b)

\lor

(¬a

\land

c)

\lor

(b

\land

c) = (a

\land

b)

\lor

(¬a

\land

c)

El conxuntu de partes d'un conxuntu dau S forma un álgebra de Boole coles dos operaciones $\lor$ = unión y $\land$ = interseición. L'elementu mínimu 0 ye el conxuntu vacíu y el elementu máximu 1 ye el propiu conxuntu S.

El conxuntu formáu por tos los suconxuntos de S que son finitos o cofinitos ye un álxebra de Boole.

Pa tou númberu natural n, el conxuntu de tolos sos divisores positivos ye una retícula distributiva si definimos a ≤ b comu a divide a b. Esta retícula ye un álxebra de Boole si y sólo si n ye llibre de cuadraos. L'elementu mínimu 0 de esta álxebra ye'l númberu natural 1; l'elementu máximu 1 d'esta álxebra booleana 1 ye'l númberu natural n.

Otros exemplos d'álxebres de Boole surden de losespacios topolóxicos: si X ye un espaciu topolóxicu, entós la coleición de tolos subespacios de X que son tanto abiertos comu zarraos formen un álxebra booleana coles operaciones $\lor$ = unión y $\land$ = interseición.

Si R ye un anillu y definimos el conxuntu d' idempotentes centrales comu

A = { e en R : e² = e ya ex = xe pa tóu x en R }

entós el conxuntu A conviértese nun álxebra booleana coles operaciones e $\lor$ f = e + f − ef ya e $\land$ f = ef.

Ver tamién

Referencies

Enllaces esternos

Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Álxebra de Boole.